7.2.4 第2课时 诱导公式⑤～⑧-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评word（人教B版2019）

第2课时　诱导公式⑤～⑧ 知识点一　利用诱导公式求值 1．如果cosα＝，且α是第四象限角，那么cos的值是(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：∵cosα＝，且α是第四象限角，∴sinα＝－＝－，∴cos＝－sinα＝．故选C． 2．已知sin＝，那么cosα＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 解析：sin＝sin＝sin＝cosα＝．故选C． 3．已知sin＝，则cos＝________． 答案： 解析：∵＋＝，∴cos＝cos＝sin＝． 4．已知cos＝2sin，则tanα＝__________，＝__________． 答案：2　 解析：∵cos＝2sin，∴sinα＝2cosα，即tanα＝2，∴＝＝＝． 5．已知sin(π＋α)＝－．求下列三角函数的值： (1)cos；(2)sin； (3)tan(5π－α)． 解：∵sin(π＋α)＝－sinα＝－， ∴sinα＝． (1)cos＝cos＝－sinα＝－． (2)sin＝cosα，cos2α＝1－sin2α＝1－＝． ∵sinα＝，∴α为第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，sin＝cosα＝； 当α为第二象限角时，sin＝cosα＝－． (3)tan(5π－α)＝tan(－α)＝－tanα， ∵sinα＝， ∴α为第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cosα＝，tanα＝，tan(5π－α)＝－tanα＝－； 当α为第二象限角时，cosα＝－，tanα＝－，tan(5π－α)＝－tanα＝． 知识点二　利用诱导公式进行化简证明 6．化简下列各式： (1)； (2)＋ ． 解：(1)原式＝ ＝＝＝tan3α． (2)原式＝＋＝1－． 7．求证：(1)＝1； (2)＋ ＝． 证明：(1)因为左边＝＝1＝右边， 所以原等式成立． (2)因为左边＝＋ ＝＋＝ ＝＝＝右边， 所以原等式成立． 知识点三　诱导公式的综合应用 8．在△ABC中，求证：(1)sin(2B＋2C)＝－sin2A； (2)sin＝cos． 证明：(1)因为A，B，C为△ABC的三个内角， 所以A＋B＋C＝π，则2A＋2B＋2C＝2π， 于是2B＋2C＝2π－2A， 故sin(2B＋2C)＝sin(2π－2A)＝sin(－2A)＝－sin2A． 所以原等式得证． (2)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 则＝， 所以cos＝cos ＝cos＝cos ＝sin， 故原等式得证． 9．已知角α是第三象限角，且f(α)＝． (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝－，求cos(2π－α)的值． 解：(1)f(α)＝ ＝＝sinα． (2)因为f(α)＝－， 即sinα＝－， 又α是第三象限角， 所以cosα＝－＝－， 所以cos(2π－α)＝cosα＝－． 一、单选题 1．已知sin10°＝k，则cos620°的值为(　　) A．k B．－k C．±k D． 答案：B 解析：cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－cos(90°－10°)＝－sin10°＝－k． 2．已知cos＝，且|φ|<，则tanφ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：由cos＝－sinφ＝，得sinφ＝－，又|φ|＜，∴φ＝－，∴tanφ＝－． 3．已知x∈，tanx＝－，则cos等于(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：C 解析：∵tanx＝＝－，∴cosx＝－sinx，∴sin2x＋cos2x＝sin2x＋sin2x＝sin2x＝1，∴sin2x＝．又x∈，∴sinx＝，∴cos＝cos＝－sinx＝－． 4．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由条件可知，－2tanα＋3sinβ＝－5　①，tanα－6sinβ＝1　②，①×2＋②可得tanα＝3，即sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，故可解得sinα＝． 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点P(sin138°，cos138°)，则tan(α＋18°)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：因为sin138°>0，cos138°<0，所以点P在第四象限，即α为第四象限角，由三角函数的定义，得tanα＝＝＝＝＝tan(－48°)，所以α＝－48°＋k·360°，k∈Z，所以tan(α＋18°)＝tan(－48°＋k·360°＋18°)＝tan(－30°)＝－．故选D． 二、多选题 6．已知sin＝－，且<x<，则(　　) A．sin＝－ B．cos＝－ C．tan＝ D．cos＝ 答案：BCD 解析：由<x<，得－<－x<0，则cos＝＝，tan＝－．sin＝sin＝cos＝，故A错误；cos＝cos＝－cos＝－，故B正确；tan＝－tan＝，故C正确；cos＝cos＝－sin＝，故D正确．故选BCD． 7．已知tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两个实根，且3π<α<，下列结论正确的是(　　) A．k＝ B．sinαcosα＝ C．sinα＋cosα＝ D．cos＋sin＝ 答案：ABD 解析：∵tanα，是方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两个实根，∴tanα·＝，∴＝1，∴k2＝．∵3π<α<，即α为第三象限角，∴tanα>0，sinα<0，cosα<0．又tanα＋＝－＝k，∴k>0．故由k2＝，知k＝，A正确；因为tanα＋＝＋＝，∴sinαcosα＝，B正确；(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×＝1＋．又sinα＋cosα<0，∴sinα＋cosα＝－＝－＝－，C错误；cos＋sin＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝，D正确．故选ABD． 三、填空题 8．已知cos＝，则sin＝________． 答案：－ 解析：sin＝sin＝－sin＝－cos＝－． 9．已知sin(3π＋θ)＝，则＋的值为________． 答案： 解析：由sin(3π＋θ)＝，可得sinθ＝－， ∴＋ ＝＋＝－＋sinθ＝． 10．在△ABC中，sin＝sin，则△ABC的形状是________． 答案：等腰三角形 解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．又sin＝sin，∴sin＝sin，∴sin＝sin，∴cosC＝cosB．又B，C为△ABC的内角，∴C＝B．∴△ABC为等腰三角形． 四、解答题 11．求证：＝． 证明：∵左边＝ ＝＝ ＝＝＝． 右边＝＝． ∴左边＝右边，故原等式成立． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的顶角与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB． (1)求的值； (2)若cosα＋cosβ＝，求tanβ的值． 解：(1)由题意可知钝角β＝α＋，所以 ＝＝＝－1． (2)由cosα＋cosβ＝，可得cos＋cosβ＝， 即sinβ＋cosβ＝，可得(sinβ＋cosβ)2＝， 即1＋2sinβcosβ＝，所以sinβcosβ＝－， 可得＝－，即＝－， 解得tanβ＝－或tanβ＝－． 而β为钝角，且sinβ＋cosβ>0， 故β∈，故tanβ<－1，故tanβ＝－． 13．已知O为坐标原点，若角α的终边上一点P的坐标为(－1，m)，且sinα＝－，线段OP绕点O逆时针转动90°后，则此时点P的坐标为________． 答案：(3，－1) 解析：由角α的终边上一点P的坐标为(－1，m)，且sinα＝－<0，可得角α为第三象限角，且＝－，解得m＝－3或m＝3(舍去)，即点P的坐标为(－1，－3)，可得OP＝，cosα＝＝－．设角α绕点O逆时针转动90°后得到角β，则β＝90°＋α，可得sinβ＝sin(90°＋α)＝cosα＝－，cosβ＝cos(90°＋α)＝－sinα＝，且OP·sinβ＝－1，OP·cosβ＝3，所以此时点P的坐标为(3，－1)． 14．(1)设f(cosx)＝coskx(k∈Z)，求使f(sinx)＝sinkx成立的整数k应满足的条件； (2)对于怎样的整数n，能由f(sinx)＝sinnx推出f(cosx)＝cosnx? 解：(1)要使f(sinx)＝f＝cos＝cos ＝sinkx成立，必须且只需使＝2nπ，n∈Z，即满足条件的整数k＝4n＋1(n∈Z)． (2)f(cosx)＝f＝sin＝sin＝ 故使f(cosx)＝cosnx成立的整数n＝4k＋1，k∈Z． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$