7.2.4 第1课时 诱导公式①～④-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

7．2．4　诱导公式 第1课时　诱导公式①～④ 知识点一　给角求值 1．tan300°＋sin450°的值是(　　) A．－1＋ B．1＋ C．－1－ D．1－ 答案：D 解析：原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin90°＝－tan60°＋1＝－＋1． 2．[多选]下列三角函数值计算正确的是(　　) A．cos225°＝ B．sin＝－ C．sin＝ D．tan(－2040°)＝－ 答案：BCD 解析：cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－，A错误；sin＝sin＝－sin＝－，B正确；sin＝－sin＝－sin＝sin＝，C正确；tan(－2040°)＝tan(－360°×6＋120°)＝tan120°＝－tan60°＝－，D正确．故选BCD． 3．求值：(1)sintan－cos·tan＝________； (2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)·sin750°＝________． 答案：(1)0　(2)1 解析：(1)原式＝tan－costan ＝－sintan－costan＝－××－×(－1)＝0． (2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1． 知识点二　给值求值 4．已知cos(π－α)＝，则tan(π＋α)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：解法一：∵cos(π－α)＝－cosα＝，∴cosα＝－．∵<α<π，∴sinα>0，∴sinα＝＝＝，∴tan(π＋α)＝tanα＝＝－． 解法二：由cosα＝－，<α<π，得α＝，∴tanα＝－，∴tan(π＋α)＝tanα＝－． 5．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2024)＝－1，则f(2025)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：∵f(2024)＝asin(2024π＋α)＋bcos(2024π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1，∴f(2025)＝asin(2025π＋α)＋bcos(2025π＋β)＝－asinα－bcosβ＝1． 6．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(π＋α)＝________． 答案：－ 解析：由sin(π－α)＝log8＝log88－，得sinα＝－．∵α∈，∴cosα＝＝，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－． 7．若sin(α＋π)＝，且sinαcosα<0，则＝________． 答案：－ 解析：因为sin(α＋π)＝，所以sinα＝－．又因为sinαcosα<0，所以cosα>0，cosα＝＝，所以tanα＝－．所以原式＝＝＝－． 知识点三　化简、证明问题 8．化简下列各式： (1)； (2)； (3)(n∈Z)． 解：(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝－1． (2)原式＝ ＝＝1． (3)原式＝ ＝＝ ＝－． 9．求证： (1)＝tanα； (2) ＝． 证明：(1)左边＝＝tanα＝右边，故原等式成立． (2)∵左边＝ ＝＝ ＝＝， 右边＝＝， ∴左边＝右边，故原等式成立． 一、单选题 1．sin的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：C 解析：sin＝sin＝－sin＝－．故选C． 2．已知sin＝，则sin的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：sin＝sin＝sin＝． 3．化简的结果是(　　) A．sin3－cos3 B．cos3－sin3 C．±(sin3－cos3) D．以上都不对 答案：A 解析：＝＝＝|cos3－sin3|．∵<3<π，∴sin3>0>cos3，∴原式＝sin3－cos3． 4．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解析：∵A＋B＋C＝π，而sin(A＋B－C)＝sin(A＋C－B)，∴sin(π－2C)＝sin(π－2B)，∴sin2C＝sin2B，∴2C＝2B或2C＋2B＝π．∴C＝B或B＋C＝，即C＝B或A＝．故选C． 5．下列不等式正确的是(　　) A．sintan<0 B．cossin>0 C．sin613°cos(－451°)<0 D．tan343°cos174°<0 答案：B 解析：对于A，sintan＝sin·tan＝－sintan，因为sin>0，tan<0，所以sintan>0，故A错误；对于B，cossin＝＝cossin，因为cos>0，sin>0，所以cossin>0，故B正确；对于C，sin613°·cos(－451°)＝sin253°cos269°，因为sin253°<0，cos269°<0，所以sin613°cos(－451°)>0，故C错误；对于D，tan343°cos174°＝tan163°cos174°，因为tan163°<0，cos174°<0，所以tan343°cos174°>0，故D错误．故选B． 二、多选题 6．下列各式化简正确的是(　　) A．tan(π＋1)＝tan1 B．＝cosα C．＝tanα D．＝1 答案：AB 解析：tan(π＋1)＝tan1，A正确；＝＝cosα，B正确；＝＝－tanα，C错误；＝＝－1，D错误．故选AB． 7．下列命题中为真命题的是(　　) A．lg ＝0 B．若f(cosx)＝cos2x，则f(cos300°)＝ C．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)＝－ D．若tan(π＋α)＝2，则＝3 答案：ACD 解析：对于A，lg ＝lg ＝lg 1＝0，故A为真命题；对于B，因为f(cosx)＝cos2x，所以f(cos300°)＝f(cos60°)＝cos120°＝－，故B为假命题；对于C，因为sin(π＋α)＝－sinα＝－，所以sinα＝，所以sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－，故C为真命题；对于D，因为tan(π＋α)＝tanα＝2，所以＝＝＝＝＝3，故D为真命题．故选ACD． 三、填空题 8．sintan＝________． 答案： 解析：sintan＝－sintan＝sintan＝． 9．已知cos(α＋75°)＝，且α为第三象限角，则sin(α－105°)＝________． 答案： 解析：sin(α－105°)＝sin(α＋75°－180°)＝－sin(α＋75°)．∵cos(α＋75°)＝，且α为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角，∴sin(α＋75°)＝－＝－．∴sin(α－105°)＝． 10．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，则tanα＝________，＝________． 答案：－2　－ 解析：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)，得－sinα＝2cosα，即tanα＝－2，所以＝＝＝＝－． 四、解答题 11．(1)cos＋cos＋cos＋cos； (2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)． 解：(1)cos＋cos＋cos＋cos ＝＋ ＝＋＝＋＝0． (2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°) ＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0． 12．已知f(α)＝． (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝－cosα． (2)∵sin(α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－． 又α是第三象限角， ∴cosα＝－，∴f(α)＝． (3)∵－＝－6×2π＋， ∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－． 13．人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin198°＝________． 答案：－ 解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，D为BC的中点，底与腰之比为黄金分割比，所以∠BAD＝18°，＝，所以sin∠BAD＝＝＝·＝＝sin18°，所以sin198°＝－sin18°＝－． 14．若k∈Z，求证：＝－1． 证明：证法一：若k为偶数，则 左边＝＝＝－1＝右边； 若k为奇数，则 左边＝＝＝－1＝右边． 所以原等式成立． 证法二：利用(kπ－α)＋(kπ＋α)＝2kπ， [(k＋1)π＋α]＋[(k＋1)π－α]＝2(k＋1)π进行证明． 左边＝ ＝＝－1＝右边． 所以原等式成立． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$