第1章 3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

3．1　弧度概念 3．2　弧度与角度的换算 知识点一　弧度概念 1．下列说法中错误的是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案　D 解析　根据1 rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角．对照选项，知A，B，C正确，D错误． 2．一场数学科目的考试需要两个小时，则时针走了________弧度． 答案　－ 解析　钟表的指针所转的角都是负角．时针顺时针方向每小时走30°，两小时走60°，故用弧度制表示为60×＝，所以时针走了－弧度． [规律方法]　时针每分钟转0.5°＝ rad，分针每分钟转6°＝ rad，秒针每分钟转360°＝2π rad，都是顺时针方向，都需要带负号． 知识点二　角度与弧度的换算 3．[多选]下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－140°化成弧度是－ D．化成角度是15° 答案　ABD 解析　对于A，67°30′＝67.5×＝，A正确；对于B，－＝－×＝－600°，B正确；对于C，－140°＝－140×＝－，C错误；对于D，＝×＝15°，D正确． [规律方法]　①角度制与弧度制互化的关键：抓住互化公式π rad＝180°；②角度制与弧度制互化的方法：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数；③角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 4．将下列各角度与弧度互化． (1)112°30′；(2) rad；(3)－3 rad. 解　(1)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad. (2) rad＝×＝405°. (3)－3 rad＝－3×＝－. 知识点三　用弧度制表示角 5．[易错题]终边落在第二象限的角组成的集合为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵终边落在y轴非负半轴上的角的集合为,终边落在x轴非正半轴上的角的集合为{α|α＝π＋2kπ，k∈Z}，∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为. [易错分析]　角度制与弧度制不能混用． 6．角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝－，则β＝________． 答案　2kπ＋，k∈Z 解析　因为角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝－，所以β＝2kπ＋，k∈Z. 7．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角，以及写出与它们终边相同的角的集合． (1)－1500°；(2)；(3)－4. 解　(1)－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°，∴－1500°可化成－10π＋，是第四象限角，与它终边相同的角的集合是. (2)＝2π＋，是第四象限角，与它终边相同的角的集合是. (3)－4＝－2π＋(2π－4)，<2π－4<π，是第二象限角，与它终边相同的角的集合是{β|β＝2kπ＋(2π－4)，k∈Z}． 8．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合(如图所示)． 解　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以终边落在阴影部分的角的集合是. (2)因为30°＝，90°＝，所以终边落在阴影部分的角的集合为. 知识点四　扇形的弧长与面积公式 9．已知扇形的弧长为20 cm，圆心角为，则该扇形的面积为________cm2. 答案　 解析　因为扇形的弧长l＝20 cm，圆心角α＝，所以该扇形的半径r＝＝＝(cm)．所以该扇形的面积S＝lr＝×20×＝(cm2)． 10．已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为4，则圆心角所对的弧长为________，该扇形的面积为________． 答案　　 解析　因为扇形的圆心角所对的弦长为4，圆心角为，所以半径r＝＝4，所以这个圆心角所对的弧长l＝×4＝，扇形的面积S＝××4＝. 一、选择题 1．675°用弧度制表示为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　675°＝675×＝. 2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C. 3．[多选]下列各对角中，终边相同的是(　　) A．和2kπ＋(k∈Z) B．－和 C．－和 D．和 答案　AC 解析　在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍．故选AC. 4．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　) A．(2－sin1cos1)R2 B．R2sin1cos1 C．R2 D．(1－sin1cos1)R2 答案　D 解析　∵扇形的弧长l＝4R－2R＝2R，∴圆心角α＝＝2.∵S弓形＝S扇形－S三角形＝αR2－·＝×2×R2－R2sin1cos1＝(1－sin1cos1)R2.故选D. 5．[多选]下列表示中正确的是(　　) A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边在y轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线y＝x上的角的集合是 答案　ABC 解析　终边在直线y＝x上的角的集合应是，故D错误． 二、填空题 6．弧度数为2的角的终边落在第________象限． 答案　二 解析　根据弧度与角度的关系可知1 rad≈57.3°，所以2 rad≈114.6°，则弧度数为2的角的终边落在第二象限． 7．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形的圆心角为________． 答案　 解析　由弧长公式l＝αR，得α＝＝＝. 8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________． 答案　－，－，， 解析　由题意，角α与角的终边相同，故α＝＋2kπ，k∈Z.又α∈(－4π，4π)，∴－4π<＋2kπ<4π，k∈Z，∴－<k<.∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1.故α＝－，－，，. 三、解答题 9．已知α＝2000°. (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)． 解　(1)α＝2000°＝5×360°＋200°＝10π＋. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋，k∈Z，又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋＝. 10．已知某扇形的周长为12，半径为r. (1)若扇形的圆心角α＝30°，求该扇形的半径； (2)当扇形半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角． 解　(1)扇形的圆心角α＝30°＝， 则2r＋r＝12，解得r＝. (2)设扇形的弧长为l， 则由题意得l＋2r＝12，则l＝12－2r， 所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)r＝－(r－3)2＋9， 所以当r＝3时，扇形的面积最大， 此时圆心角为＝＝2. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$