精品解析：湖南省2025届高考普通高中名校联考第一次模拟考试数学试题

2025届·普通高中名校联考信息卷（模拟一） 数学 考生注意： 1.本试卷共150分，考试时间120分钟. 2.请将答案填在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由并集运算可得. 【详解】解不等式得，即， 又，所以. 故选：A 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则计算，然后求虚部即可. 【详解】， 所以的虚部为. 故选：D. 3. 甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ） A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果. 【详解】根据题意可得命中次数服从二项分布，即； 即可得均值为，解得； 所以的方差为. 故选：B 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围. 【详解】由函数的定义域为， 设，则， 又单调递增， 当时，，，无单调性，不成立； 当时，在和上单调递增， 即在和上单调递增， 所以，则，即； 当时，在和上单调递减， 即在和上单调递减，不成立； 综上所述， 故选：C. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率. 【详解】如下图所示：    因为的中点，且，则， 由椭圆的定义，则， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得， 即；又因， 代入整理得：，即， 解得或（舍）. 故选：C. 6. 已知正四面体的高等于球的直径，则正四面体的体积与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四面体的特征求其高及体积，进而求球的体积即可. 【详解】 如图，正四面体，设其棱长为2， 设的中心为，连接，延长交于， 则平面且， 故正四面体的高为且， 所以. 设球的半径为，则， 则球的体积为， 故体积比为 7. 在中，，且边上的高为，则（ ） A. 的面积有最大值，且最大值为 B. 的面积有最大值，且最大值为 C. 的面积有最小值，且最小值为 D. 的面积有最小值，且最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和差的正弦展开可得，再由三角形面积公式可得，再通过余弦定理求得的范围，即可求解. 【详解】因为 所以 所以，又为三角形内角， 所以，所以 设角的对边分别为，边的高为， 由三角形面积公式可得：，又， 所以，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以 所以 故选:D 8. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. C. 函数为周期函数，且一个周期为4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断. 【详解】对于A，因为为奇函数， 所以，即， 所以，所以， 所以函数的图象关于点对称，所以A正确， 对于B，在中，令，得，得， 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 令，则，所以，得，所以B正确， 对于C，因为函数的图象关于点对称，， 所以，所以， 所以4不是的周期，所以C错误， 对于D，在中令，则， 令，则，因为，所以， 因为，所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由可求得，结合可排除，知B正确；由等比数列通项公式知A错误；利用作差法可知C正确；根据等比数列求和公式可判断D错误. 【详解】对于B，当时，，，又，， 或； 当时，，，与矛盾，，B正确； 对于A，，A错误； 对于C，，，，，即，C正确； 对于D，，又，，D错误. 故选：BC. 10. 将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 与在上均单调递减 D. 函数在上有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】诱导公式结合余弦函数性质可判断A；根据周期变换求，由周期公式可判断B；整体代入法求单调区间即可判断C；直接解方程求零点可判断D. 【详解】对A，，显然为偶函数，A正确； 对B，由题知，，则最小正周期，B错误； 对C，由得，在上单调递减， 所以在上单调递减， 由得，在上单调递减， 所以在上单调递减，C正确； 对D，由得， 所以或， 即或， 因为，所以， 所以函数在上有5个零点，D正确. 故选：ACD 11. 若函数，则（ ） A. 可能只有1个极值点 B. 当有极值点时， C. 存在，使得点为曲线的对称中心 D. 当不等式的解集为时，的极小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，根据判别式分类讨论可得；B项，有极值点转化为，结合A项可得；C项，取，验证可得；D项，由不等式解集结合图象可知，1和2是方程的两根且，解出系数，代入函数求解极值即可判断. 【详解】， 则，令， . A项，当时，，则在上单调递增，不存在极值点； 当时，方程有两个不等的实数根，设为，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 故在处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点； 综上所述，不可能只1个极值点，故A错误； B项，当有极值点时,有解，则， 即.由A项知，当时，在上单调递增，不存在极值点； 故，故B正确； C项，当时，， ，所以， 则曲线关于对称， 即存在，使得点为曲线的对称中心，故C正确； D项，不等式的解集为， 由A项可知仅当时，满足题意. 则且，且在处取极大值. 即，则有， 故， ， 又， 解得， 故， 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故在处有极大值，且极大值为； 在处有极小值，且极小值为； 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决关键在于D项中条件“不等式的解集为”的转化，一是解集区间的端点是方程的根，二是在处取极值，从而. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等比数列，，则数列的前项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列定义可得数列的通项公式，再由等比数列前项和公式计算可得结果. 【详解】由是等比数列可得其公比， 因此数列的首项为，公比，所以，即； 所以数列的前项和为 . 故答案为： 13. 甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转化为在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率，然后可解. 【详解】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率. 甲从三个盒子中各取一球，共有种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法， 所以，甲获得3分的概率为. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论当在正方体各个棱上时的取值范围，再根据点的个数求交集即可. 【详解】 当在、上时由、，即，即； 当在、上时为等腰三角形，，即，即； 当在、、、上时的取值范围均一致，当在上时，绕翻折，使平面与平面在同一平面内， 如图所示， 则，即， 又在每条棱上运动时，所在位置与的值一一对应， 又， 所以若满足条件的点恰有个，则， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用椭圆的定义，分类讨论在不同棱上的范围. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 35 35 70 不喜欢跳绳 10 20 30 合计 45 55 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 若，则，. 【答案】（1）不能 （2）人 【解析】 【分析】（1）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断； （2）转化为训练前的人数估计.由题意得的值，则即，利用正态曲线的对称性与区间的概率参考数据 【小问1详解】 ：学生的性别和是否喜欢运动无关. ， 所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关. 【小问2详解】 训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数， 则，，， 即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，， ， 由（人） 估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为. 即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取棱靠近的三等分点， 连结，则是的中点， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 所以，因为，所以， 设，因为， 所以，作，连接， 则，因为，所以． 在中，由余弦定理得， ． 又面， 平面，因为面，所以． 又由平面平面，平面平面， 平面得证. （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意证明直线与两个平面的交线垂直，再利用面面垂直的性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，．以为原点， 的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 令． 设平面的法向量为， 则即令，可得． 连接，此时，，由余弦定理得， 所以，所以， 因为平面，所以， 因为面，， 所以面，故平面的一个法向量为． 设平面和平面的夹角为，则， 平面和平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为. （1）比较和的大小； （2）讨论的单调性； （3）若有最小值，且最小值为，求的最大值. 【答案】（1）； （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解； （2）求导，分和讨论导数符号即可得解； （3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可. 【小问1详解】 ，由题知， 整理得. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，无最小值， 当时，在处取得最小值，所以， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 即的最大值为. 18. 已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）． （1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积． 【答案】（1）1 （2）． 【解析】 【分析】（1）设直线、的倾斜角分别为、（、），则，再利用斜率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解； （2）先求出点的坐标，进而得到双曲线在点处的切线方程为，不妨设直线为，与双曲线方程联立，结合韦达定理和三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由题意知直线斜率为1，直线的倾斜角， 设直线、的倾斜角分别为、（、）， 直线、关于直线对称，， ． 【小问2详解】 联立， 双曲线在点处的切线方程为． 不妨设直线为，，， 联立得， 整理得，将等式看作关于的方程： 两根之和，两根之积， 而其中， 由（1）得， 直线为，过定点， 又双曲线在点处的切线方程为，过点，， ． 19. 若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”. （1）若数列为“稳定数列”，求的取值范围； （2）若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由； （3）若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，. 【答案】（1） （2）数列不是 “稳定数列”，理由如下： 令，得， 当时，， 检验，当时，， 故，所以，， 要使为“稳定数列”，则需， 即恒成立； 所以有， 显然不可能恒小于等于零， 故不能恒成立， 所以数列不是 “稳定数列”； （3）证明： 由题可知，且， 则与两式相加 得 ， 令， 则有， 分类讨论， 第一类， ， ，， 因为，所以有， 所以有， 得， 第二类，， 则有， 则有，， ， 得到， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以当为偶数时，，得， 当为奇数时，， 又因为， 所以， 所以， 所以得. 【解析】 【分析】（1）将数据代入已知不等式，求解即可； （2）先利用求出数列的通项公式，然后再判断是否满足“稳定数列”定义即可； （3）先利用，建立不等式，两式相加化简，得，构成一个新的数列，有然后，讨论其相邻两项的正负，分别计算即可. 【小问1详解】 由“稳定数列”的定义可知,， 解得，又因为，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：该题为数列新概念题，第一问和第二问,按照其概念计算即可；第三问,需要建立新的递推公式，得到一个找到数列不同项之间的关系，然后建立不等式求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届·普通高中名校联考信息卷（模拟一） 数学 考生注意： 1.本试卷共150分，考试时间120分钟. 2.请将答案填在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ） A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四面体的高等于球的直径，则正四面体的体积与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，且边上的高为，则（ ） A. 的面积有最大值，且最大值为 B. 的面积有最大值，且最大值为 C. 的面积有最小值，且最小值为 D. 的面积有最小值，且最小值为 8. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. C. 函数为周期函数，且一个周期为4 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 与在上均单调递减 D. 函数在上有5个零点 11. 若函数，则（ ） A. 可能只有1个极值点 B. 当有极值点时， C. 存在，使得点为曲线的对称中心 D. 当不等式的解集为时，的极小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等比数列，，则数列的前项和为__________. 13. 甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________. 14. 已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 35 35 70 不喜欢跳绳 10 20 30 合计 45 55 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 若，则，. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为. （1）比较和的大小； （2）讨论的单调性； （3）若有最小值，且最小值为，求的最大值. 18. 已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）． （1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积． 19. 若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”. （1）若数列为“稳定数列”，求的取值范围； （2）若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由； （3）若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $