7.1正切函数的定义&7.2正切函数的诱导公式-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版2019）

(２)由(１)知,f(x)＝２sin ２x＋π６( ) , 所以函数f(x)的最大值是２． 令２x＋π６＝ π ２＋２kπ (k∈Z),得x＝π６＋kπ (k∈Z), 所 以 f (x)取 得 最 大 值 时 x 的 取 值 集 合 是 x x＝π６＋kπ ,k∈Z{ }． (３)由(１)知,f(x)＝２sin ２x＋π６( )．令－ π ２＋２kπ≤２x ＋π６≤ π ２＋２kπ ,k∈Z, 得－π３＋kπ≤x≤ π ６＋kπ ,k∈Z, 所 以 函 数 f (x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 －π３＋kπ ,π ６＋kπ[ ](k∈Z)． １３．解:(１)由 题 意 得 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 T＝ ２ １７－１６＝２,∴ω＝π． 把坐标 １ ２ ,２( ) 代入得２sin π２＋φ( )＝ ２, ∴cosφ＝ ２ ２． 又０＜φ＜ π ２ ,∴φ＝ π ４ ,∴f(x)＝２sin πx＋π４( )． (２)令２kπ－π２≤πx＋ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 解得２k－３４≤x≤２k＋ １ ４ ,k∈Z, ∵x∈[０,２], ∴ f (x)在 [０,２]上 的 单 调 递 增 区 间 是 ０,１４[ ] 和 ５ ４ ,２[ ]． １４．解:法一:(１)因为直线x＝ π１２ 是函数f(x)图象的对称 轴,f π１２( )＝２,A＞０,所以A＝２． 又因为x＝π３ 是函数f(x)的零点, 所以最小正周期T＝ ４２n－１ π ３－ π １２( )(n∈N ∗ ), 即T＝ π２n－１ (n∈N∗ ), 所以ω＝２πT＝ ２π π ２n－１ ＝４n－２(n∈N∗ )． 因为０＜ω＜６,所以０＜４n－２＜６, 所以１ ２＜n＜２． 又因为n∈N∗ ,所以n＝１,所以ω＝２, 因此f(x)＝２sin(２x＋φ)． 因为f π１２( )＝２, 所以２sin π６＋φ( )＝２,即sin π ６＋φ( )＝１, 又因为|φ|＜ π ２ ,所以φ＝ π ３ , 故f(x)＝２sin ２x＋π３( )． (２)依题 意 知 函 数y＝f(x)的 图 象 与 直 线y＝m 在 －π２ ,０[ ] 上有两个交点, 设t＝２x＋π３ ,由x∈ －π２ ,０[ ] ,得t∈ －２π３, π ３[ ] , 结 合 图 象 (如 图 )可 知,函 数 y ＝ ２sin t 在 －２π３ ,－π２[ ] 上单调递减,在 － π ２ ,π ３[ ] 上单调递增． 当t＝－２π３ 时,y＝－ ３; 当t＝－π２ 时,y＝－２; 当t＝π３ 时,y＝ ３． 所以m 的取值范围为(－２,－ ３]． 法二:(１)由已知得 sin πω３＋φ( )＝０, sin πω１２＋φ( )＝１, ì î í ïï ï 所以 πω ３＋φ＝k１π ,k１∈Z, πω １２＋φ＝２k２π＋ π ２ ,k２∈Z, ì î í ïï ï ∴ω＝４(k１－２k２)－２,k１,k２∈Z． 又因为０＜ω＜６,|φ|＜ π ２ ,所以ω＝２,φ＝ π ３ ,故f(x) ＝２sin ２x＋π３( )． (２)依题 意 知 函 数y＝f(x)的 图 象 与 直 线y＝m 在 －π２ ,０[ ] 上有２个交点, 结合图象(如图)可知: 函数y＝２sin ２x＋π３( ) 在 － π ２ ,－５π１２[ ] 上单调递减, 在 －５π１２ ,０[ ] 上单调递增． 当x＝－π２ 时,y＝－ ３; 当x＝－５π１２ 时,y＝－２; 当x＝０时,y＝ ３． 所以m 的取值范围是(－２,－ ３]． §７．正切函数 ７．１　正切函数的定义 ７．２　正切函数的诱导公式 １．B　２．A　３．B　４．B　５．AC ６．CD　[∵tan(π－α)＝－３,∴tanα＝３． 则sinα cosα＝３ ,又sin２α＋cos２α＝１,解得sinα＝±３ １０１０ ． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３１􀅰 必修第二册 ７．解析:∵sin(π＋α)＝－sinα＝１２ ,∴sinα＝－１２ , 又α∈ －π２ ,０( ) ,∴α＝－π６, ∴tanα＝tan －π６( )＝－ ３ ３． 答案:－ ３３ ８．解析:(１)设x＝３,y＝４则r＝ ３２＋４２＝５, 所以sinα＝yr ＝ ４ ５ ,cosα＝xr ＝ ３ ５ ,tanα＝yx ＝ ４ ３ ,所 以tan(－６π＋α)＝tanα＝４３． (２)原式＝sinαcosα 􀅰sinα􀅰cosα＝sin２α＝ ４５( ) ２ ＝１６２５． 答案:(１)４３　 (２)１６２５ ９．解析: cos π２－α( )－３cosα sinα－cos(π＋α) ＝ sinα－３cosα sinα＋cosα ＝tanα－３tanα＋１＝２． 解得tanα＝－５． 答案:－５ １０．解:(１)因 为 P ４５ ,－３５( ) ,|OP|＝１,所 以 sinα＝ －３５． (２) sin π２－α( )tan(α－π) sin(α＋π)cos(３π－α)＝ cosαtanα －sinα(－cosα)＝ １ cosα , 由三角函数定义知cosα＝４５ ,故所求式子的值为５ ４． １１．解:左边＝－tanαsin (－α)cos(－α) cos(π－α)sin(π－α) ＝ －tanα(－sinα)cosα －cosαsinα ＝－tanα＝ 右边, ∴原式得证． １２．解:(１)sin２５π３ ＋tan － １５π ４( ) ＝sin ８π＋π３( )＋tan －４π＋ π ４( ) ＝sinπ３＋tan π ４＝ ３ ２＋１＝ ３＋２ ２ ． (２)sin８１０°＋cos３６０°－tan１１２５° ＝sin(２×３６０°＋９０°)＋cos(０°＋３６０°)－tan(３×３６０°＋４５°) ＝sin９０°＋cos０°－tan４５° ＝１＋１－１＝１． １３．解:(１)cos π２＋φ( )＝－sinφ＝ ３ ２ , sinφ＝－ ３ ２ ,又因为|φ|＜ π ２ ,所以cosφ＝ １ ２ ,故tanφ ＝－ ３． (２)因为sin(α＋π)＝－sinα＝４５ , 且sinαcosα＜０,所以sinα＝－４５ , cosα＝３５ ,tanα＝－４３ , 所以２sin(α－π)＋３tan(３π－α) ４cos(α－３π) ＝－２sinα－３tanα－４cosα ＝ ８ ５＋４ －４×３５ ＝－７３． １４．解:由sinα是方程５x２－７x－６＝０的根, 可得sinα＝－３５ 或sinα＝２(舍), 原式＝ －sin ３π２＋α( )×sin ３π ２－α( )×(－tanα) ２×(－tanα) sinα×(－sinα) ＝cosα× (－cosα)×tan２α×(－tanα) sinα×(－sinα) ＝－tanα． 由sinα＝－３５ ,可知α是第三象限或者第四象限角,所 以tanα＝３４ 或－３４ ,即所求式子的值为±３４． ７．３　正切函数的图象与性质 １．D　２．B　３．C　４．A　５．AD ６．BC　[因为f(x)＝ ３tan(２x＋φ),所以其最小正周期T ＝π２ ,则EF＝π２ ,又△DEF 的面积为 π４ ,所以S△DEF ＝ １ ２×EF×OD＝ １ ２× π ２×OD＝ π ４ ,所以OD＝１,即点D 的纵坐标 为 １,故 A 错 误;因 为 OD＝１,所 以 f(０)＝ ３tanφ＝１,所以tanφ＝ ３ ３ ,所以φ＝ π ６＋kπ ,k∈Z,又 因 为 |φ| ＜ π ２ ,所 以 φ ＝ π ６ ,所 以 f (x)＝ ３tan ２x＋π６( ) ,令－ π ２＋kπ＜２x＋ π ６＜ π ２＋kπ ,k∈Z, 解得－π３＋ kπ ２＜x＜ π ６＋ kπ ２ ,k∈Z,所以函数f(x)的单 调递增区间为 －π３＋ kπ ２ ,π ６＋ kπ ２( ) ,k∈Z,故 B正确; 令２x＋π６＝ kπ ２ ,k∈Z,解得x＝－π１２＋ kπ ４ ,k∈Z,所以函 数f(x)图象的对称中心为 －π１２＋ kπ ４ ,０( ) ,k∈Z,故C正 确;将y＝ ３tanx的图象上各点的横坐标缩短为原来的 １ ２ ,纵坐标不变,得到y＝ ３tan２x的图象,再将得到的图 象向左平移 π ６ 个单位长度,得到y＝ ３tan２ x＋π６( ) ＝ ３􀅰tan ２x＋π３( ) 的图象,故 D错误．故选BC．] ７．解析:由正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期公式T＝ π |ω| , 可求得函数y＝tan －x２( ) 的周期T＝ π |ω|＝ π １ ２ ＝２π． 答案:２π ８．解析:要使函数有意义,自变量x的取值应满足３x－ π３ ≠kπ＋π２ (k∈Z),得x≠kπ３＋ ５π １８ (k∈Z),∴函数的定义 域为 x x≠kπ３＋ ５π １８ ,k∈Z{ }． 答案:x x≠kπ３＋ ５π １８ ,k∈Z{ } ９．解析:∵－π６≤x≤ π ６ ,∴－π３≤２x≤ π ３． ∴f(x)＝tan２x在 －π６ ,π ６[ ] 上为增函数, ∴f(x)max＝f π ６( )＝tan π ３＝ ３ , f(x)min＝f － π ６( )＝tan － π ３( )＝－ ３． 答案:３　－ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３１􀅰 参考答案 第一章三角函数 课何作业 数课时 §7.正切函数 7.1 正切函数的定义 间 学作业 7.2 正切函数的诱导公式 纠错空间 基础过关 JI CHU GUO GUAN 7.in(x十a)=a∈(-0小则ana 1.tan 13 6 的值是 8.已知角a的终边经过点P(3,4),则 1 A. B.一3 3 (1)tan(-6π+a)= C. (2)sin(a-4x) cos(6π十a) ·sin(a-2π)·cos(2π 2 十a)= 2.sno 5.tan - 的值是 3cos a ( 9.已知 sina-cos(π+a) =2,则tana= A.-33 4 C、 10.已知角a的终边经过点P(信-》】 4 n (1)求sina的值： 3已知1an-小片3则1a+ sin-ajtan(a-x) (2)求snta+r)eos3x-a的值. 方法总结 A号 B一吉 c D.、23 3 4.化简tan(27°-a)·tan(49°-3)·tan(63° 十a)·tan(139°-)的结果为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.(多选)已知cos(π十a)= 则ama的 可能取值为(sina十cos2a=1)( 号 B25 c. D.-25 6.(多选)已知a为任意角，tan(π一a)+3 =0,且sin'a十cosa=1,则sina的值可 以是 A号 B.- 3 44444444.44444 C.30 10 D.-310 10 ·27· 世数学 必修第二册 11.求i证，tan(2r-a)sin(-2x-a)cos(6x-a） 13.求下列各式的值： 空 cos(a-π)sin(5r-a) 间 =-tan a. 纠错空间 求tanp的值. (2)已知in(a十x)=音，且sin os <0,求 2sin(a-π)+3tan(3π-a) 4c0s(a-3π) 的值. 1上里11年44年出41 4444+444+444 44444444 能力提升 NENG LI TI SHENG 方法总结 12.求下列各式的值： 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.已知sina是方程5x2-7x-6=0的 (2)sin810°+cos360°-tan1125° 根，求 sin(-a-受x）:sin(2-a）·an(2x-ea)·tan(x-ay eos(登-a）·cos(登+aj】 的值. 400444+444++44404444 444444444444 中中#年4中中#年中卡卡年年中卡4中卡 ·28·