8.1.1 向量数量积的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

8．1．1　向量数量积的概念 知识点一　两个向量的夹角的定义 1．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 答案：A 解析：平移向量a，b使它们的始点重合，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°． 2．在等边三角形ABC中，向量与的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：根据两向量的夹角的定义，作＝，如图所示，则∠BAD为与的夹角．∵△ABC为等边三角形，∴∠BAD＝． 知识点二　向量数量积的定义 3．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且AB＝，则·＝(　　) A．－ B． C．2 D． 答案：A 解析：因为AB＝，所以△ABC为等边三角形，所以·＝||||cos120°＝××＝－． 4．[多选]已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，则下列结论正确的是(　　) A．·＝0 B．·＝2 C．·＝2 D．||cosB＝|| 答案：ABD 解析：在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则AC2＝1，得AC＝BC＝，得AB＝2，所以·＝0，A正确；·＝||||cos45°＝2，B正确；·＝||||cos135°＝－2，C不正确；向量在上的投影的数量为||，即||cosB＝||，D正确．故选ABD． 5．已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 解：(1)当a∥b时，若a与b同向， 则〈a，b〉＝0°， 所以a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则〈a，b〉＝180°， 所以a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20． (2)当a⊥b时，〈a，b〉＝90°， 所以a·b＝|a||b|cos90°＝0． (3)当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝4×5×＝10． 知识点三　向量的模与夹角的问题 6．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－3，则〈a，b〉＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为向量|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－3，所以cos〈a，b〉＝＝－．又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝．故选D． 7．已知非零向量a与b的夹角为45°，且|a|＝2，a2－2a·b＋b2＝4，则|b|＝________． 答案：2 解析：因为|a|＝2，〈a，b〉＝45°，所以由a2－2a·b＋b2＝4，得|a|2－2|a||b|cos45°＋|b|2＝4，即4－2|b|＋|b|2＝4，解得|b|＝2或|b|＝0，因为b是非零向量，所以|b|＝2． 8．已知a，b是两个非零向量，若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角． 解：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6． 又|a|＝3，|b|＝4， ∴|cos〈a，b〉|＝＝＝， ∴cos〈a，b〉＝±． ∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为或． 知识点四　向量的投影与向量数量积的几何意义 9．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，2＝＋且||＝||，则向量在向量上的投影的数量为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 解析：∵2＝＋，∴2＋＋＝0，∴＋＋＋＝0，即＝－，∴O，B，C三点共线且都在直径上，∴AB⊥AC．∵||＝||，△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，∴||＝||＝1，||＝2，如图，在△ABC中，||＝1，||＝2，∠A＝90°，∠B＝60°，∴向量在向量上的投影的数量为||cos60°＝． 10．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影的数量为________，向量b在向量a上的投影的数量为________． 答案：－　－4 解析：因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－12，所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝－．向量b在向量a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝＝－4． 一、单选题 1．已知向量a与b的夹角为60°，其中|a|＝3，|b|＝2，则a·b＝(　　) A．6 B．5 C．3 D．2 答案：C 解析：a·b＝|a||b|cos60°＝3×2×＝3．故选C． 2．已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－4，则a·b＝(　　) A．4 B．8 C．－8 D．－4 答案：C 解析：a·b＝|a||b|cosθ＝2×(－4)＝－8．故选C． 3．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：设a与b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥≥，由向量形式的三角不等式，得|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥＝1．故选A． 4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤，∴θ∈．故选B． 5．已知向量a，b都为非零向量，若实数t在R上任意变化时，的最小值为|a|，则〈a，b〉＝(　　) A． B． C．或 D．或 答案：C 解析：因为向量a，b都为非零向量，设a＝，b＝，－b＝，可知－b与b共线，即点P在直线OB上，又因为＝＝|－|＝||，当且仅当直线AP与直线OB垂直时，取到最小值|a|，可得sin〈a，b〉＝＝，且〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝或．故选C． 二、多选题 6．已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　) A．e1在e2上的投影的数量为sinθ B．e＝e C．任意θ∈[0，π]，|e1·cosθ|≤|e2| D．不存在θ，使e1·e2＝ 答案：BCD 解析：对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e＝e＝1，B正确；对于C，两边平方得|e1|2cos2θ≤|e2|2，即cos2θ≤1，因为cos2θ≤1成立，所以|e1·cosθ|≤|e2|，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，D正确．故选BCD． 7．已知正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O，则(　　) A．·＝－4 B．＋＝－ C．在上的投影为－ D．若P为正六边形边上的一个动点，则·的最大值为6 答案：BCD 解析：由题意可得·＝2×2×cos120°＝－2，故A错误；＋＝＝－，故B正确；在上的投影为，即－，故C正确；设与的夹角为θ，则·＝||||·cosθ，当在上的投影向量的模最大时，·最大，故当点P与点C重合时，·最大，所以(·)max＝·＝2×2×cos30°＝6，故D正确．故选BCD． 三、填空题 8．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝________． 答案：－8 解析：|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8． 9．已知a·b＝－9，a在b上的投影的数量为－3，b在a上的投影的数量为－，则a与b的夹角θ为________． 答案：120° 解析：∵∴即∴∴cosθ＝＝＝－．∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°． 10．已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则·的值为________，·的最大值为________． 答案：1　1 解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝||||cosθ．由图可知，||cosθ＝||，因此·＝||2＝1．·＝||||·cosα＝||cosα，而||cosα就是向量在上的投影的数量，当在上的投影的数量最大，即投影的数量为||时，·取得最大值，所以·的最大值为1． 四、解答题 11．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，求·(＋)的值． 解：如图，由AM＝3， 且＝2， 可知||＝2． ∵M为BC的中点， ∴＋＝2＝， ∴·(＋)＝·＝－2＝－||2＝－4． 12．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点． (1)求在上的投影的数量； (2)求在上的投影的数量． 解：(1)如图，连接AD． 由图可知，与的夹角为∠ABC的补角， 所以与的夹角为150°， 所以在上的投影的数量为||cos150°＝2×cos150°＝－． (2)因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点， 所以AD⊥BC． 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝ABcos30°＝． 因为与的夹角为150°， 所以在上的投影的数量为||cos150°＝×cos150°＝－． 13．已知，，，是平面内两两互不相等的向量，满足|－|＝1，且|－|＝2(其中i＝1，2；j＝3，4)，则·＝________． 答案： 解析：由已知，得||＝||＝||＝||＝2，由图可知，四边形A1A3A2A4是边长为2的菱形，且A1A2＝1，A2A3＝2，A3A4＝2＝，所以cos∠A2A3A4＝＝，所以·＝||||cos∠A2A3A4＝×2×＝． 14．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ，求θ的取值范围． 解：∵·＝||||cosθ＝6>0， ∴cosθ>0，∴θ为锐角． 过C作CD⊥AB，垂足为D，如图． 则CD＝BCsinθ． 由题意，得 ·＝||||cosθ＝6，① S＝×AB×CD＝||||sinθ．② 由②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S． ∵≤S≤3，∴≤3tanθ≤3， 即≤tanθ≤1． 又θ∈，∴θ∈． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$