10.3.1 频率的稳定性-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

10．3．1　频率的稳定性 知识点一　频率与概率 1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的关系是(　　) A．P(A)≈ B．P(A)< C．P(A)> D．P(A)＝ 答案：A 解析：根据概率的定义，当n很大时，频率是概率的近似值．故选A． 2．下列关于概率和频率的叙述中，正确的是(　　) A．随机事件的频率就是概率 B．随机事件的概率是一个确定的数值，而随机事件的频率不是一个确定的数值 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．概率是随机的，在试验前不能确定 答案：B 解析：随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故A错误；随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故B正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故C，D错误．故选B． 3．把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________． 答案：0．5 解析：通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0．5附近摆动，故可认为掷一次硬币，正面朝上的概率是0．5． 知识点二　对概率的正确理解及简单应用 4．(2024·江西赣州月考)下列四个命题中正确的是(　　) A．设有一批产品，其次品率为0．05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是 C．随机事件的频率和概率不可能相等 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是 答案：D 解析：对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；对于C，随机事件的频率与概率可能相等，故C错误；对于D，利用频率计算公式求得频率为，故D正确．故选D． 5．经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由． 解：这种解释不正确．理由如下： 因为“投篮命中”是一个随机事件，投篮命中率为90%，是指该运动员投篮命中的概率，是一种可能性，就一次投篮而言，可能发生也可能不发生，而不是说投篮100次就一定命中90次． 6．某理工院校一个班级有60人，男生人数为57，把该班学生学号打乱，随机指定一个学生，你认为这个学生是男生还是女生？ 解：从学号中随机抽出一个，是男生的可能性为＝95%，要比是女生的可能性＝5%大得多，因此随机指定一个，估计应是男生． 知识点三　用频率估计概率 7．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)如下： 162，153，148，154，165，168，172，171，173，150， 151，152，160，165，164，179，149，158，159，175． 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任选一人，估计该学生的身高在155．5～170．5 cm之间的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：从已知数据可以看出，在随机抽取的这20名学生中，身高在155．5～170．5 cm之间的学生有8人，频率为，故在该校高二年级的所有学生中任选一人，估计其身高在155．5～170．5 cm之间的概率为．故选A． 8．(2024·天津宝坻期末)某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下： 命中环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 4 5 6 9 10 18 26 12 8 如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为________，不少于9环的概率为________． 答案：　 解析：由题意得，这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为＝，不少于9环的概率为＝． 9．(2024·安徽黄山月考)下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题． 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1347 1794 2688 发芽的频率 (1)完成上面表格(精确到0．001)； (2)估计该油菜籽发芽的概率是多少？ 解：(1)完成表格如下表所示： 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1347 1794 2688 发芽的频率 1.000 0.800 0.900 0.857 0.892 0.897 0.898 0.897 0.896 (2)由于每批种子发芽的频率稳定在0．897附近，所以估计该油菜籽发芽的概率为0．897． 10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 频数 频率 [500，900) 48 [900，1100) 121 [1100，1300) 208 [1300，1500) 223 [1500，1700) 193 [1700，1900) 165 [1900，＋∞) 42 (1)求各组的频率； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率． 解：(1)各组的频率依次是0．048，0．121，0．208，0．223，0．193，0．165，0．042． (2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足1500小时的频率是＝0．6． 即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0．6． 一、单项选择题 1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是(　　) A．次品率小于10% B．次品率大于10% C．次品率等于10% D．次品率接近10% 答案：D 解析：抽出的样本中次品率为，即10%，所以总体中次品率大约为10%．故选D． 2．(2024·江苏淮安期末)已知某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，则下列说法正确的是(　　) A．患此疾病的病人被治愈的可能性为10% B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 答案：A 解析：某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为10%，故A正确；对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为10%，不一定有一位病人被治愈，故B错误；对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误；对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故D错误．故选A． 3．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为(　　) A．90% B．小于90% C．大于90% D．无法确定 答案：A 解析：概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．故选A． 4．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0．5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一枚骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一枚骰子掷6次会出现一次点数2．其中不正确的说法是(　　) A．①②③④ B．①②④ C．③④ D．③ 答案：A 解析：概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．故选A． 5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　) A．0．09 B．0．20 C．0．25 D．0．45 答案：D 解析：由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25，30)上的频率为1－5×(0．02＋0．04＋0．06＋0．03)＝0．25，则二等品的频率为0．25＋0．04×5＝0．45，故任取1件产品为二等品的概率为0．45．故选D． 二、多项选择题 6．(2024·江西开学考试)某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的酸皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据： 日销售量/杯 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75] 天数 4 6 9 5 6 以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是(　　) A．估计平均每天销售50杯酸皮奶(同一组区间以中点值为代表) B．若当天准备55杯酸皮奶，则售罄的概率为 C．若当天准备45杯酸皮奶，则卖不完的概率为 D．这30天酸皮奶日销售量的80%分位数是65杯 答案：BCD 解析：对于A，平均每天酸皮奶的销售量为＝51(杯)，故A错误；对于B，日销售量不小于55杯的概率为＝，故B正确；对于C，日销售量小于45杯的概率为＝，故C正确；对于D，1－＝0．8，因此这30天酸皮奶日销售量的80%分位数是65杯，故D正确．故选BCD． 7．一部机器有甲、乙、丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数，得到如下柱状图．由频率估计概率，在一个生产周期内，下列说法正确的是(　　) A．至少有一个零件发生故障的概率为0．8 B．有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大 C．乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D．已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大 答案：AD 解析：由题图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为＝0．2，则至少有一个零件发生故障的概率为0．8，A正确；有两个零件发生故障的概率为＝0．3，只有一个零件发生故障的概率为＝0．45，则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B错误；乙零件发生故障的概率为＝0．4，甲零件发生故障的概率为＝0．45，则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误；由题图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确．故选AD． 三、填空题 8．(2024·贵州毕节期中)一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为________． 答案： 解析：取球10次，取出红球3次，取出红球的频率为，故估计红球在口袋中的占比为． 9．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示： 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 92 192 285 478 根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品． 答案：1000 解析：由表中数据知，抽查5次，产品合格的频率依次为0．94，0．92，0．96，0．95，0．956，可见频率在0．95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率为0．95．设大约需抽查n件产品，则≈0．95，所以n≈1000． 10．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了1500辆汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，发现共有60辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率大约是________． 答案：0．04 解析：∵1500辆汽车在一年内有60辆汽车的挡风玻璃破碎，∴一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率大约是＝0．04． 四、解答题 11．(2024·广东揭阳期末)为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道10000人在该活动月每人每日平均阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图如图． (1)求x的值； (2)从该街道任选一人，估计这个人每日平均阅读时间超过60分钟的概率． 解：(1)由1－(0．005＋0．010＋0．0125＋0．005)×20＝20x，得x＝0．0175． (2)(0．0175＋0．0125＋0．005)×20＝0．7，故估计这个人每日平均阅读时间超过60分钟的概率为0．7． 12．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区： 62　73　81　92　95　85　74　64　53　76 78　86　95　66　97　78　88　82　76　89 B地区： 73　83　62　51　91　46　53　73　64　82 93　48　65　81　74　56　54　76　65　79 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 解：记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”； CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”； CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”， 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1＋CB2CA2． P(C)＝P(CB1CA1＋CB2CA2) ＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2) ＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)． 由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，， 故P(CA1)＝，P(CA2)＝， P(CB1)＝，P(CB2)＝， P(C)＝×＋×＝0．48． 13．[多选](2024·湖南衡阳阶段练习)高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是(　　) A．成绩的众数估计为75分 B．成绩的第75百分位数估计为80分 C．在[90，100]内随机抽取1名学生访谈，则甲被抽到的概率为0．01 D．从[40，50)和[90，100]内各抽取1名学生，从[70，80)内抽取2名学生调研，又从他们中任选2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0．13 答案：AB 解析：由频率分布直方图得，成绩在[70，80)的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；因为0．010×10＋0．015×10＋0．020×10＋0．030×10＝0．75，所以估计成绩的第75百分位数为80分，故B正确；因为成绩在[90，100]内的人数为100×0．010×10＝10，所以随机抽取1名学生访谈，甲被抽到的概率为0．1，故C错误；记从[40，50)内抽取的1名学生为a，从[90，100]内抽取的1名学生为b，从[70，80)内抽取的2名学生分别为c，d，则从这4人中任选2人，所有的可能结果为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种，所以这2人来自不同组的概率为，故D错误．故选AB． 14．(2024·广东揭阳期中)为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的1200人(学号从1至1200)中有366人回答了“是”．由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是________． 答案：132 解析：调查了1200人，在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中约有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”，所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为0．11，用频率估计概率，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为1200×0．11＝132． 15．(2024·河北张家口期末)如图所示，正方形ABCD的边长为2，点O是正方形的中心，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA四边的中点．现在以O为起点，再从A，E，B，F，C，G，D，H中任取两点分别为终点得到两个向量，不妨分别记为a和b． (1)请直接写出a·b的所有可能值组成的集合； (2)在a·b的所有值中，你觉得哪一个值发生的可能性最大？并说明理由． 解：(1)依题意，OE＝OF＝OG＝OH＝1，OA＝OB＝OC＝OD＝， ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝，∠EOF＝∠FOG＝∠GOH＝∠HOE＝， ＝－，＝－，＝－，＝－， ∠AOF＝∠EOC＝∠BOG＝∠FOD＝∠COH＝∠GOA＝∠DOE＝∠HOB＝， ∠AOE＝∠EOB＝∠BOF＝∠FOC＝∠COG＝∠GOD＝∠DOH＝∠HOA＝， 向量a和b的模是集合{1，}中的元素，a和b的夹角〈a，b〉∈， 当〈a，b〉＝时，a·b＝1×cos＝1， 当〈a，b〉＝时，a·b＝0， 当〈a，b〉＝时，a·b＝1×cos＝－1， 当〈a，b〉＝π时，a·b＝－|a|2＝－1或－2， 所以a·b的所有可能值组成的集合是{－2，－1，0，1}． (2)在a·b的所有值中，－1发生的可能性最大． 由(1)知，a·b＝1的情况有8种，a·b＝0的情况有8种，a·b＝－1的情况有10种，a·b＝－2的情况有2种，因此a·b＝－1的情况最多，所以在a·b的所有值中，－1发生的可能性最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$