7.2.2 单位圆与三角函数线-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第七章　三角函数 7.2　任意角的三角函数 7.2.2　单位圆与三角函数线 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 4 2.下列说法不正确的是(　　) A.当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点 B.当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在 C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D.余弦线和正切线的始点都是原点 解析：根据三角函数线的概念，可知A，B，C都正确；因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上，所以D不正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 8 知识点三　利用三角函数线证明等式或不等式 6.利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则sin2α＋cos2α＝1. 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 9 7.利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1. 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 10 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 14 4.cos1，sin1，tan1的大小关系是(　　) A.cos1<sin1<tan1 B.tan1<sin1<cos1 C.cos1<tan1<sin1 D.sin1<cos1<tan1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 二、多选题 6.下列说法正确的是(　　) A.α一定时，单位圆中的正弦线也一定 B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α＋π有相同的余弦线 D.具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 7.下列命题中正确的是(　　) A.α，β都是第一象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβ B.α，β都是第二象限角，若sinα>sinβ，则tanα<tanβ C.α，β都是第三象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβ D.α，β都是第四象限角，若sinα>sinβ，则tanα>tanβ 解析：如图1，α，β都是第一象限角，cosα>cosβ，则sinα<sinβ，故A错误；如图2，α，β都是第二象限角，sinα>sinβ，则tanα<tanβ，故B正确；如图3，α，β都是第三象限角，cosα>cosβ，则sinα<sinβ，故C错误；如图4，α，β都是第四象限角，sinα>sinβ，则tanα>tanβ，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 三、填空题 8.角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么α的值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　三角函数线 1.角α的三角函数线完全正确的是(　　) A.正弦线eq \o(MP,\s\up13(→))，正切线eq \o(A′T′,\s\up13(→)) B.余弦线eq \o(OM,\s\up13(→))，正切线eq \o(A′T′,\s\up13(→)) C.正弦线eq \o(MP,\s\up13(→))，正切线eq \o(AT,\s\up13(→)) D.余弦线eq \o(MP,\s\up13(→))，正切线eq \o(AT,\s\up13(→)) 解析：根据三角函数线的定义，可知eq \o(MP,\s\up13(→))是正弦线，eq \o(OM,\s\up13(→))是余弦线，eq \o(AT,\s\up13(→))是正切线.故选C. 3.作出－eq \f(2π,3)的正弦线、余弦线、正切线. 解：因为－eq \f(2π,3)＝－2π＋eq \f(4π,3)，所以角－eq \f(2π,3)与角eq \f(4π,3)的终边相同， 作出单位圆，交角－eq \f(2π,3)的终边于点P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－eq \f(2π,3)的终边的反向延长线于点T，如图所示， 则角－eq \f(2π,3)的正弦线为eq \o(MP,\s\up13(→))，余弦线为eq \o(OM,\s\up13(→))，正切线为eq \o(AT,\s\up13(→)). 知识点二　利用三角函数线比较大小 4.已知－eq \f(3π,4)<α<－eq \f(π,2)，则sinα，cosα，tanα的大小关系为(　　) A.sinα>cosα>tanα B.cosα>sinα>tanα C.tanα>cosα>sinα D.sinα>tanα>cosα 解析：如图，在单位圆中，作出eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，－\f(π,2)))内的一个角α及其正弦线eq \o(MP,\s\up13(→))，余弦线eq \o(OM,\s\up13(→))，正切线eq \o(AT,\s\up13(→)).由图可知，|eq \o(OM,\s\up13(→))|<|eq \o(MP,\s\up13(→))|<|eq \o(AT,\s\up13(→))|，又eq \o(OM,\s\up13(→))，eq \o(MP,\s\up13(→))分别与x轴、y轴的正方向相反，而eq \o(AT,\s\up13(→))与y轴的正方向相同，所以tanα>cosα>sinα.故选C. 5.设a＝sineq \f(5π,7)，b＝coseq \f(2π,7)，c＝taneq \f(2π,7)，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 解析：如图，在单位圆O中分别作出角eq \f(5π,7)，eq \f(2π,7)，eq \f(2π,7)的正弦线、余弦线、正切线eq \o(M1P1,\s\up13(→))，eq \o(OM2,\s\up13(→))，eq \o(AT,\s\up13(→)).由eq \f(5π,7)＝π－eq \f(2π,7)知|eq \o(M1P1,\s\up13(→))|＝|eq \o(M2P2,\s\up13(→))|，又eq \f(π,4)<eq \f(2π,7)<eq \f(π,2)，易知|eq \o(AT,\s\up13(→))|>|eq \o(M2P2,\s\up13(→))|>|eq \o(OM2,\s\up13(→))|，所以coseq \f(2π,7)<sineq \f(5π,7)<taneq \f(2π,7)，故b<a<c. 证明：如图，记角α的始边、终边与单位圆的交点分别为点A，P，点A在x轴的正半轴上，过点P作PM⊥x轴于点M，角α的正弦线、余弦线分别为eq \o(MP,\s\up13(→))，eq \o(OM,\s\up13(→))，则sinα＝|eq \o(MP,\s\up13(→))|，cosα＝|eq \o(OM,\s\up13(→))|. 在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2， 所以sin2α＋cos2α＝1. 证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)，此时|sinα|＋|cosα|＝1. 当角α的终边落在第二象限时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝|eq \o(MP,\s\up13(→))|＋|eq \o(OM,\s\up13(→))|>1； 同理，当α的终边在其他象限时也有|sinα|＋|cosα|>1. 综上，|sinα|＋|cosα|≥1. 一、单选题 1.如图，角θ的顶点为原点，始边在x轴的正半轴上，终边OB与单位圆交于点C.过点C作x轴的垂线，垂足为A，则|eq \o(AC,\s\up13(→))|表示的实数是(　　) A.sinθ B.cosθ C.tanθ D.eq \f(1,tanθ) 解析：由题意，易得|eq \o(AC,\s\up13(→))|表示的实数是sinθ.故选A. 2.角eq \f(π,5)和角eq \f(6π,5)有相同的(　　) A.正弦值 B.余弦值 C.正切线 D.不能确定 解析：因为eq \f(6π,5)＝π＋eq \f(π,5)，可知角eq \f(π,5)和角eq \f(6π,5)的终边互为反向延长线，即两个角的终边在同一条直线上，设为直线l，过点A(1，0)作单位圆的切线，与直线l有且只有一个交点T，可得taneq \f(π,5)＝taneq \f(6π,5)＝|eq \o(AT,\s\up13(→))|，即两角有相同的正切线.故选C. 3.下面四个选项中大小关系正确的是(　　) A.sineq \f(π,5)<sineq \f(4π,5) B.sineq \f(π,5)>coseq \f(4π,5) C.coseq \f(π,5)<coseq \f(4π,5) D.taneq \f(π,5)<taneq \f(4π,5) 解析：如图，在单位圆中作出角eq \f(π,5)的正弦线eq \o(DP,\s\up13(→))，余弦线eq \o(OD,\s\up13(→))，正切线eq \o(AT,\s\up13(→))，角eq \f(4π,5)的正弦线eq \o(D′P′,\s\up13(→))，余弦线eq \o(OD′,\s\up13(→))，正切线eq \o(AT′,\s\up13(→))，由于eq \f(π,5)＝π－eq \f(4π,5)，因此eq \f(π,5)和eq \f(4π,5)的终边关于y轴对称，由图可得sineq \f(π,5)＝sineq \f(4π,5)>0，coseq \f(π,5)>0>coseq \f(4π,5)，taneq \f(π,5)>0>taneq \f(4π,5)，∴sineq \f(π,5)>0>coseq \f(4π,5)，∴A，C，D均错误，B正确.故选B. 解析：作出单位圆，用三角函数线进行求解.如图所示，有|eq \o(OM,\s\up13(→))|<|eq \o(MP,\s\up13(→))|<|eq \o(AT,\s\up13(→))|，即cos1<sin1<tan1.故选A. 5.如图所示，角αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，其终边与单位圆的交点为P，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，分别交角α的终边于T，S，根据三角函数的定义，tanα＝AT.现在定义余切函数y＝cotα，满足cotα＝eq \f(1,tanα)，则下列表示正确的是(　　) A.cotα＝OT B.cotα＝PS C.cotα＝OS D.cotα＝BS 解析：由题图可知，△OBS∽△TAO，则eq \f(OB,TA)＝eq \f(BS,AO)，即BS·TA＝OB·AO＝1，所以BS＝eq \f(1,AT)＝eq \f(1,tanα)＝cotα.故选D. 解析：对于A，α一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确；对于B，eq \f(π,6)与eq \f(5π,6)有相同的正弦线，但eq \f(π,6)≠eq \f(5π,6)，故B错误；对于C，α和α＋π的余弦线相反，故C错误；对于D，一三象限角的正切线相同，二四象限角的正切线相同，即具有相同正切线的两个角的终边一定在同一条直线上，故D正确.故选AD. 解析：因为角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，所以sinα＝－cosα，即角α的终边为二、四象限的角平分线，所以α＝eq \f(3π,4)或α＝eq \f(7π,4). eq \f(3π,4)或eq \f(7π,4) 9.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，在单位圆中角α的正弦线、余弦线、正切线分别是eq \o(MP,\s\up13(→))，eq \o(OM,\s\up13(→))，eq \o(AT,\s\up13(→))，则它们的模从大到小的顺序为______________. 解析：由图可知，当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，cosα<sinα<1，tanα>1，即|eq \o(OM,\s\up13(→))|<|eq \o(MP,\s\up13(→))|<1，|eq \o(AT,\s\up13(→))|>1，所以|eq \o(AT,\s\up13(→))|>|eq \o(MP,\s\up13(→))|>|eq \o(OM,\s\up13(→))|，故当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))时，|eq \o(AT,\s\up13(→))|>|eq \o(MP,\s\up13(→))|>|eq \o(OM,\s\up13(→))|. |eq \o(AT,\s\up13(→))|>|eq \o(MP,\s\up13(→))|>|eq \o(OM,\s\up13(→))| 10.若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，则下列各式中正确的是________. ①sinθ＋cosθ<0；②sinθ－cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|. 解析：如图，因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以sinθ＝|eq \o(MP,\s\up13(→))|>0，cosθ＝－|eq \o(OM,\s\up13(→))|<0，且|eq \o(MP,\s\up13(→))|>|eq \o(OM,\s\up13(→))|，所以sinθ＋cosθ>0，sinθ－cosθ>0，|sinθ|>|cosθ|，所以①错误，②正确，③错误. 四、解答题 11.作出角eq \f(7π,6)，－eq \f(9π,4)的正弦线、余弦线、正切线，并比较相应三角函数值的大小. 解：如图1所示，图中eq \o(MP,\s\up13(→))，eq \o(OM,\s\up13(→))，eq \o(AT,\s\up13(→))分别为角eq \f(7π,6)的正弦线、余弦线、正切线. 如图2所示，图中eq \o(M′P′,\s\up13(→))，eq \o(OM′,\s\up13(→))，eq \o(A′T′,\s\up13(→))分别为角－eq \f(9π,4)的正弦线、余弦线、正切线. 由图可知－|eq \o(MP,\s\up13(→))|>－|eq \o(M′P′,\s\up13(→))|，所以sineq \f(7π,6)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)))； －|eq \o(OM,\s\up13(→))|<0<|eq \o(OM′,\s\up13(→))|，所以coseq \f(7π,6)<coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)))； |eq \o(AT,\s\up13(→))|>0>－|eq \o(A′T′,\s\up13(→))|，所以taneq \f(7π,6)>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4))). 12.设0＜β＜α＜eq \f(π,2)，求证：α－β＞sinα－sinβ. 证明：如图，设单位圆与角α，β的终边分别交于P1，P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x轴于M2，作P2C⊥P1M1于C，连接P1P2， 则sinα＝M1P1，sinβ＝M2P2，α－β＝eq \o(P1M,\s\up15(︵))－eq \o(P2M,\s\up15(︵))＝eq \o(P1P2,\s\up15(︵))， 所以α－β＝eq \o(P1P2,\s\up15(︵))＞P1P2＞CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sinα－sinβ， 即α－β＞sinα－sinβ. 13.[多选]如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0).已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sinx0)，则下列说法中正确的是(　　) A.若∠AOB＝α，则eq \o(ACB,\s\up15(︵))＝α B.若y1＝sinx0，则x1＝x0 C.若y1＝sinx0，则eq \o(ACB,\s\up15(︵))＝x0 D.若eq \o(ACB,\s\up15(︵))＝x0，则y1＝sinx0 解析：由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有eq \o(ACB,\s\up15(︵))＝1·α＝α，所以A正确；由于点B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sinx0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cosx0，所以B错误；当y1＝sinx0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即eq \o(ACB,\s\up15(︵))＝x0时，y1＝sinx0一定成立，所以D正确.故选AD. 14.应用单位圆证明：若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinα<α<tanα. 证明：如图，由三角函数线，得sinα＝|eq \o(MP,\s\up13(→))|，tanα＝|eq \o(AT,\s\up13(→))|，α＝eq \o(AP,\s\up15(︵))， ∵S△POA<S扇形POA<S△AOT， ∴eq \f(1,2)OA·|eq \o(MP,\s\up13(→))|<eq \f(1,2) eq \o(AP,\s\up15(︵))·OA<eq \f(1,2)|eq \o(AT,\s\up13(→))|·OA， ∴|eq \o(MP,\s\up13(→))|<eq \o(AP,\s\up15(︵))<|eq \o(AT,\s\up13(→))|，即sinα<α<tanα. $$