第6章 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第六章　立体几何初步 §1　基本立体图形 1.3　简单旋转体——球、圆柱、 圆锥和圆台 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　旋转体的结构特征 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 解析　A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥，是两个同底圆锥的组合体；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径)． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 2．下列命题中正确的是(　　) ①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 解析　对于①，若上、下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，①错误；对于②，根据母线的定义，可知②正确；对于③，根据圆台母线的定义，可知③错误；对于④，圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，④正确．故选C. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 [名师点拨] 　圆柱、圆锥、圆台均为旋转体，要仔细想象并理解其形成过程，进而明确由此产生的侧面的母线、轴、底面等相关概念，进而判断与这些概念相关的命题的真假． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 3．下列说法中正确的个数是________． ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球面上任意两点的连线是球的直径；③用一个平面去截球面，得到的截面是一个圆；④以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫作球；⑤空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 解析　①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误；用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，故③正确；曲面所围成的几何体叫作球，故④错误；⑤正确． 3 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 5．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为________． 3∶4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点三　圆柱、圆锥、圆台基本量的计算 6．一个圆柱的母线长为5 cm，底面半径为3 cm，则圆柱的轴截面面积为________cm2. 解析　圆柱的轴截面是矩形，由题意可知矩形长为3×2＝6 cm，宽为5 cm，所以圆柱的轴截面面积为6×5＝30 cm2. 30 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 7．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，则圆台的高为________ cm；截得此圆台的圆锥的母线长为________ cm. 20 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 知识点四　简单组合体 8．如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　) A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱 C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱 解析　螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱．故选B. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 9．由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形如图所示，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，则下列说法错误的是(　　) A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B．该组合体仍然关于旋转轴对称 C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D．该组合体中的球和半球只有一个公共点 解析　将该平面图形绕轴l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥和球、半球组成的，由此可知A错误．故选A. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 40分钟综合练 一、选择题 1．若圆柱的母线长为10，则其高等于(　　) A．5 B．10 C．20 D．不确定 解析　圆柱的母线长与高相等，则其高等于10. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 2．在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 解析　如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面所围成的几何体是圆锥． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 3．下列几何体是台体的是(　　) 解析　A中几何体四条侧棱的延长线不是相交于一点，所以不是棱台；B中几何体上、下底面不平行，所以不是圆台；C中几何体是棱锥，不是棱台；D中几何体侧面的母线延长相交于一点，且上、下底面平行，是圆台． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 4．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是(　　) A．棱锥、圆柱 B．棱柱、球体 C．棱锥、球体 D．圆柱、圆锥、球体 解析　用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，由圆锥、圆柱、球体的结构特征得，这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体．故选D. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 5．[多选]两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离可能是(　　) A．1 B．3 C．4 D．7 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 二、填空题 6．边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是______________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 7．已知球的半径为1，A，B是球面上两点，线段AB的长度为，则A，B两点间的球面距离为________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 8．已知圆锥的母线长为l，两条母线的夹角为θ，则过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 三、解答题 9.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？ 解　画出形成的几何体如图所示． 由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 10．一个圆台的母线长为12 cm，母线与轴的夹角是45°，两底面的半径之比是1∶4. (1)求圆台的高； (2)求截得此圆台的圆锥的母线长． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点二　球的截面问题与球面距离 4．湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为(　　) A．4eq \r(5) cm B．12 cm C．13 cm D．4eq \r(13) cm 解析　设球的半径为R cm，由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，截面圆圆心与球心的距离d＝(R－8) cm，由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2，即208－16R＝0，解得R＝13 cm. 解析　令球的半径为2r，则截面的半径为eq \r(（2r）2－r2)＝eq \r(3)r，截面的面积为3πr2，大圆的面积为4πr2，所以它们的面积之比为3∶4. 解析　如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得圆台的上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又母线长AB＝12 cm，所以圆台的高为AM＝eq \r(122－（5－2）2)＝3eq \r(15)(cm)．设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得eq \f(l－12,l)＝eq \f(2,5)，解得l＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 3eq \r(15) 解析　如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝eq \r(52－32)－eq \r(52－42)＝1. 如图(2)所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝eq \r(52－32)＋eq \r(52－42)＝7.故选AD. 解析　如图，从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离即为圆柱侧面展开图一个顶点到对边中点的距离，∵圆柱的轴截面的边长为5，故GF＝5，EF＝eq \f(5π,2)，∴EG＝eq \f(5\r(4＋π2),2). eq \f(5\r(4＋π2),2) 解析　因为球O的半径为1，A，B是球面上两点，线段AB的长为eq \r(3)，所以cos∠AOB＝eq \f(12＋12－（\r(3)）2,2×1×1)＝－eq \f(1,2)，故在△AOB中，∠AOB＝eq \f(2π,3)，A，B两点间的球面距离为eq \f(2π,3)×1＝eq \f(2π,3). eq \f(2π,3) 解析　过圆锥顶点的截面三角形的面积为S＝eq \f(1,2)l2sinθ，则当两条母线的夹角θ＝90°时，过圆锥顶点的截面三角形的面积最大，为eq \f(1,2)l2. eq \f(1,2)l2 解　(1)过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形ABCD， 设O，O1分别为AB，CD的中点， 连接O1O，作CM⊥AB于点M， 由已知可得腰长BC＝12 cm， 在Rt△CMB中，∠BCM＝45°， 所以CM＝6eq \r(2) cm， 所以圆台的高为6eq \r(2) cm. (2)延长BC，OO1交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm， 则由△SCO1∽△SBO，可得eq \f(CO1,BO)＝eq \f(SC,SB)＝eq \f(1,4)， 即eq \f(l－12,l)＝eq \f(1,4)， 解得l＝16，即截得此圆台的圆锥的母线长为16 cm. $$