第2章 6.1 第2课时 正弦定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　正弦定理 知识点一　利用正弦定理解三角形 1．在△ABC中，若a＝4，A＝45°，B＝60°，则b的值为(　　) A．＋1 B．2＋1 C．2 D．2＋2 答案　C 解析　由正弦定理＝，得＝，所以b＝2.故选C. 2．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　由正弦定理，得＝＝，则cosC＝sinC，即C＝45°.故选B. 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsinA，则sinB＝(　　) A． B． C．－ D． 答案　A 解析　由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以sinA＝sinBsinA，又sinA≠0，故sinB＝. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，A＋C＝3B，则角A的大小为________． 答案　30° 解析　∵A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，∴B＝45°，由正弦定理＝，得sinA＝＝.∵0°<A<180°，∴A＝30°或150°.当A＝150°时，A＋B＝195°>180°，与三角形内角和为180°矛盾，舍去，∴A＝30°. 5．根据下列条件解三角形： (1)a＝10，A＝30°，C＝45°； (2)b＝，B＝60°，c＝1； (3)c＝，A＝45°，a＝2. 解　(1)∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理，得c＝＝10， b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)，∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10. (2)∵＝， ∴sinC＝＝＝. ∵b>c，B＝60°，∴C<60°，∴C＝30°，A＝90°， ∴a＝＝2. (3)∵＝， ∴sinC＝＝＝， ∵c>a，A＝45°，∴C>45°， ∴C＝60°或120°. 当C＝60°时，B＝75°， b＝＝＝＋1. 当C＝120°时，B＝15°， b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 知识点二　三角形解的个数的判断 6．已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理和已知条件得＝，所以sinB＝>1，所以此三角形无解． 7．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°. 解　(1)sinB＝＝×<，所以三角形有一解． (2)sinB＝＝1，所以三角形无解． (3)因为a＝60°，为锐角，a＝9，bsinA＝10×＝5，所以bsinA<a<b，所以三角形有两解． [名师点拨]　已知三角形两边和其中一边的对角，利用正弦定理可以判断三角形解的个数有四种情况：①a<bsinA，无解；②a＝bsinA，有一解；③bsinA<a<b，有两解；④a≥b，有一解． 知识点三　正弦定理的综合应用 8．在△ABC中，a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)的值是(　　) A． B．0 C．1 D．π 答案　B 解析　设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，则a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0. 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为，则sinBsinC＝________． 答案　 解析　由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理得sinCsinB＝.故sinBsinC＝. 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为________． 答案　π 解析　在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π. 11．已知在△ABC中，bsinB＝csinC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解　根据正弦定理，可设＝＝＝2R， 其中R为△ABC外接圆的半径． 从而得sinA＝，sinB＝，sinC＝. 因为bsinB＝csinC，sin2A＝sin2B＋sin2C， 所以b·＝c·，＝＋， 所以b2＝c2，a2＝b2＋c2，所以b＝c，A＝90°. 所以△ABC为等腰直角三角形． 一、选择题 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　根据正弦定理，得＝＝. 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　) A．4 B．4 C．4 D． 答案　C 解析　A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定理得b＝＝＝4.故选C. 3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 答案　A 解析　因为在△ABC中，满足sin2A＋sin2B<sin2C，所以由正弦定理知sinA＝，sinB＝，sinC＝，R为三角形外接圆的半径，代入上式得a2＋b2<c2，又由余弦定理可得cosC＝<0，因为C是三角形的内角，所以<C<π，所以△ABC为钝角三角形． 4．[多选]下列说法正确的是(　　) A．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝b B．在△ABC中，a≥bsinA C．在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B，若A>B，则sinA>sinB都成立 D．在△ABC中，＝ 答案　BCD 解析　在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或A＋B＝，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故A错误；在△ABC中，由正弦定理得a＝，因为0<sinB≤1，所以a≥bsinA，故B正确；在△ABC中，由正弦定理得sinA>sinB⇔>⇔a>b⇔A>B，所以A>B是sinA>sinB的充要条件，故C正确；在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2R，所以＝＝2R＝，故D正确． 5．已知△ABC中，B＝45°，a＝1，若△ABC仅有一解，则b的取值范围为(　　) A． B．(，＋∞) C．∪(，＋∞) D．∪[1，＋∞) 答案　D 解析　由B＝45°，a＝1，三角形有一解，则b＝asinB＝sin45°＝或b≥a＝1.故选D. 二、填空题 6．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________． 答案　1 解析　由正弦定理＝得＝，所以sinB＝.因为C＝，所以B为锐角，所以B＝，A＝，故a＝b＝1. 7．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝________. 答案　105°或15° 解析　因为＝，所以＝，所以sinC＝.因为c>a，csinA＝5<5＝a，所以角C有两解．所以C＝45°或135°.所以B＝105°或15°. 8．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(0，0)，C(3，0)，则△ABC外接圆的面积为________． 答案　 解析　|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝3.利用余弦定理，cosC＝＝，所以sinC＝，故2R＝＝，解得R＝，所以S＝πR2＝. 三、解答题 9．(1)在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形； (2)在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，解三角形． 解　(1)C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，因为＝＝， 所以b＝＝＝＝4， c＝＝＝＝2＋2. (2)由正弦定理，得＝， 得sinB＝＝. 因为b＞c，所以B＞C＝30°，所以B＝60°或120°. 当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12. 当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6. 所以a＝6，A＝30°，B＝120°或a＝12，A＝90°，B＝60°. 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，同时还可能满足以下某些条件： ①A＝；②B>A；③sinB<sinA；④c＝4. (1)直接写出所有可能满足的条件序号； (2)在(1)的条件下，求B及c的值． 解　(1)①，③. (2)由＝，可得＝， ∴sinB＝＝＝. ∵a＝2>b＝，∴A>B，∴B＝. 由a2＝b2＋c2－2bccosA， 得22＝()2＋c2－2××c×， 解得c＝＋1或c＝－＋1(舍去)． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$