2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中等腰三角形存在性问题

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中等腰三角形存在性问题 1．如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D． （1）求OA、OB的长度和点D的坐标； （2）如图2，点P是y轴上一动点，当CP+PD最小时，求点P的坐标； （3）若点Q是x轴上一动点，当△OQD为等腰三角形时，求出点Q的坐标． 2．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0）．直线yx交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达O点时，点P停止移动．连接PB，PC，设运动时间为t秒． （1）求D点坐标； （2）当△PBC为等腰三角形时，求P点坐标； （3）若点P，Q在运动过程中存在某一时刻，使得以点O，P，Q为顶点的三角形与△BCQ相似，求P的运动速度a的值． 3．已知，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点． （1）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标． （2）若点E是直线上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 4．如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点． （1）则A点的坐标为 　 　 ，B点的坐标为 　 　 ； （2）求直线l2的函数表达式； （3）点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究△BPC能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为C． （1）点B的坐标为 　 　 ； （2）求△BOC的面积； （3）在y轴上求一点P，使△POC是以OC为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标 　 　 ． 6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA＝8，OB＝6，点M（4，m）在直线上，动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）A点的坐标为　 　 ；B点的坐标为　 　 ； （2）直线AB的函数解析式； （3）设点P的运动时间为t秒（0≤t≤4），△BPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式：并求出当S＝8时点P的坐标； （4）x轴正半轴上是否存在一点P，使△OPM为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象l2与x轴、y轴分别交于点C、D． （1）填空：点A的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ； （2）在x轴上是否存在点P，使得2∠BPO+∠OBA＝90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点Q为平面内一点，且△CDQ为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 8．如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线与x轴、y轴分别交于点C，D，连接AD．直线l1与直线l2交于点E（﹣3，m），在x轴上有一点P（a，0）（a＜﹣3），过点P作x轴的垂线，分别与直线l1，l2交于点M，N． （1）求m的值及△ABD的面积； （2）若MN＝BD，求a的值； （3）在y轴找点Q使得△DEQ为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，直线经过点A，且与y轴交于点C． （1）点A的坐标为 　 　 ，b＝ 　 　 ；（直接写出答案） （2）若点Q为y轴上任意一点． ①连接AQ，当∠QAB＝45°时，请求出点Q的坐标； ②若点P为射线AO上任意一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线AB、AC于M、N，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a． （1）当b＝6时， ①求直线AB的解析式；②若QO＝QA，求P点的坐标． （2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　 　 ，点D的坐标是 　 　 ； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 13．直线y与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（﹣1，0）． （1）求△ABC的面积； （2）点D在第二象限，当△DAB为等腰直角三角形时，直接写出点D的坐标； （3）过C作x轴的垂线（即直线x＝﹣1），E为直线x＝﹣1上的点，当△EAB为等腰三角形时，求出点E的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）． （1）求m，n的值； （2）设一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标； （3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图直线与x轴、y轴分别交于点A、B两点，且点A的坐标是（﹣8，0），该直线上还有一点C（2，m）． ①则B点坐标是 　 　 ；m＝ 　 　 ； ②在x轴上是否存在一点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ③若点D的坐标为（﹣6，0），点Q在y轴上，△QCD的面积为16，请直接写出出点Q的坐标． 16．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）点P坐标为（2，﹣4），求△ABP的面积． （2）以AB为腰在第一象限作等腰直角三角形ABC，直接写出点C的坐标． 17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC． （1）求直线CD的解析式； （2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标； （3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由． 18．建立模型： 如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上． 操作： 过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE． 模型应用： （1）如图2，在直角坐标系中，直线l1：yx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式． （2）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC交x轴于点C（1，0）． （1）先判断△ABC的形状，再说明理由； （2）线段AC上取一点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标； （3）若在x轴上有一点M，在直线BC上有一点N，满足△MNC≌△AOB，求点M的坐标． 20．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线AB上有一点C，点C在第二象限，连接OC，以OC为直角边，点O为直角顶点，在直线AB下方作等腰直角三角形COD，连接BD． （1）求证：AC＝BD． （2）当BD＝2BC时，在x轴上有一点P，若△COP是等腰三角形，直接写出所有P点的坐标． （3）若点B是AC的三等分点，求点D的坐标． 参考答案 1．【解答】解：（1）在中， 当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，得：， 解得：x＝8， ∴A（8，0）、B（0，4）， ∴OA＝8，OB＝4， 联立与， 解得：， ∴点C（2，3）， 由题意得：点D（3，﹣3）； （2）作点D关于y轴的对称点D′，则D′（﹣3，﹣3）， 连接CD′交y轴于点P′， 连接P′D，此时CP′+PD最小， 设直线CD′的解析式为y＝kx+b，把点C（2，3），D′（﹣3，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线CD′的解析式为， 当x＝0时，， ∴点， 即当CP+PD最小时，点P的坐标为； （3）设点Q（x，0）， ∵D（3，﹣3），O（0，0）， ∴OD2＝（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2＝18， OQ2＝（x﹣0）2+（0﹣0）2＝x2， DQ2＝（x﹣3）2+（0+3）2＝（x﹣3）2+9， 当△OQD为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当OD＝OQ时，由18＝x2得：， ∴或， 当OD＝DQ时，由18＝（x﹣3）2+9得： x＝6或x＝0（与O重合，舍去）， ∴Q（6，0）， 当OQ＝DQ时，由x2＝（x﹣3）2+9得：x＝3， ∴Q（3，0）， 综上，△OQD为等腰三角形时，点Q坐标为，或，或Q（3，0）或Q（6，0）． 2．【解答】解：（1）∵直线yx交AB于点D，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3）， ∴把y＝4代入yx得，3x，解得x＝4， ∴D（4，3）； （2）①如图1，当PC＝PB时，点P为BC的中垂线与直线yx的交点， ∴把y代入yx得，x，解得x＝2， ∴； ②如图2，当PB＝BC时，设P（x，x） ∵B（8，3）， ∴PB2＝（x﹣8）2+（x﹣3）2， ∴（x﹣8）2+（x﹣3）2＝9，解得x1，x2＝8（舍去） ∴把x1代入yx，得y， ∴； （3）①如图3，当PQ⊥x轴，连接BQ PQat，PQ（8﹣t）， ∴a， ∵△OPQ∽△BCQ， ∴，即，解得t＝4 a， 或即，解得t， 把t代入a，解得a， ∴∠OQP＝90°时，； ②如图4，当PQ⊥OD， ∵PQat，PQ（8﹣t）， ∴a， ∵△OPQ∽△QCB， ∴，即，解得t＝4， 把t＝4代入a， 或，即，解得t， 把t，代入a， ∴∠OPQ＝90°时，． 3．【解答】解：（1）一次函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线相交于点C， 当x＝0时，y＝6； 当y＝0时，x＝8， ∴A（8，0），B（0，6）； 联立， 解得：， ∴C为， ∴， ∵S△AOC＝S△BCP，点P是直线l上的一个动点， ∴， 解得：， ∴或； （2）设点、点P（n，6）， 当∠EPA＝90°时， 当点P在y轴右侧且在点E的左侧时，如图②，过P作PN⊥OA于N，过E作EM⊥PN于M， ∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°， ∴∠MEP＝∠NPA， ∵AP＝PE， ∴△EMP≌△PNA， ∴ME＝PN＝6，MP＝AN， ∴， 解得：， ∴； 如图③：当点P在点E的右侧时， 同理可得：， 解得m＝16， ∴E（16，20）； 如图④，当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时， 同理可得：， 解得：m＝14， ∴点； 如图⑤： 同理可得：， 解得：m＝2， ∴． 综上所述，点E的坐标为或（16，20）或或． 4．【解答】解：（1）在l1：y＝﹣3x+6中， 令x＝0，则y＝6，所以点B坐标为（0，6）； 令y＝0，则x＝2，所以点A坐标为（2，0）． 所以点A、B坐标分别是（2，0）和（0，6）； 故答案为：（2，0）；（0，6）； （2）如图，过点C向y轴作垂线，E为垂足． 由条件可知AB＝BC． ∵∠CBE+∠ABO＝180°﹣90°＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBE＝∠BAO． 在△CBE和△BAO中，∠CBE＝∠BAO，∠BEC＝∠AOB，BC＝AB． ∴△CBE≌△BAO（AAS）． ∴EC＝BO＝yB＝6，BE＝OA＝xA＝2． ∴OE＝6+2＝8． 故点C坐标为（6，8）． 设l2函数表达式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得： ，解得． ∴直线l2的函数表达式为y＝2x﹣4； （3）设点P的坐标为（m，2m﹣4），假设以BP为直角边的△BPC是等腰直角三角形， 如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交y轴于点M，交CD于点N， 在△BMP和△PNC中， ， ∴△BMP≌△PNC（AAS）， ∴BM＝PN，MP＝CN， ∵BM＝6﹣（2m﹣4）＝10﹣2m， PN＝6﹣m，MP＝m，CN＝8﹣（2m﹣4）＝12﹣2m． ∴由PM＝CN，m＝12﹣2m，m＝4， 此时BM＝PN＝2，m适合题意． 此时P（4，4）． 5．【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝2，即点B（0，2）， 故答案为：（0，2）； （2）联立两个函数表达式得：x+2x，则x＝3，即点C（3，4）， 则△BOC的面积OB×xC2×3＝3； （3）设点P（0，y）， 由点P、O、C的坐标得，PO2＝y2，PC2＝9+（y﹣4）2，CO2＝25， 则PO＝CO或PC＝OC， 即25＝9+（y﹣4）2或y2＝25，则y＝±5或0（舍去）或8， 即点P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）． 6．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA＝8，OB＝6， ∴A（8，0），B（0，6）， 故答案为：（8，0）；（0，6）； （2）把A（8，0），B（0，6）代入y＝kx+b（k≠0），得： ， 解得：， ∴； （3）由题意，得：OP＝2t， 当0≤t≤4时，点P在线段OA上， ∴AP＝8﹣2t， ∴△BPA的面积为， 当S＝8时，得：﹣6t+24＝8， 解得：， ∴， ∴． （4）x轴正半轴上存在一点P，使△OPM为等腰三角形；理由如下： ∵，把M（4，m），代入得：， ∴M（4，3）， ∴， 设P（2t，0）（t＞0）， 当△OPM为等腰三角形时，分三种情况： ①OP＝OM＝5，则：P（5，0）； ②当OP＝PM时，则：（2t）2＝（2t﹣3）2+42， 解得：， ∴， ∴； ③当OM＝MP时，过点M作MN⊥x轴，则：ON＝4，OP＝2ON＝8， ∴P（8，0）； 综上，x轴正半轴上存在一点P，使△OPM为等腰三角形；P（5，0），P（8，0），． 7．【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝3， ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣4）； 故答案为（3，0）；（0，﹣4）； （2）在x轴上存在点P，使得2∠BPO+∠OBA＝90°， ∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣4）， ∴OA＝3，OB＝4， 在Rt△OAB中，∠OAB+∠OBA＝90°， 由勾股定理得：AB5， ∵2∠BPO+∠OBA＝90°， ∴∠OAB＝2∠BPO， ∴有以下两种情况： ①当点P在点A的右侧时，如图1所示： ∵∠OAB是△BAP的一个外角， ∴∠OAB＝∠BPO+∠ABP， ∴2∠BPO＝∠BPO+∠ABP， ∴∠BPO＝∠ABP， ∴AP＝AB＝5， ∴OP＝OA+AP＝3﹣5＝8， ∴点P的坐标为（8，0）； ②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，如图2所示： ∵OE＝OA＝3，BE＝AB＝5，∠OEB＝∠OAB＝2∠BPO， ∵∠OEB是△BPE的一个外角， ∴∠OEB＝∠BPO+∠EBP＝2∠BPO， ∴∠BPO＝∠EBP， ∴PE＝BE＝5， ∴OP＝OE+PE＝3+5＝8， ∴点P的坐标为（﹣8，0）， 综上所述：点P的坐标为（8，0）或（﹣8，0）； （3）对于，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣12， ∴点C的坐标为（﹣12，0），点D的坐标为（0，5）， ∴OC＝12，OD＝5， 当△CDQ为等腰直角三角形时，有以下6中情况： ①当以点D为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的上方时，过点Q作QF⊥y轴于点F，如图3所示： ∴∠COQ＝90°，CD＝DQ，∠COD＝∠DFQ＝90°， ∴∠CDO+∠QDF＝90°，∠OCD+∠CDO＝90°， ∴∠OCD＝∠QDF， 在△OCD和△QDF中， ， ∴△OCD≌△QDF（AAS）， ∴OD＝QF＝5，OC＝DF＝12， ∴OF＝OD+DF＝5+12＝17， ∴点Q的坐标为（﹣5，17）； ②当以点D为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的下方时，过点Q作QFH⊥y轴于点H，如图4所示： 同理可证明：△OCD≌△HDQ（AAS）， ∴OD＝HQ＝5，OC＝DH＝12， ∴OH＝DH﹣OD＝12﹣5＝7， ∴点Q的坐标为（5，﹣7）； ③当以点C为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的上方时，过点Q作QG⊥x轴于点G，如图5所示： 同理可证明：△OCD≌△GQC（AAS）， ∴OC＝QG＝12，OD＝CG＝5， ∴OD＝OC+CG＝12+5＝17， ∴点Q的坐标为（﹣17，12）； ④当以点C为直角顶点，CD为腰，点Q在CD的下方时，过点Q作QK⊥x轴于点K，如图6所示： 同理可证明：△OCD≌△KQC（AAS）， ∴OD＝CK＝5，OC＝KQ＝12， ∴OK＝OC﹣CK＝12﹣5＝7， ∴点Q的坐标为（﹣7，﹣12）； ⑤当以CD为斜边，∠CQD＝90°，且点Q在CD的上方时，过点Q作QT⊥x轴于点T，QR⊥y轴于点R，如图7所示： ∴∠QTO＝∠QRO＝∠TOR＝90°， ∴四边形QTOR是矩形， 同理可证明：△QCT≌△QDR（AAS）， ∴设CT＝DR＝a，QT＝QR， ∴矩形QTOR是正方形， ∴OT＝OR＝a， ∵OT＝OC﹣CT＝12﹣a，OR＝OD+DR＝5+a， ∴12﹣a＝5+a， 解得：a＝3.5， ∴OT＝12﹣a＝8.5， ∴点Q的坐标为（﹣8.5，8.5）； ⑥当以CD为斜边，∠CQD＝90°，且点Q在CD的下方时，过点Q作OM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，如图8所示： ∴四边形QMON为矩形， 同理可证明：△QCM≌△QDN（AAS）， ∴设QM＝QN＝a，CM＝DN， ∴矩形QMON是正方形， ∴OM＝ON＝a， ∵CM＝OC﹣OM＝12﹣a，DN＝OD+ON＝5+a， ∴12﹣a＝5+a， 解得：a＝3.5， ∴QM＝QN＝3.5， ∴点Q的坐标为（﹣3.5，﹣3.5）， 综上所述：所有满足条件的点Q的坐标为（﹣5，17）或（5，﹣7）或（﹣17，12）或（﹣7，﹣12）或（﹣8.5，8.5）或（﹣3.5，﹣3.5）． 8．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+2与另一直线交于点E（﹣3，m），把点E的坐标代入得： m＝﹣（﹣3）+2＝5， ∴E（﹣3，5）， 把点E的坐标代入得： ， 解得b＝9， ∴直线l2为， ∵直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，B， 令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝2， ∴A（2，0），B（0，2）， ∵直线与x轴，y轴分别交于点C，D， 令x＝0，则y＝9， ∴D（0，9）； ∴BD＝9﹣2＝7， ∴S△ABDBD•xA7×2＝7； （2）∵MN∥y轴， ∴∠DBE＝∠NME， 在△DBE和△NME中， ， ∴△DBE≌△NME（AAS）， ∴BE＝ME， ∵点E（﹣3，5）， ∴M点的横坐标为﹣6， ∴a的值为﹣6； （3）解：过点E作EF⊥y于点F，如图， ∵E（﹣3，5）， ∴OF＝5，EF＝3， ∵D（0，9）， ∴DF＝9﹣5＝4， 在直角三角形DEF中，由勾股定理得：DE5； 若DE为腰时，则DQ1＝DQ2＝DE＝5，DF＝FQ3＝4，如图， ∴Q1（0，14），Q2（0，4），Q3（0，1）； 若DE为底时，则DE的垂直平分线交y于Q4，则EQ4＝DQ4， 设FQ4＝x，则DQ4＝4﹣x， ∴32+x2＝（4﹣x）2， 解得，x， ∴OQ4＝5， ∴Q4（0，）； 综上，点Q的坐标为（0，14）或（0，4）或（0，1）或． 9．【解答】解：（1）当y＝0时，， ∴x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， 当x＝﹣4，y＝0时， ， ∴b＝﹣3， 故答案为：（﹣4，0），﹣3； （2）①， 如图1﹣1， 过点B作AE⊥AQ于E，作EF⊥y轴于点F，作AD⊥EF于D， ∴∠D＝∠BFE＝∠AEB＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEF＝90°， ∴∠DAE＝∠BEF， ∵∠BAQ＝45°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAQ＝45°， ∴∠ABE＝∠BAQ， ∴AE＝BE， ∴△ADE≌△EFB（AAS）， ∴AD＝EF，BF＝DE， 设E（x，y）， ∴﹣y＝﹣x，2﹣y＝x﹣（﹣4）， ∴x＝y＝﹣1， ∴E（﹣1，﹣1）， 设AQ的解析式为：y＝mx+n， ∴， ∴， ∴y， ∴Q（0，）， 如图1﹣1， 同理可得， DE＝BF，AD＝EF， ∴x﹣（﹣4）＝y﹣2，y＝﹣x， ∴x＝﹣3，y＝3， ∴E（﹣3，3）， ∴， ∴， ∴y＝3x+12， ∴Q（0，12）； 综上所述：Q（0，）或（0，12）； ②设P（t，0）， 如图2﹣1， 当∠NMQ＝90°（或∠MNQ＝90°）时， MN＝（），DQ＝﹣t， 由MQ＝MN得， ， ∴t， 如图2﹣2， 当∠MQN＝90°时， 由MN＝2DQ得， ， ∴t， 如图2﹣3， 当∠MQN＝90°时， ， ∴t， 当∠NMQ＝90°（或∠MNP＝90°）， ， ∴t＝﹣20（舍去） 综上所述：t或或． 10．【解答】解：（1）①由A（8，0），B（0，6）， 设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A与B坐标代入得， 解得， 则直线AB解析式为yx+6； ②∵QA＝QO，OA＝8， ∴xQ＝4， ∵点P关于y轴的对称点为Q， ∴xP＝﹣4， 代入直线AP解析式得（﹣4）+6＝9， 则P坐标得P（﹣4，9）； （2）①若∠QAC＝90°，如图1所示， ∴xQ＝8， ∴a＝xP＝﹣8， ∴AC＝AQ＝16，即P（﹣8，16）， ∴直线AP解析式为y＝﹣x+8， ∴a＝﹣8，b＝8； ②若∠AQC＝90°，如图2所示， 则AC＝8﹣a＝4CO＝﹣4a， ∴a， ∴xP，yP＝yq，即P（，）， ∴直线AP解析式为yx+4， ∴a，b＝4， ③P、Q重合于（0，8）时，△QCA也是等腰直角三角形，此时a＝0，b＝8，舍去， 综上所示，a＝﹣8，b＝8或a，b＝4． 11．【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB5， ∵若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处， ∴AD＝AB＝5， ∴OD＝OA+AD＝8， ∴D（8，0）， 故答案为：5，（8，0）； （2）设C（0，a）（a＜0）， 由题意得：BC＝CD， ∴4﹣a， 解得：a＝﹣6， ∴C（0，﹣6）； （3）设M（0，b）， ∵S△MABS△OCD， ∴|4﹣b|×36×8， 解得：b＝28或b＝﹣20， ∴M（0，28）或M（0，﹣20）； （4）存在，（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． 当AB＝AP，∠BAP＝90°时，过P作PF⊥x轴于F， ∵∠AOB＝∠OFP＝∠BAP＝90°， ∴∠OBA+∠OAB＝∠OAB+∠PAF＝90°， ∴∠OBA＝∠PAF， ∵AB＝AP， ∴△ABO≌△PAF， ∴PF＝OA＝3，AF＝OB＝4， ∴OF＝OA+AF＝7， ∴P（7，3）， 当AB＝AP′，∠P′BA＝90°时，过P′作P′G⊥y轴于G， 同理得：△ABO≌△BP′G， ∴P′G＝OB＝4，BG＝OA＝3， ∴OG＝OB+BG＝7， ∴P′（4，7）， 当BP″＝AP″，∠BP″A＝90°时，点P″是AP′和BP的交点， 设AP′的解析式为：y＝kx+b， 则：， 解得：， ∴AP′的解析式为：y＝7x﹣21， 设BP的解析式为：y＝ax+4， 则：7a+4＝3， 解得：a， ∴BP的解析式为：yx+4， 解方程组得：， ∴P″（3.5，3.5）， ∴点P的坐标为：（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． 12．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4）， ∴3k1＝4， ∴k1， ∴正比例函数解析式为yx． 如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝4，AC＝3， AO5， ∴OB＝OA＝5， ∴B（0，﹣5）， 则一次函数的表达式为：y＝k2x﹣5， 将点A的坐标代入上式得：4＝3k2﹣5， 解得：k2＝3， ∴一次函数解析式为y＝3x﹣5； （2）如图2中， 当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0）， 当AO＝AP时，P3（6，0）， 当PO＝AP时，同理可得，点P4（，0）， ∴满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或（，0）． 13．【解答】解：（1）直线y与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣4， 当x＝0时，得：， ∴A（﹣4，0），B（0，2）； （2）点D的坐标为（﹣3，3）或（﹣6，4）或（﹣2，6）；理由如下： 当∠ADB＝90°，AD＝BD时，过点D作DG⊥y轴，DH⊥x轴，如图1， ∵DG⊥y轴，DH⊥x轴， ∴∠DGB＝∠DHA＝90°， ∴∠ADH+∠DAH＝∠ADH+∠BDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝∠BDG+∠BDH＝90°， ∴∠DAH＝∠BDH，∠DBG＝∠BDH， ∴∠DAH＝∠DBG， 在△ADH和△BDG中， ， ∴△ADH≌△BDG（AAS）， ∴DG＝DH，BG＝AH， ∵∠AOG＝∠OHD＝∠OGD＝90°， ∴四边形HOGD是正方形， ∴DG＝DH＝OH＝OG， ∵B（0，2），A（﹣4，0）， ∴OB＝2，OA＝4， 设D（﹣m，m）， ∴OG＝m，OH＝m， ∴BG＝m﹣OB＝m﹣2，AH＝OA﹣OH＝4﹣m， ∴m﹣2＝4﹣m， 解得：m＝3， ∴D（﹣3，3）； 当∠DAB＝90°，AD＝AB时，过点D作DG⊥x轴，如图2， 同理，△ADG≌△BAO（AAS）， ∴AG＝OB＝2，AG＝OA＝4， ∴OG＝AG+OA＝6， ∴D（﹣6，4）； 当∠DBA＝90°，BD＝AB时，过点D作DG⊥y轴，如图3， 同理，△BDG≌△ABO（AAS）， ∴DG＝OB＝2，BG＝OA＝4， ∴OG＝BG+OB＝6， ∴D（﹣2，6）； 综上所述，点D的坐标为（﹣3，3）或（﹣6，4）或（﹣2，6）； （3）设E（﹣1，n）， ∵B（0，2），A（﹣4，0）， ∴AE2＝[﹣4﹣（﹣1）]2+n2＝9+n2，BE2＝（﹣1）2+（2﹣n）2＝5﹣4n+n2，AB2＝20， ∵△EAB为等腰三角形， 当AE＝BE时，即AE2＝BE2， ∴9+n2＝5﹣4n+n2， 解得：n＝﹣1， ∴E（﹣1，﹣1）； 当AE＝AB时，即AE2＝AB2， ∴9+n2＝20， 解得：， ∴； 当BE＝AB时，即BE2＝AB2， ∴5﹣4n+n2＝20，即n2﹣4n﹣15＝0， 解得：， ∴； 综上所述，点E的坐标为或或（﹣1，﹣1）． 14．【解答】解：（1）正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）． ∴4＝2m， ∴m＝2． 又∵一次函数y＝﹣x+n的图象过点A（2，4）． ∴4＝﹣2+n， ∴n＝6； （2）一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B， ∴令y＝0，则0＝﹣x+6 ∴x＝6， ∴点B坐标为（6，0）， 令x＝0，则y＝6， ∴点C坐标为（0，6）； （3）存在，∵点A（2，4）， ∴AB4， 当AB＝BP＝4时，则点P（6+4，0）或（6﹣4，0）； 当AB＝AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（2，0）， ∵AB＝AP，AE⊥BO， ∴PE＝BE＝4， ∴点P（﹣2，0）； 当PA＝PB时， ∴∠PBA＝∠PAB＝45°， ∴∠APB＝90°， ∴点P（2，0）， 综上所述：点P坐标为（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）． 15．【解答】解：①把点A（﹣8，0）代入yx+b得（﹣8）+b＝0， 解得b＝6， ∴直线l的解析式为yx+6， 当x＝0时，y＝6， ∴B点坐标是（0，6）， 把点C（2，m）代入yx+6得， 故答案为：（0，6），； ②∵A（﹣8，0），B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， 又∵x轴⊥y轴， ∴， （1）当AB＝AP＝10时， 如图， 则点P是（﹣8±10，0）， ∴P点是P1（﹣18，0）或P2（2，0）； （2）当AB＝PB＝10时，∵x轴⊥y轴， ∴AO＝PO＝8， ∴P点是P3（8，0）， （3）当AP＝PB时，设AP＝PB＝m， 则OP＝8﹣m， ∵x轴⊥y轴， ∴OP2+OB2＝PB2， ∴（8﹣m）2+62＝m2， ∴， ∴， 即， 综上所述，点P的坐标为（﹣18，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）； ③设直线CD的解析式为y＝ax+c， ∴， 解得， ∴直线CD的解析式为yx， ∴直线CD与y轴的交点坐标为（0，）， 设Q（0，n）， ∵点D的坐标为（﹣6，0），C（2，），△QCD的面积为16， ∴6×|n|2×|n|＝16， ∴n或n， ∴点Q坐标是或． 16．【解答】解：（1）把A（0，3）、B（6，0）代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， ∵点D在直线AB上，横坐标为x＝2， ∴y＝2， ∴点D坐标为（2，2）； 如图中， S△PAB＝S△PDA+S△PDBPD×66×6＝18； （2）如图中， ①当△ABC1是等腰直角三角形时，作C1M⊥x轴于M， 由△ABO≌△BC1M，得BM＝OA＝3，C1M＝OB＝6， ∴C1（9，6）； ②当△BAC2是等腰直角三角形时，同理可得等C2（3，9）， 综上所述，满足条件的点C的坐标为（9，6）或（3，9）． 17．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2， ∴B（0，2）． 当y＝0时，，x＝6， ∴A（6，0）． ∵AC＝8， ∴OC＝2， ∴C（﹣2，0）． ∵OD＝3OC， ∴OD＝6， ∴D（0，6）． 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 则，解得：， ∴y＝3x+6； （2）作QE⊥OD交CD于点E，设，， ∴． ∵A（6，0），B（0，2）， ∴． ∵， ∴， 解得或， ∴或； （3）存在，理由： 当∠CMN＝90°时，如图，作ME⊥OC于点E，作NF⊥EM于点F． ∴∠CEM＝∠MFN＝90°． ∵△CMN是等腰直角三角形， ∴MN＝CM． ∵∠CME+∠ECM＝90°，∠CME+∠FMN＝90°， ∴∠ECM＝∠FMN， ∴△CEM≌△FMN（AAS）， ∴ME＝NF． 设，则E（a，0）， ∴， 解得或a＝﹣3， ∴M（﹣3，3）或． 当∠CNM＝90°时，如图过点N作EF∥OA，作ME⊥EF于点E，作CF⊥EF于点F． 同理可证：△CEM≌△FMN（AAS）， ∴CE＝FM，ME＝NF． 设N（0，n），，则E（a，0）， ∴，|n|＝|a|， 解得a＝3或a＝0或a＝﹣6（此时∠CNM≠90°，舍去）， ∴M（3，1）． 综上可知，点M的坐标为（﹣3，3）或或（3，1）． 18． 【解答】解：操作：如图1：， ∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE． 在△ACD和△CBE中， ∴△CAD≌△BCE（AAS）； （1）∵直线yx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴A（0，4）、B（﹣3，0）． 如图2：， 过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴 在△BDC和△AOB中， ， △BDC≌△AOB（AAS）， ∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4．OD＝OB+BD＝3+4＝7， ∴C点坐标为（﹣7，3）． 设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得 ， 解得 l2的函数表达式为yx+4； （2）由题意可知，点Q是直线y＝2x﹣6上一点． 如图3：， 过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F． 在△AQE和△QPF中， ， ∴△AQE≌△QPF（AAS）， AE＝QF，即6﹣（2a﹣6）＝8﹣a， 解得a＝4 如图4：， 过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F， AE＝2a﹣12，FQ＝8﹣a． 在△AQE和△QPF中， ， △AQE≌△QPF（AAS）， AE＝QF，即2a﹣12＝8﹣a， 解得a； 综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4． 19．【解答】解：（1）△ABC的形状为直角三角形，理由： 对于，当x＝0时，y＝2，令y＝0，则x＝﹣4， 即点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，2）， 由点A、B、C的坐标得，AB2＝20，BC2＝5，AC2＝25， 则AC2＝AB2+BC2， 即△ABC的形状为直角三角形； （2）△BCD是以BC为腰的等腰三角形， 当BC＝BD时，则点C、D关于y轴对称，即点D（﹣1，0）； 当BC＝CD时，则CD，则点D（1，0）， 即D（﹣1，0）或（1，0）； （3）如下图，当点M在点C的右侧时， ∵△MNC≌△AOB，则CM＝AB＝2， 则点M（1+2，0）， 当点M在点C的左侧时， 同理可得，点M（1﹣2，0）， 综上，M（1+2，0）或（1﹣2，0）． 20．【解答】（1）证明：∵y＝﹣x+2， ∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2， ∴A（2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∵△COD是等腰直角三角形， ∴OC＝OD，∠COD＝90°＝∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°+∠BOC， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD； （2）解：点P的坐标为或或P（﹣4，0）或P（﹣5，0）；理由如下： ∵BD＝2BC，AC＝BD， ∴AC＝2BC， ∴AB＝BC， ∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°， ∴∠OAC＝45°，， ∴， 过点C作CE⊥x轴，则：△AEC为等腰直角三角形， ∴， ∴OE＝AE﹣OA＝2， ∴C（﹣2，4）， ∴， 设点P（m，0），则：OP2＝m2，CP2＝（m+2）2+42， 当△COP是等腰三角形时，分三种情况： ①，则：或； ②PC＝OC，则：PE＝OE＝2， ∴OP＝4， ∴P（﹣4，0）； ③OP＝PC，则：m2＝（m+2）2+42， 解得：m＝﹣5， ∴P（﹣5，0）； 综上：或或P（﹣4，0）或P（﹣5，0）； （3）解：过点C作CF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，如图2， ∵，B为AC的三等分点， ①当， ∵∠CAO＝45°，∠AFC＝90°， ∴， ∴OF＝4， ∵△COD是等腰直角三角形， ∴OC＝OD，∠COD＝90°＝∠CFO， ∴∠DOH＝∠FCO＝90°﹣∠COF， 又∵∠OFC＝∠OHD＝90°， 在△OFC和△DHO中， ， ∴△OFC≌△DHO（AAS）， ∴OH＝FC＝6，DH＝OF＝4， ∴D（﹣6，﹣4）； ②当AC＝3BC时，如图3，则：AB＝2BC， ∴， 同理可得：D（﹣3，﹣1）； 综上所述，D（﹣6，﹣4）或D（﹣3，﹣1）． 学科网（北京）股份有限公司 $$