第1章 2.1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第一章　三角函数 §2　任意角 2.1　角的概念推广 2.2　象限角及其表示 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　角的概念推广 1．给出下列说法： ①经过两个小时，时钟的时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所成的角是0°；④小于90°的角都是锐角． 其中说法错误的是________．(把错误说法的序号都填上) 解析　经过两个小时，时钟的时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，故①错误；钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，故②正确；射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所成的角是360°，故③错误；锐角θ的取值范围是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，故④错误． ①③④ 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 2．时钟的分针所转的角是正角还是负角？经过下列时间分针所转的角各是多少度？ (1)12分钟；(2)2小时15分钟． 解　∵时钟的分针是顺时针旋转， ∴时钟的分针所转的角是负角． (1)经过12分钟，分针所转的角是12×(－6°)＝－72°. (2)经过2小时15分钟，分针所转的角是135×(－6°)＝－810°. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 知识点二　终边相同的角 3．[多选]下列各对角中，终边相同的是(　　) A．270°和k·360°－270°(k∈Z) B．72°和792° C．－140°和220° D．1200°和2440° 解析　若两角的终边相同，则两角需相差k·360°(k∈Z)，经验证，792°＝2×360°＋72°，220°＝360°＋(－140°)．故选BC. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素． (1)1303°18′；(2)－225°. 解　(1)S＝{β|β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z}．在该集合中适合－720°≤β＜360°的元素有－496°42′，－136°42′，223°18′. (2)S＝{β|β＝－225°＋k·360°，k∈Z}．在该集合中适合－720°≤β＜360°的元素有－585°，－225°，135°. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 5．分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合． 解　(1)S＝{α|α＝k·180°，k∈Z}． (2)S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}． (3)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}， 即S＝{α|α＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 [规律方法]　求终边在过原点的直线上的角的集合，利用角的终边的周期性，先在其中一条终边上找出一个角，再加上180°的整数倍． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点三　象限角及区域角问题 6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角． (1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′. 解　(1)因为－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角． (2)因为660°＝300°＋360°，所以在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限角． (3)因为－950°08′＝129°52′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限角． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 7．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合． 解　(1)∵330°＝360°－30°， ∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}． (2)∵210°＝360°－150°，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°－150°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 [规律方法]　表示区域角的三个步骤：①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，所以{x|α<x<β}，其中β－α<360°；③起始、终止边界对应的α，β加上360°的整数倍，即得区域角的集合． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 13 40分钟综合练 一、选择题 1．下列命题正确的是(　　) A．第二象限角必是钝角 B．相等的角终边必相同 C．终边相同的角一定相等 D．不相等的角终边必不相同 解析　对于A，如480°和120°的角终边相同，都是第二象限角，但480°不是钝角，故A错误；对于B，因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B正确；对于C，终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故C错误；对于D，如480°和120°的角不相等，但是它们终边相同，故D错误． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 2．下列各角中，与－1376°角终边相同的角是(　　) A．36° B．44° C．54° D．64° 解析　因为－1376°＝－4×360°＋64°，所以与－1376°角终边相同的角是64°. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 3．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴的非负半轴的夹角为30°，则α的值为(　　) A．－480° B．－240° C．150° D．480° 解析　由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，∴α＝480°. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 5．[多选]如果角α与角γ＋60°的终边相同，角β与角γ－60°的终边相同，那么α－β的值可能为(　　) A．120° B．360° C．1200° D．3600° 解析　如果角α与角γ＋60°终边相同，则α＝m·360°＋γ＋60°，m∈Z，角β与角γ－60°终边相同，则β＝n·360°＋γ－60°，n∈Z，∴α－β＝m·360°＋γ＋60°－n·360°－γ＋60°＝(m－n)·360°＋120°，m∈Z，n∈Z，1200°＝120°＋3×360°，A，C符合题意． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 二、填空题 6．将分针拨慢5分钟，则分针转过的角度是________． 解析　将分针拨慢5分钟，就是将分针按逆时针方向旋转30°，即分针转过的角度为30°. 30° 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 7．已知角α，β的终边关于直线x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝______________________． 解析　在－90°到0°的范围内，－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z. －30°＋k·360°，k∈Z 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 8．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}，则A∩B＝______________________________________，A∪B＝_______________________________________________________________． 解析　集合A、集合B表示的角的区域如图所示，则A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}． {θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z} {γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z} 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 三、解答题 9．(1)写出与－1840°角终边相同的角的集合M； (2)把－1840°角写成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，并指出其是第几象限角； (3)若角α∈M且－360°<α<0°，求角α. 解　(1)由终边相同的角的概念得， M＝{β|β＝k·360°＋(－1840°)，k∈Z}＝{β|β＝m·360°－40°，m∈Z}． (2)∵－1840°＝－6×360°＋320°，而320°是第四象限角，∴－1840°是第四象限角． (3)M＝{β|β＝m·360°－40°，m∈Z}，又α∈M且－360°<α<0°，∴取m＝0得α＝－40°. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 10．如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 解　(1)由题意，以OA为终边的一个角是120°，以OB为终边的一个角是－45°， ∴终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． (2)题图中在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为30°≤α＜105°或210°≤α＜285°， ∴终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α＜105°＋k·360°或210°＋k·360°≤α＜285°＋k·360°，k∈Z}＝{α|30°＋n·180°≤α＜105°＋n·180°，n∈Z}． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 　　　　　　　　　　　　　 R 8．已知α为第二象限角，那么2α，eq \f(α,2)分别是第几象限角？ 解　∵α是第二象限角，即90°＋k·360°<α<180°＋k·360°， ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z. ∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角． 同理，45°＋eq \f(k,2)·360°<eq \f(α,2)<90°＋eq \f(k,2)·360°，k∈Z. 当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<eq \f(α,2)<90°＋n·360°，此时eq \f(α,2)为第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<eq \f(α,2)<270°＋n·360°，此时eq \f(α,2)为第三象限角．∴eq \f(α,2)为第一或第三象限角． 4．已知角α的终边与300°角的终边相同，则eq \f(α,3)的终边不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　根据题意，角α的终边与300°角的终边重合，则α＝360°·k＋300°，k∈Z，则eq \f(α,3)＝120°·k＋100°，k∈Z，当k＝3n(n∈Z)时，eq \f(α,3)在第二象限；当k＝3n＋1(n∈Z)时，eq \f(α,3)在第三象限；当k＝3n＋2(n∈Z)时，eq \f(α,3)在第四象限．则eq \f(α,3)的终边不可能在第一象限．故选A. $$