第1章 5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

5．1　正弦函数的图象与性质再认识 知识点一　正弦函数图象的画法 1．用“五点法”画出下列函数的简图． (1)y＝＋sinx，x∈[0，2π]； (2)y＝－sinx，x∈[－π，π]． 解　(1)①取值列表如下： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝＋sinx － ②描点、连线，如图所示． (2)①取值列表如下： x －π － 0 π y＝－sinx 0 1 0 －1 0 ②描点、连线，如图所示． [规律方法]　五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数图象的平衡点及最高点、最低点，连线要保持光滑，注意凸凹方向． 知识点二　正弦函数图象的应用 2．在x∈[0，2π]内，不等式sinx＜－的解集是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　画出y＝sinx，x∈[0，2π]的草图如下． 因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－.即在x∈[0，2π]内，满足sinx＝－的x＝或.可知不等式sinx<－在x∈[0，2π]内的解集是.故选D. 3．判断方程sinx＝－，x∈[0，2π]根的个数． 解　画出y＝sinx和y＝－在区间[0，2π]上的图象，如图所示．由图象可知两图象有2个交点，因此原方程有2个实数根． 知识点三　正弦函数的单调性与最大、最小值(值域)问题 4．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________． 答案　 解析　由诱导公式，得y＝sin(x＋π)＝－sinx，画出此函数的大致图象如图，可看出函数y＝sin(x＋π)在 上的单调递增区间为. 5．求下列函数的单调区间． (1)y＝2sinx－1；(2)y＝－2sinx－1. 解　(1)因为函数y＝2sinx－1的单调性与y＝sinx的单调性相同，所以y＝2sinx－1在R上的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)． (2)因为函数y＝－2sinx－1的单调性与函数y＝sinx的单调性相反，所以函数y＝－2sinx－1的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)． 6．不通过求值，比较下列各组中三角函数值的大小． (1)sin与sin； (2)sin500°与sin530°； (3)sin(－3)与sin(－2)． 解　(1)sin＝sin， sin＝sin. 因为0<<<，y＝sinx在区间上单调递增，所以sin>sin， 即sin>sin. (2)sin500°＝sin140°，sin530°＝sin170°. 因为90°<140°<170°<180°，当90°<x<180°时，y＝sinx单调递减， 所以sin140°>sin170°，即sin500°>sin530°. (3)因为y＝sinx在区间上是减函数，－<－3<－2<－， 所以sin(－3)>sin(－2)． 7．求下列函数的定义域． (1)y＝；(2)y＝lg (2sinx－1)． 解　(1)要使函数y＝有意义，需使sinx≥0，得函数的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}． (2)要使函数y＝lg (2sinx－1)有意义， 则2sinx－1>0，即sinx>， 解得2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z. 即函数的定义域为 . 8．求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的x的值． (1)y＝sinx，x∈； (2)y＝2sinx－1； (3)y＝sin(π＋x)＋sin2x－1； (4)y＝. 解　(1)当x＝时，函数取得最大值，ymax＝1； 当x＝－时，函数取得最小值，ymin＝－. (2)当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值，ymax＝1； 当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值，ymin＝－3. (3)y＝sin(π＋x)＋sin2x－1＝sin2x－sinx－1，令t＝sinx， 则y＝t2－t－1＝－，t∈[－1，1]． ∵－1≤t≤1，∴－≤y≤1， ∴ymax＝1，此时sinx＝－1，x＝－＋2kπ，k∈Z； ymin＝－，此时sinx＝，x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z. (4)∵y＝＝＝1－＝1＋， ∴当sinx＝－1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值，ymin＝1＋＝，无最大值． 9．已知函数f(x)＝2asinx＋a＋b的定义域是，值域为[－5，－1]，求a，b的值． 解　因为f(x)＝2asinx＋a＋b的定义域是，所以0≤sinx≤1. 当a<0时，由题意解得 当a>0时，由题意解得 知识点四　正弦函数的周期性和奇偶性问题 10．求下列函数的周期． (1)y＝1＋sinx；(2)y＝sin2x； (3)y＝2sin，x∈R. 解　(1)因为1＋sinx＝1＋sin(x＋2π)，所以周期为2π. (2)因为sin2x＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)，所以周期为π. (3)因为2sin＝2sin ＝2sin，所以周期为4π. 11．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝sin； (3)f(x)＝xsin. 解　(1)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， ∵f(－x)＝＝＝＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数． (2)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)＝sin＝－cosx， ∵f(－x)＝－cos＝－cosx＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)易知f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)＝xsin＝xcosx， ∵f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 一、选择题 1．用五点法作函数y＝2sinx－1的图象时，首先应描出的关键的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案　A 解析　依据五点法作图规则可知选A. 2．[多选]关于函数y＝sin(π－x)的图象，下列说法正确的是(　　) A．关于原点对称 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．与y轴有一个交点 D．关于y轴对称 答案　ABC 解析　函数y＝sin(π－x)＝sinx的图象如图所示．根据y＝sinx，x∈R的图象可知A，B，C均正确，D错误． 3．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时的x的值为(　　) A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z) C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z) 答案　C 解析　当sinx＝－1时，y取最大值3，此时x＝2kπ－，k∈Z. 4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f＝(　　) A．1 B． C．－1 D．－ 答案　A 解析　∵函数f(x)＝sin＝sin＝sin(ω>0)的最小正周期为π，∴＝π，解得ω＝2，即f(x)＝sin，则f＝sin＝sin＝sin＝1. 5．[多选]已知函数f(x)＝|sinx|，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值为0 B．f(x)的最小正周期为π C．f>f D．f(x)是奇函数 答案　ABC 解析　－1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，故A正确；|sinx|＝|sin(x＋π)|，即有f(x)＝f(x＋π)，故B正确；f＝sin，f＝sin，由正弦函数在上单调递增，得f>f，故C正确；f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，故f(x)为偶函数，故D错误． 二、填空题 6．sin1，sin2，sin3按从小到大的顺序排列为________． 答案　sin3＜sin1＜sin2 解析　∵sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3，y＝sinx在上单调递增，且0＜π－3＜1＜π－2＜，∴sin(π－3)＜sin1＜sin(π－2)，即sin3＜sin1＜sin2. 7．函数f(x)＝＋log2(2sinx－1)的定义域是____________________________． 答案　∪∪ 解析　由题意，得由①得－8≤x≤8，由②得sinx>，解得＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)．所以不等式组的解集为∪∪. 8．若方程sinx＝在x∈上有两个实数根，则实数a的取值范围是________． 答案　(－1，1－] 解析　作出函数y＝sinx，x∈与y＝的图象，由图象可知，当≤<1，即－1<a≤1－时，y＝sinx，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sinx＝在x∈上有两个实数根，所以实数a的取值范围是(－1，1－]． 三、解答题 9．定义在R上的奇函数f(x)的周期是π，当x∈时，f(x)＝2－sinx，求f，f. 解　f＝f＝f＝－f＝－＝－2＋. f＝f＝f＝－f＝－＝－. 10．求下列函数的值域． (1)y＝|sinx|＋sinx； (2)y＝－sin2x＋2sinx－1. 解　(1)当sinx≥0时，y＝2sinx≤2，这时0≤y≤2； 当sinx<0时，y＝0. ∴函数的值域为[0，2]． (2)y＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2. ∵－1≤sinx≤1， ∴y∈[－4，0]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$