第1章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

7．1　正切函数的定义 7．2　正切函数的诱导公式 知识点一　正切函数定义的应用 1．已知角α的终边过点P(x，4)，若cosα＝－，则tanα的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　由题意得cosα＝＝－，∴x＝－3.由正切函数的定义可知，tanα＝－.故选C. 2．已知角α的终边上有一点P(m，－2)，角β的终边与单位圆在第一象限交于点Q，若tanα＝2tanβ，则m＝________． 答案　－ 解析　由题意得＋n2＝1，n>0，∴n＝，∴tanβ＝，tanα＝－.∵tanα＝2tanβ，∴－＝2，解得m＝－. 3．已知角α的终边为射线y＝－x(x≥0)，求角α的正切值． 解　设角α的终边与单位圆的交点为(x，y)， 由得x2＋x2＝1， 即25x2＝16，即x＝或x＝－. ∵x≥0，∴x＝，从而y＝－. ∴角α的终边与单位圆的交点坐标为. 由正切函数的定义知，tanα＝＝－. 知识点二　给角求值 4．(1)tan＝________； (2)tan＝________； (3)tan210°＝________； (4)tan870°＝________． 答案　(1)　(2)1　(3)　(4)－ 解析　(1)tan＝－tan＝－tan＝－tan＝tan＝. (2)tan＝tan＝tan＝1. (3)tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan30°＝. (4)tan870°＝tan(2×360°＋150°)＝－. 5．tan＋tan＋tan＋tan＝________． 答案　0 解析　原式＝tan＋tan＋tan＋tan＝tan＋tan－tan－tan＝0. 知识点三　给值求值 6．已知tan(α－π)＝，则tan＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　B 解析　由tan(α－π)＝得tanα＝，∴tan＝－＝－. 7．(1)已知cos＝，且|φ|<，则tanφ＝________； (2)已知tan＝，则tan＝________． 答案　(1)－　(2)－ 解析　(1)因为cos＝－sinφ＝，所以sinφ＝－.因为|φ|<，所以φ＝－，所以tanφ＝tan＝－tan＝－. (2)tan＝tan＝－tan＝－. 知识点四　化简求值与证明 8．化简： (1)； (2)； (3). 解　(1)原式＝＝－1. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝. (3)原式＝ ＝＝－cosα. 9．已知tan(3π＋α)＝3，求 的值． 解　由已知得，tanα＝3，故 ＝＝＝＝. 10．求证： (1) ＝tanα； (2)当k＝2或3时， ＝. 证明　(1) ＝ ＝ ＝＝tanα. (2)当k＝2时， 左边＝ ＝＝＝＝右边； 当k＝3时， 左边＝ ＝ ＝＝＝右边． 故当k＝2或3时，原等式成立． 一、选择题 1．tan330°＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　tan330°＝tan(360°－30°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－. 2．若sin(π＋α)＝，α∈，则tanα＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　∵sin(π＋α)＝－sinα＝，∴sinα＝－，又α∈，∴α＝－，∴tanα＝tan＝－. 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则的值为(　　) A． B．－ C．3 D．－3 答案　A 解析　在直线y＝2x上任取一点P(a，2a)(a≠0)，由题意，得tanθ＝2，∴＝＝. 4．若tan＝－5，则tan＝(　　) A．5 B．－5 C．25 D．与α的值有关 答案　A 解析　因为tan＝－tan＝－5，所以tan＝5，即tan＝5，故tan＝5. 5．[多选]下列化简正确的是(　　) A．tan(π＋1)＝tan1 B．＝cosα C．＝tanα D．＝1 答案　AB 解析　由诱导公式可得tan(π＋1)＝tan1，故A正确；＝＝cosα，故B正确；＝＝－tanα，故C不正确；＝＝－1，故D不正确．故选AB. 二、填空题 6．若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________． 答案　－　　－ 解析　因为x＝5，y＝－12，所以r＝＝13，则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－. 7．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则tanα＝________． 答案　－ 解析　由于cosα＝＝x，且x<0，可解得x＝－.∴tanα＝＝－. 8．tan1°tan2°…tan45°tan46°…tan88°tan89°＝________． 答案　1 解析　当1°≤α≤89°时，tan＝，∴tan(90°－α)tanα＝1，因此，tan1°tan2°·…·tan45°tan46°…tan88°tan89°＝144·tan45°＝1. 三、解答题 9．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，求证：tan＝－tan. 证明　∵A，B，C是△ABC的三个内角， ∴A＋B＋C＝π， ∴tan＝tan＝－tan＝－tan. ∴tan＝－tan. 10．已知tanα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第二象限角．求 的值． 解　由tanα是方程5x2－7x－6＝0的根，可得tanα＝－或tanα＝2(舍去)， 原式＝ ＝ ＝－tanα. 所以所求式子的值为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$