第1章 1 周期变化-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

知识点一　周期现象 1．下列是周期现象的为(　　) ①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；②某超市每天的营业额；③某地每年6月份的平均降雨量． A．①③ B．②③ C．① D．①② 答案　C 解析　①是周期现象；②中每天的营业额是随机的，不是周期现象；③中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 2．造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化．下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是(　　) A．5.5天 B．7天 C．14天 D．20天 答案　B 解析　由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天等级相同，所以此造父变星亮度变化的周期是7天． 3．如图为某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题： (1)这个简谐运动需要多长时间往复一次？ (2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如果从点A算起呢？ 解　(1)由图象易知这个简谐运动需要0.8 s往复一次． (2)如果从点O开始算起，那么到曲线上的点D表示完成了一次往复运动．如果从点A开始算起，那么到曲线上的点E表示完成了一次往复运动． 知识点二　周期函数 4．已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则f(4.5)的值为(　　) A．2 B．－1 C．－ D．1 答案　D 解析　因为f(x)的周期为2，所以f(4.5)＝f(0.5)．又因为当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，所以f(4.5)＝f(0.5)＝4×0.5－1＝1. 5．已知奇函数y＝f(x)满足f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝________． 答案　－2 解析　因为y＝f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(1)＝2，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(2)＝f(－2)＝－f(2)，则f(2)＝0，所以f(2)＋f(3)＋f(4)＝0－2＋0＝－2. 6．下列图象中，是不是周期变化，如果是，写出它的周期；如果不是，请说明理由． (1) (2) (3) (4) 解　(1)是周期变化，周期为π. (2)是周期变化，周期为π. (3)不是周期变化，因为每段的端点不一致，不是重复出现． (4)是周期变化，周期为1. 7．已知函数f(x)是周期为4的函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，求f(x)在[－4，－2]上的解析式． 解　若x∈[－4，－2]， 则x＋4∈[0，2]，f(4＋x)＝x＋3. 因为f(x)是周期为4的函数， 所以f(4＋x)＝f(x)＝x＋3， 所以f(x)在[－4，－2]上的解析式为f(x)＝x＋3. 8．已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x＋1)＝－f(x)，证明函数f(x)是周期函数并求出其周期． 解　由f(x＋1)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋1)，据此可得f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)是周期函数，其周期为2. 一、选择题 1．下列现象不是周期现象的是(　　) A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某地区每年的高温天数 答案　D 解析　对于A，每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B，分针每隔一小时转一圈，是周期现象；对于C，天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象；对于D，每年的高温天数都是随机的，因此不是周期现象． 2．如图是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是(　　) A．2T B．T C． D． 答案　B 解析　整个运动恰好是一个周期，所以运动的时间是T. 3．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋5)＝f(x)，且当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f(6)＝(　　) A．1 B．36 C．25 D．4 答案　A 解析　由f(x＋5)＝f(x)知函数f(x)的周期为5，则f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)＝1. 4．王涛今年17岁了，请问下面他班的哪个年龄的老师跟他属相相同？(　　) A．26 B．32 C．36 D．41 答案　D 解析　由十二生肖知，属相是每12年循环一次．故选D. 5．已知f(x)是周期为T的周期函数，那么f(2x＋1)是(　　) A．周期为T的周期函数 B．周期为2T的周期函数 C．周期为的周期函数 D．不是周期函数 答案　C 解析　因为f(x)是周期为T的周期函数，所以f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋1)＝f(2x＋1＋T)＝f，所以f(2x＋1)的周期为. 二、填空题 6．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(16)＝________． 答案　1 解析　由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(16)＝f(5×3＋1)＝f(1)，而由图象可知f(1)＝1，所以f(16)＝1. 7．如图，从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球．已知第1，2个球是黑球，第3个球是白球，…，以此类推，第2024个球是________(填“白球”或“黑球”)． 答案　黑球 解析　球的摆放呈周期性，第3，6，9，…个球都是白球，其余的都是黑球．因为2024＝674×3＋2，所以第2024个球是黑球． 8．如图所示的弹簧振子在A，B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度大小通过M，N两点，经历的时间为t1＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s第一次反向通过N点，振子在这2 s内共通过了8 cm的路程，则振子的振动周期T＝________s. 答案　4 解析　简谐运动的振子，先后以同样大小的速度通过M，N两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以振子由M到O的时间与由O到N的时间相等．那么平衡位置O到N点的时间t＝0.5 s，因为过N点后再经过t2＝1 s振子以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，所以振子从O点经过N点到最大位置，再返回平衡位置O点的时间是0.5＋1＋0.5＝2 s，为半个周期，因此振子振动的周期是T＝2×2＝4 s. 三、解答题 9．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？ (3)你第四次距离地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面多少米？ 解　(1)是周期现象，周期是12分钟． (2)转四圈需要的时间为4×12＝48(分钟)． (3)第1次距离地面最高需要＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距离地面最高需要12×3＋6＝42(分钟)． (4)因为60÷12＝5，所以转60分钟时的位置与开始时刻的位置相同，都在最低处，距离地面40.5－40＝0.5(米)． 10．已知f(x)为R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝. (1)证明f(x)是周期函数，并求出其周期； (2)当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，求f(x)在[－2，0]上的解析式． 解　(1)∵f(x＋4)＝＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)若x∈[－2，0]，则－x∈[0，2]，f(－x)＝－x－1. ∵f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝－x－1＝f(x)， 即当x∈[－2，0]时，f(x)＝－x－1. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$