6.1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第六章　立体几何初步 §1　基本立体图形 1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 半圆的直径 圆心 线段 球心 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 球的半径 球的半径 定直线旋转一周 封闭 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 矩形的一边OO1 直角三角形的一条 直角边SO 直角梯形垂直于底 边的腰OO1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 SO O1O 矩形 等腰三角形 等腰梯形 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 [答案]　(1)D　(2)略 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　立体几何初步 1 学业标准 素养目标 1．理解球、圆柱、圆锥和圆台的定义，掌握它们的结构特征，并能够识别和区分这些几何体．(难点) 2．会用球、圆柱、圆锥和圆台的结构特征描述旋转体并进行有关的计算．(重点) 1．通过球、圆柱、圆锥和圆台的定义、结构特征的学习，提升直观想象等核心素养． 2．通过球、圆柱、圆锥和圆台性质的应用提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学1　球 如图，把半圆绕其直径所在的直线旋转一周，半圆弧旋转形成什么图形？如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周，圆弧旋转形成什么图形？它们各自围成什么空间几何体？ [提示]　半圆弧旋转形成一个球面，圆弧旋转形成的也是一个球面，它们围成的空间几何体都是球． ◎结论形成 1．球的结构特征 定义 以______________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为球体，简称球 图示及相 关概念　 球心：半圆的________． 半径：连接球心和球面上任意一点的________． 直径：连接球面上两点并且过________的线段 性质 (1)球面上所有的点到球心的距离都等于____________． (2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于____________ 2．旋转体 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条__________________所形成的曲面称为旋转面，________的旋转面围成的几何体称为旋转体． 导学2　圆柱、圆锥、圆台 如图，矩形ABCD绕其边AB所在的直线旋转一周，其余三边BC，CD，DA旋转各形成什么图形？它们共同围成什么空间几何体？ [提示]　边BC，DA旋转各形成一个圆面，边CD旋转形成一个曲面，它们共同围成一个圆柱． 如图，Rt△ABC绕其一直角边AC所在的直线旋转一周，其余两边BC，AB旋转各形成什么图形？它们共同围成什么空间几何体？ [提示]　边BC旋转形成一个圆面，边AB旋转形成一个曲面，它们共同围成一个圆锥． 如图，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是什么空间几何体？ [提示]　圆台． ◎结论形成 圆柱、圆锥、圆台的定义与性质 名称 圆柱 圆锥 圆台 定义 以_________________所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆柱 以________________ ____________所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥 以_________________ ____________所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台 图形 相关 概念 表示 圆柱O1O 圆锥_______ 圆台________ 性质 (1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆； (2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的________、______________、____________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(　　) (2)用平面去截圆柱，会得到一个圆柱和一个圆台．(　　) (3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．(　　) (4)圆面旋转形成球．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列几何体不是旋转体的是(　　) 解析　由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体． 答案　D 3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是(　　) A．圆锥　　　　　　 B．圆柱 C．球 D．棱柱 解析　棱柱的任何截面都不可能是圆面． 答案　D 4．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5eq \r(2)，则底面半径等于________． 解析　设底面半径为r，高为h，则h＝r，如图取圆锥的轴截面，由勾股定理可得r2＋h2＝(5eq \r(2))2，即2r2＝50，r＝5. 答案　5 题型一　简单旋转体的结构特征 判断下列各说法是否正确． (1)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台； (3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球； (5)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线． [解析]　(1)错误．只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台． (2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示． (3)正确． (4)错误．应为球面． (5)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴． 判断简单旋转体问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键． (2)解题时要明确两点： ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． 提醒：圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，关于它们的结构特征，要正确把握它们概念的本质，多考虑几种可能的情形．同时，要注意旋转体的特征． [触类旁通] 1．下列说法： ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线． 其中正确说法的序号为________． 解析　①所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②符合圆锥母线的定义及性质． 答案　② 题型二　组合体的结构特征 一题多变 (1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　) (2)如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？ [解析]　(1)此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的． (2)如图1所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②③是梯形，旋转后形成圆台．所以旋转后形成的几何体如图2所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱、两个圆台自上而下拼接而成的． [答案]　(1)A　(2)略 [母题变式] 1．(变条件、变结论)若将本例(1)选项B中的平面图形旋转一周，想象并说出它形成的几何体的结构特征． 解析　如图1所示①是直角三角形旋转后形成圆锥，②是直角梯形旋转后形成圆台，③是矩形旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图2所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的． 2．(变条件、变结论)若将本例(1)选项B中的平面图形改为以下面的底边所在的直线为轴旋转一周，说出它形成的几何体的结构特征． 解析　如图1所示，可把原图看成由①，②两部分构成，即大梯形挖去一个小梯形，则旋转一周后得到一个大圆台挖去一个以大圆台上底面为下底面的小圆台组成的组合体，如图2所示． 判断旋转体形状的方法 (1)判断旋转体形状的关键是确定旋转轴，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的． (2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应运用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状． [触类旁通] 2．(2024·全国高一专题练习)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是________(填序号)． 解析　由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为①⑤. 答案　①⑤ 题型三　旋转体中的计算问题 (1)若球的半径为2，则与球心距离为eq \r(3)的平面截球所得的圆的面积为(　　) A．4π　　　　　　　 B．eq \r(3)π C．2π D．π (2)如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． [解析]　(1)因为截面与球心的距离d＝eq \r(3)，球的半径R＝2，所以截面圆的半径r＝eq \r(R2－d2)＝1．由此可得截面圆的面积S＝πr2＝π.故选D． (2)设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm，过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. 所以eq \f(SA′,SA)＝eq \f(O′A′,OA)，所以eq \f(3,3＋l)＝eq \f(r,4r)＝eq \f(1,4)， 解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm. [素养聚焦]　在旋转体有关计算的过程中，体现了数学运算等核心素养． 简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体的问题，体现了化空间图形为平面图形的转化思想． [触类旁通] 3．(1)将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上、下底面圆的半径之比为1∶3，若大圆锥的高为15，则圆台的高为(　　) A．10 B．eq \f(15,4) C．eq \f(45,4) D．5 (2)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆的面积之比为________． 解析　(1)由题意画出轴截面如图所示，可知eq \f(CD,AB)＝eq \f(SC,SA)＝eq \f(1,3)，SA＝15，可得SC＝5，所以圆台的高为CA＝SA－SC＝15－5＝10.故选A． (2)如图所示，设球的半径为R，则O1A2＝OA2－OOeq \o\al(2,1)＝R2－eq \f(1,4)R2＝eq \f(3,4)R2. 所以∶S⊙O＝eq \f(3,4)πR2∶πR2＝3∶4. 答案　(1)A　(2)3∶4 知识落实 技法强化 1．旋转体的结构特征及性质、组合体． 2．旋转体中的计算问题. 1．转化法数形结合． 2．解题关键：轴截面；经过圆锥的两条母线的截面以轴截面的顶角最大. $$