广东省深圳市育才教育集团2024—2025学年下学期九年级第一次质量监测数学试题

育才教育集团2024—2025学年第二学期初三第一次质量监测 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D B A C D 二、填空题 题号 9 10 11 12 13 答案 —3 150 6 3 6− 4 5 13 11 13题解析：过A作AG⊥BC于点F，AF交BE于点G，则∠AFB=∠AFC=90° ∵AB=5，tan∠ABC= 3 4 ，BC=6 ∴AF=3，BF=4，CF=2，AC= 13 ∵BE平分∠ABC ∴AF：FG=AB：BF=5：4 ∴AG= 5 5 9 3 AF = ，FG= 4 4 9 3 AF = ∴tan∠FBG= CE FG BC BF = = 1 3 ,CE=2.（也可以用二倍角公式求出tan∠FBG= 1 3 ） 由△ADG∽△CDE得 5 5 5 53 , 13 2 6 11 11 AD AG AD AC CD CE = = = = = 三、解答题 14．解：原式= 1 3 2 3 1 3 2 −  + + ………………………………………………4分 = 1 3 3 1 3 − + + = 1 1 3 （或 4 3 ）………………………………………………………5分 注：第一步直接得到 3 不扣分，第二步没有写但是结果正确不扣分，只有答案没有过程不能得分。 15. （1）解：原式=( 1 1a − 2 2 2 1a a + − + ) 1 1 a a +  − = 2 1+2 1 ( 1) 1 a a a a − −  − + ……………………………………………………2 分 = 1 1a − …………………………………………………………………3 分 当 a=0 时，原式= 1 1 0 1 = − − ………………………………………………………5 分 （2） 2 1a − − ……………………………………………………………………………8分 16.（1）m＝7÷14%＝50，…………………………………………………………2分 （2）D组人数为50×10%＝5（人）， 补全图形如下： ………………………4分 （3）360°×10%＝36°，………………………………………………6分 （4）80、440………………………………………………………………8分 （5）190……………………………………………………………………10分 17.解:(1)设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为x元和y元，则………1分 80 50 6800 100 60 8400 x y x y + =  + = …………………………………………………………3分 解得 60 40 x y =  = ………………………………………………………………………4分 答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为60元和40元.………………5分 （3）设购买a个“妮妮”手办，则购买2a个“滨滨”手办，由题意得 60×0.8×2a+40×0.75×a≤1300………………………………………………7分 解得 a 20 10 63  ………………………………………………………………8分 ∵a为正整数 ∴a≤10 答：最多可以购买20个“滨滨”手办。……………………9分 18.证：（1）方法 1：如图 1，过 E 作 EH⊥AD 于 H，HE 的延长线交 BC 于 I， ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠ACB=∠ACD=45°，AD//BC,AB//CD,∠D=90° ∵EH⊥AD ∴∠EHF=∠EHD=90°=∠D ∴四边形 CDHI 为矩形…………1 分 ∴DH=CI=EI，∠BIE=90°=∠EHF……………………………………………2 分 ∵BE=EF ∴Rt△BEI≌Rt△EFH(HL)∴∠BEI=∠FEH ……………………3 分 ∵∠FEH+∠EFH=90° ∴∠BEI+∠FEH=90° ∴∠BEF=90° ∴BE⊥EF…………………………………………………… 4 分 图 1 图 2 图 3 方法 2：如图 2，过点 E 作 EG⊥AC 交 AB 的延长线于 G，连接 DE，则 AE=EG，∠G=∠FAE=45°， DE=BE=EF，∠ABE=∠ADE=∠EFD，∠EBG=∠EFA 从而△AEF≌△GEB，∠AEF=∠CEB，∠BEF=∠AEG=90°，BE⊥EF. (2) 如图 3，连接 DE，过 E 作 EH⊥AD 于 H . ∵EF=BE=DE，EH⊥AD ∴FH =DH ∵四边形 ABCD 为正方形 ，AB=4 ∴AC= 4 2 ，∠DAC=90° ∴AH=EH 设 AH=EH=x，则 AE= 2x =AF ，FH=x+ 2x，DH=4-x ∴4-x=x+ 2x，x= 4 2 2− ，AE= 4 2 4− ，CE=4 19.解：（1）由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为R m， ∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m， ∵OC是半径，OC⊥AB， ∴AD＝BD= 1 2 AB= 37 2 （m）， 在RtADO中，AD2+OD2＝OA2， ∴（ 37 2 ）2+（R﹣7）2＝R2，解得R= 1565 56 ≈28．……………………3分 （2）①如图1，点M、点N即为所求；………………………………2分 ②如图2，连接CN、CM，∵AB=3m，MN=2m ∴AD=BD=1.5m，DM=DN=1m，AN=BM=0.5m，………………………………1分 ∴NC=NB=2.5m 在Rt△CDN中，CD2=CN2-DN2=2.52-12=5.25，CD= 21 2 m ………2分 答：拱高CD为 21 2 m ………………………………………………………………3分 图1 图2 图3 （3）解：连接 BG、AC，过点 G 作 GH⊥AB，GK⊥AF 垂足分别为 H、K， ∴四边形 AHGK 是矩形，∴AH＝KG， 设正方形边长为 a，由题意可知：AG＝BG＝AC= √2a，∠DMA＝∠MNB＝90°， ∴GH⊥AB，AH＝HB＝KG= 1 2 a，MT∥NB， ∵∠KAG＝∠MAD，∠DMA＝∠GKA＝90°，∴△KAG∽△MAD， ∴ 𝐷𝑀 𝐴𝐷 = 𝐾𝐺 𝐴𝐺 = 1 2 𝑎 √2𝑎 = √2 4 ，∴DM= √2 4 𝐴𝐷 = √2 4 𝑎， ∵AM= √𝐴𝐷2 − 𝐷𝑀2 = √𝑎2 − ( √2 4 )2 = √14 4 𝑎， ∴MG＝AG﹣AM= √2a− √14 4 𝑎 = 4√2−√14 4 𝑎， ∵△AMD≌△BNA，∴AN＝DM= √2 4 𝑎， ∴NG＝AG﹣AN= √2a− √2 4 a= 3√2 4 a， 又∵MT∥NB， ∴ 𝐺𝑇 𝐺𝑃 = 𝐺𝑀 𝐺𝑁 = 4√2−√14 4 𝑎 3√2 4 𝑎 = 4−√7 3 ．……………………………………………………3 分 20.解：（1）（0，-1） （1，1），（2，3）……，符合题意即可.………………………3分 （2）如图1，当反比例函数经过点(2,3)时，内部区域刚好有5个整点（3，3），（3，4），（3，5），（2 ，4），（2，5），将（2，3）代入反比例函数 ( 0) k y k x =  得 3 , 6 2 k k= = ，此时D(4,1.5) ,E(1,6).………………………………………………7分 图1 图2 （3） 5 2 3 2 −− a ……………………………………………………………………10分 如图2，抛物线 2 2 3y ax ax a= − − =a(x+1)(x-3)经过A(-1,0),B(3,0)，对称轴为直线x=1，围成的区域关于x轴 对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是(1,1),(2,1),(3,1),(1,2)，当抛物线恰好经过（1，2）时，刚好有13个“ 整点”，此时 5 2 ,322 −=−−= aaaa 。 根据对称性，当抛物线经过点(0,2)时必然会经过点(2,2),因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置， 3 2 ,23 −==− aa ，所以 5 2 3 2 −− a 2024—2025学年第二学期初三第一次质量监测 九年级 数学 说明：1.答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好。 2.全卷共3页。考试时间90分钟，满分100分。 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内。写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.截至2025年2月13日19时11分，《哪吒之魔童闹海》总票房(含预售)突破100亿元，用时仅仅16天，是中国影史上首个破百亿大关的电影.数据100亿用科学记数法表示为( ) A. 1×10⁸ B.1×10⁹ D.10×10⁹ 2.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、 “立夏”、 “芒种”、 “大雪”，其中不是轴对称图形的是( ) 3.下列计算正确的是 ( ) 4.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行.若∠1=45°，∠2=116°, 则∠3+∠4的大小是( ) A. 161° B. 116° C. 111° D. 109° 5.如图是2025年春节档万达影院某天影院排档期的四部影片，小明和小红各随机购买一张电影票，则他们看同一部影片的概率是 ( ). 6.在平面直角坐标系中，二次函数. 的图象可能是下图中的(). 7.某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为30cm.校门关闭时，每个菱形的钝角度数为 校门部分打开时，每个菱形原 的角缩小为 则校门打开了( )cm. 8.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作。其中第一题是测量海岛高度的问题。如图，点E、H、G在水平线AC上，DE 和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度. 若 DE=2m, EG=10m, CG-EH=2m, 则海岛的高AB为( ) A.6m B.8m C.10m D.12m 二、填空题 (每小题3分，共15分) 9.关于x的一元二次方程. 的一个根是x=-1，则m的值为 . 10.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了 度. 11.如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B.中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β.由光的反射原理可知， 。已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当 时，光斑移动的距离AB为 米. 12.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B 做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D.若. 当AB与⊙O 相切时, AE的长为 . 13.如图, 在△ABC中, BD平分∠ABC交AC于点D, 过C作CE⊥BC交AD的延长线于点 E,则线段AD 的长为 . 三、解答题 14. (5分) 计算: 15.(8分)彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分 (1)嘉淇猜被墨水遮住的部分是 请代入原式化简，然后从-1，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； (2)若这道题化简后的结果是 则被墨水遮住的部分是 . 16.(10分)新能源车的续航里程是指汽车在动力电池完全充电(仪表显示充满)的状态下，以一定的行驶情况连续行驶的最大距离.为调查1年及以内纯电动新能源车(以下简称纯电车)的续航里程，福田区某学校数学兴趣小组在社区内随机对m辆纯电车的车主进行了问卷调查，并对这些纯电车的续航里程进行了收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息： ①m辆纯电车续航里程s(单位：公里)的不完整的扇形统计图，如图1： (数据分成5组, A: 600≤s, B: 500≤s<600, C: 400≤s<500, D: 300≤s<400, E: s<300); ②新能源纯电动车续航里程条形统计图，如图2： ③纯电车续航里程在C组的里程数据绘制散点统计图，如图3； 根据以上信息，回答下列问题： (1)这次被调查的纯电车数量m= ； (2)请将条形统计图补充完整； (3)扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角度数为 °； (4)C组电动车的续航里程的极差是 公里，中位数是 公里； (5)若该小区有500辆电动车，请估计续航里程满足300≤s<500公里的电动车的数量为 辆 17.(9分) “滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物。某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如下表： 月份 销售量/个 销售额/元 滨滨 妮妮 1月 80 50 6800 2 月 100 60 8400 (1)求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价； (2)为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售， “妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的2倍，若总费用不超过1300元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办? 18.(8分)在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E是对角线AC上的动点，连接BE,点F在直线AD上(点F不与点D重合), 连接EF, EF=EB. (1)如图1, 当E在线段OC 上时, 求证: BE⊥EF; (2)如图2, 若AB=4, 当E在线段OA上, 且AE=AF时, 求CE的长. 19.(11分)项目式学习： 圆弧在建筑中的应用 项目主题：圆弧在建筑中的应用 素材 我国历史上著名的赵州桥，是现存世界上跨径最大、建造最早的单肩石拱桥，这是单圆弧设计在我国古代建筑中的一种成功典范。如图1，赵州桥主桥拱成圆弧形，跨度约37m, 拱高约7m. 素材 在西方建筑中，也有很多应用圆弧设计的元素。例如巴黎圣母院是典型的哥特式建筑。如图2，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱。其中，点A、B称为起拱处，点C称为拱尖，C到AB的距离CD称为拱高。两心尖拱的几何特征就是 、 的圆心落在直线AB 上. 素材 如图3是古塔建筑中的方圆设计，寓意天圆地方.据古塔示意图，以塔底座宽 AB 为边作正方形 ABCD(图4), 塔高AF=AC, 分别以点A，B 为圆心，AF为半径作圆弧，交于点 G.正方形ABCD 内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成。 问题解决 任务1 确定半径 (1)图1中赵州桥主桥拱半径R约为_m.(结果保留整数) 任务2 计算拱高 (2)①请根据两心圆拱的几何特征利用尺规作出图2中 的圆心 M、N.(不写作法，保留作图痕迹)； ②在①的条件下, 若 MN=2m, AB=3m, 求拱高 CD. 任务3 计算比值 (3)如图4,若点 G落在AM的延长线上,连接GP 交 DQ于点 T,则 的值为_____. 20.(10分) 我们规定：在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”。例如(3,2), (-2,0) 都是“整点”. (1)请你写出一次函数y=2x-1图象上的一个“整点”： ； (2) 如图1,在平面直角坐标系中, 矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,OA=4,OC=6，P是矩形OABC内部(不含边界)一个“整点”，经过点 P的反比例函数 的图象与AB、BC分别交于D、E两点，若在线段BD、BE及反比例函数DE段的部分所围成的封闭区域(不含边界)中恰好有5个整点，求k的值. (3)如图2，抛物线 的图象与x轴分别交于A、B两点，沿抛物线x轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰好有13个整点，请直接写出a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$