2 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 　 第六章 §1　基本立体图形 知识目标 1．利用实物模型观察空间图形，了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义．　 2．掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 素养目标 通过对旋转体结构特征的学习，培养学生直观想象素养；通过旋转体中的简单计算问题，提升学生数学运算素养． 知识点一　球 1 知识点二　圆柱、圆锥、圆台 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　球 返回 问题导思 问题1． 观察下列实物图． (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ (3)如何形成上述几何体的曲面？ 提示：(1)它们不是由平面多边形围成的．(2)可以由某些平面图形旋转而成．(3)上述几何体可分别由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在直线为轴旋转而成． 问题2．从旋转的角度分析，球面是由什么图形绕哪条直线旋转而成的？ 提示：球面是由半圆绕直径所在的直线旋转而成的曲面． 新知构建 1．球 旋转体 定义 图形及表示 相关概念 性质 球 以__________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为球体，简称球 图中球表示为球O 球心：半圆的_____； 半径：连接______和球面上任意一点的______； 　 直径：连接球面上______并且过球心的______　　 (1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径； (2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径 半圆的直径 圆心 球心 线段 两点 线段 2．旋转体 (1)概念：一条__________绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的______称为旋转面，______的旋转面围成的几何体称为旋转体． (2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球． 平面曲线 曲面 封闭 微思考 球面与球体是同一概念吗？ 提示： 球面与球体不是同一概念，球面是旋转面，而球体是旋转体． 在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求这个球的半径． 解：如图所示为球的轴截面，设球的半径为R cm， 因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm. 同理，π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm. 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm， 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， 所以x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得x＝15，所以R2＝x2＋202＝252， 所以R＝25，即这个球的半径为25 cm. 例1 规律方法 1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题． 2．球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝ .如图所示． 对点练1．(1)(多选)下列命题中正确的是 A．过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球是与定点的距离等于定长的所有点的集合 √ √ 对于A中，当过球的直径的两个端点时，可以作无数个过球心的圆，故A错误；对于B中，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为球的直径，故B正确； 对于C中，根据球的截面圆的性质，可得不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，故C正确；对于D中，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离小于或等于定长的所有点的集合，故D错误．故选BC. (2)已知球O的半径为5，球心O到平面α的距离为3，则平面α截球O所得的小圆O1的半径长是 A．2 B．3 C．3 D．4 √ 如图所示，C为球面上一点，则OC＝5，球心O到 平面α的距离为3，即OO1＝3，且OO1⊥O1C，则 小圆O1的半径长即为O1C，在Rt△OO1C中，由勾 股定理可得OC2＝OO ＋O1C2，解得O1C＝4.故 选D. 返回 知识点二　圆柱、圆锥、圆台 返回 问题导思 问题3． 如图所示的空间几何体叫作圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？ 提示：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体叫作圆柱． 问题4．将一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周， 那么其余两边旋转形成的面所围成的几何体是一个什么样的 空间图形？你能画出其大致图形吗？一个直角梯形以垂直于 底边的腰为轴旋转一周，那么其余各边旋转形成的面所围成 的几何体是什么图形？ 提示：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转形成的面所围成的几何体叫作圆锥．大致图形如图 所示： 一个直角梯形以垂直于底边的腰为轴旋转一周，那么其余各边旋转形成的面所围成的几何体叫作圆台． 新知构建 圆柱、圆锥、圆台 几何体名称 定义 图形及表示 圆柱 以____________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体称为圆柱 图中圆柱表示为圆柱O1O 矩形的一边 几何体名称 定义 图形及表示 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥 图中圆锥表示为圆锥SO 圆台 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台 图中圆台表示为圆台O1O 几何体名称 定义 图形及表示 相关概念： 高：在旋转轴上的这条边的长度； 底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的______； 侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面； 侧面的母线：无论转到什么位置，不垂直于旋转轴的边 性质： (1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆； (2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形 圆面 微思考 (1)类比棱台的概念，圆台还可以怎样得到呢？ (2)从圆柱、圆锥、圆台的底面变化的角度，圆柱、圆锥、圆台之间有什么联系呢？ 提示：(1)圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥得到． (2)当底面发生变化时，圆柱、圆锥、圆台三者之间可以相互转化．将圆台的上底面慢慢扩大，当扩大到与下底面相等时，圆台转化为圆柱；将圆台的上底面慢慢缩小，当缩小为一点(上底面的圆心)时，圆台转化为圆锥．如图所示． (多选)下列说法中，正确的是 A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 例2 √ √ 对于A，圆柱的母线与它的轴平行，故A错误；对于B，圆锥的顶点与底面圆的圆心连线垂直于底面，所以圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形，故B正确；对于C，根据母线的定义：圆台侧面上各个位置的直角梯形不垂直于底面的腰称为圆台的母线，故C错误；对于D，圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，故D正确．故选BD. 规律方法 1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键． 2．解题时要注意两个明确 (1)明确由哪个平面图形旋转而成． (2)明确旋转轴是哪条直线．　　 对点练2．(多选)下列说法正确的是 A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的面所围成的几何体是圆锥 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 √ √ 对于A，以直角梯形中垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故A错误； 对于B，以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；对于C，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故C正确；对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误．故选BC． 返回 综合应用 返回 例3 旋转体的有关计算 　一个圆锥的底面半径为2，高为6，且有一个高为x的内接圆柱． (1)用x表示出圆柱的轴截面面积S； 解：作出圆锥和内接圆柱的轴截面，如图所示． 设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得 ， 圆柱的轴截面面积 (2)当x为何值时，S取得最大值？ 所以当x＝3时，S取得最大值，最大值为6. 规律方法 1．在求解与圆柱、圆锥、圆台有关的计算问题时，常需将空间问题转化为平面问题，这时作出轴截面是至关重要的．在轴截面中寻求各个量之间的关系是基本方法．圆柱、圆锥、圆台的轴截面图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形． 2．用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台时，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形构造相关几何变量关系并求解．　　 对点练3．(1)已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为________． 25　 如图作出圆台的轴截面ABCD，设上底面圆心为O1，下 底面圆心为O，过点D作DE⊥AB交AB于点E，依题意 AO＝12，DO1＝5，DE＝24，所以AE＝AO－DO1＝7， 则AD＝ ＝25，所以圆台的母线长为25. (2)轴截面图形为正方形的圆柱叫作等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，则该等边圆柱的底面周长为________cm. 4π 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边 形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r. 轴截面ABCD的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16(cm2)，解 得r＝2 cm.故该等边圆柱的底面周长C＝2πr＝4π(cm). 返回 课堂小结 知识 1．旋转体的概念. 2．球的结构特征． 3．圆柱、圆锥、圆台的结构特征 方法 分类讨论、转化与化归 易错误区 易忽视同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的 随堂演练 返回 1．小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 由球的结构特征可知，球的轴截面是一个圆面，圆柱的轴截面可以是矩形，圆锥的轴截面可以是等腰三角形，圆台的轴截面可以是等腰梯形，故A，B，D错误，C正确．故选C． √ 2．下列说法正确的是 A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线 B．圆柱的上底面与下底面互相平行 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥 D．圆旋转一周得到的几何体一定是球 对于A，通过圆台侧面上一点只能做出1条母线，故A错误；对于B，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故B正确；对于C，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体，故C错误；对于D，圆绕直径旋转一周得到的几何体是球，故D错误．故选B． √ 3．用一个平面截半径为25 cm的球，若球心到截面的距离恰为半径的一 半，则截面面积为________cm2. 4．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2. 求：(1)圆台的高； 解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)， O1，O分别是圆台上、下底面的圆心，AM⊥BC． 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm， (2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长． 解：如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO， 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 返回 课时测评 返回 如图所示，将展开图还原后，可得到一个圆柱．故选B． 1．如图是某几何体的展开图，该几何体是 A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是 A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆 用一个平面去截一个圆台，截面平行于底面，截面为圆形，故B不符合题意；截面与圆台的轴平行时，得到梯形，故C不符合题意；截面与底面不平行也不相交时，得到椭圆，故D不符合题意；图形不可能是矩形，故A符合题意．故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．以下说法正确的是 A．半圆以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球 B．球的大圆的半径等于球的半径 C．球面和球是同一个概念 D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，故A错误；对于B，球的大圆的半径等于球的半径，故B正确； 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，故C错误；对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，故D错误．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)下列命题中正确的有 A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面 B．圆柱不是旋转体 C．半圆围绕直径旋转半周得到一个球 D．圆台的轴截面是等腰梯形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，圆柱过其母线的截面是其纵截面，且纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，轴截面的宽是圆的直径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故A正确；对于B，根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故B错误；对于C，半圆围绕直径旋转半周得到半个球，故C错误；对于D，圆台的上下底面是平行且不相等的圆，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，故D正确．故选AD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)下列关于圆柱的说法中正确的是 A．圆柱的所有母线长都相等 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，即都相等，故A正确；对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，故B正确；对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形或椭圆面或椭圆面的一部分，故C错误；对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，故D正确．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过圆锥母线中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为________． 由题意，底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过圆锥母线 中点且平行于底面的平面所截，如图所示，设截面圆的半径 为r，由△SA1O1∽△SAO，可得 所以截得的截面圆的面积为S＝π×12＝π. π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．(新情境)我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”(古制1丈＝10尺)葛藤最少长是________尺． 将圆柱形圆木沿一条母线剪开，两个侧面展开图沿母线拼 接，得如下长方形AB＝20尺，AD＝24尺，如图所示．所 以葛藤最少长为 尺． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(新情境)毛泽东在《七律二首·送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河．”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程．诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据．设某地所在纬度为北纬θ (0°<θ<90°)(即地球球心O和该地的连线与赤道平面所成的角为θ)，且sin θ＝ .若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为________万里． 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的底面半径是3 cm，圆锥SO的高为24 cm. (1)求圆台的母线长l；(4分) 又O′A′＝3 cm，SO＝24 cm， 所以OA＝12 cm，SO′＝6 cm， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若该圆锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长．(6分) 解：如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形 因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为 ，母线长也为 ，所以此圆锥的轴截面是等边三角形．故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新角度)通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是 1 cm和4 cm)制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(新情境)“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界 最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜(如图)，已知“天眼” 的形状为球冠(球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为 底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高)，设球冠底的直径d＝500 m，球冠的高h＝40 m，则球的半径R≈____m(精确到整百). 800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)如图所示，直角梯形ABCD分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：如图①所示，以AB所在的直线为旋转轴，可得到一个圆柱和一个同底的圆锥． 如图②所示，以BC所在的直线为旋转轴，可得到一个圆台挖去同上底的圆锥和一个与圆台同下底的圆锥． 如图③所示，以CD所在的直线为旋转轴，可得到一个圆柱挖去一个同底的圆锥． 如图④所示，以DA所在的直线为旋转轴，可得到一个圆台． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新载体)羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为8 cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶部所围成圆的直径是6 cm，底部所围成圆的直径是2 cm，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由已知可得，圆台的母线长为8，下底面圆的半 径为1，上底面圆的半径为3，将圆台补成圆锥， 如图①所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程(结果不取近似值). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：如图所示，根据题意可得△ABC为边长为6的正三角形， 所以BC＝6，所以圆锥底面周长＝2π×3＝6π(m)， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 立 体 几 何 初 步 返回 ＝ 解得r＝2－，x∈(0，6). S＝2r·x＝2x·＝－x2＋4x，x∈(0，6). 解：因为S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6， π 如图所示，球O的半径OA＝25，OB＝，所以AB2 ＝AO2－OB2＝625－＝，所以截面面积为 π cm2. 所以高AM＝＝3(cm). 可得＝，解得l＝20(cm). ＝＝，可得r＝×2＝1， 4 AC＝＝4 由题意可知，赤道周长为8万里，则地球半径r＝万里．如图所示，设某地随着地球自转，所形成圆的半径为r0，则r0＝r·cos θ＝＝×＝万里，则该圆的周长l＝2πr0＝6万里． SA′＝＝＝3 cm， 所以圆台的母线长l＝SA－SA′＝9 cm. 解：圆锥的轴截面如图所示，由已知得＝＝， SA＝＝＝12 cm， 过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm，则OC＝x cm，所以＝， 解得x＝24(－1)，故正方体的棱长为24(－1)cm. A． cm B．1 cm C． cm D． cm 由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r，R(r<R)，则2πr＝π×1，2πR＝π×4，解得r＝，R＝2.所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1 cm和4 cm，腰长为3 cm，即AD＝1，BC＝4，AB＝3，过点A作AH⊥BC，H为垂足(如图)，所以BH＝，AH＝，故该圆台形容器的高为 cm.故选D． 如图所示，球心到截面圆的距离为R－h，由勾股定理可得(R－h) 2＋r 2＝R 2，化简得r 2＋h 2＝2Rh，解得R＝.又r＝250，h＝40，所以R＝＝＝801.25≈800 m． A． B． C． D． 则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x＋8，由相似三角形得＝，解得x＝4.将该圆锥展开得到扇形如图②所示，则小圆锥的半径OA＝4，的长为2π×1＝2π，所以估算球托之外羽毛所在的曲面展开图圆心角为∠AOB＝＝.故选C． 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得＝6π， 故n＝180°，则∠B′AC＝90°，所以B′P＝＝3(m)， 所以小猫所经过的最短路程是3 m． $$