精品解析：四川省射洪中学校2024-2025学年高二强基班下学期3月月考数学试题

射洪中学高2023级高二（下）第一次月考 数学试题 命题人：范旭东 审题人：张宗礼 校对：赵爽 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题（本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第17项 B. 第18项 C. 第19项 D. 第20项 3. 已知等差数列中，，则等于（ ） A. 56 B. 53 C. 55 D. 54 4. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 5. 等比数列中，，则（ ） A. 4 B. C. D. 6. 已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列首项为8，，以下结论正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. 是和的等比中项 C. 前项的乘积有最大值 D. 前项的和有最大值 10. 已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 有最大值为 11. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是______. 13. 函数在处的导数是________. 14. 已知数列的前项和为，，.将数列与数列里面的数照从小到大的规则混合排列，得到一个新的数列，则新的数列的前100项的和为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求和的等差中项. （3）求. 16. 在等比数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求使得的最小值. 17. 已知等差数列的前项和为，满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求. （3）求. 18. 已知数列为等差数列，，，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和. （1）求数列前项和的最小值； （2）若，求数列的前项和； 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2023级高二（下）第一次月考 数学试题 命题人：范旭东 审题人：张宗礼 校对：赵爽 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题（本题共8小题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 2. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第17项 B. 第18项 C. 第19项 D. 第20项 【答案】D 【解析】 【分析】令即可计算求解. 【详解】令. 故由题可得是这个数列的第20项. 故选：D 3. 已知等差数列中，，则等于（ ） A. 56 B. 53 C. 55 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】利用计算公差，根据等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】由得，故， 则. 故选：D. 4. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由平均变化率计算公式求解． 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 5. 等比数列中，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 6. 已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列求出可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得， 因为正项等差数列，则，则， 当时，，舍去； 当时，， 所以. 故选：A. 7. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推式特征，得到为常数列可得答案. 【详解】因为，所以， 则有，得，故. 故选：A 8. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出数列的前几项，找出数列的规律，再根据规律求出的值. 【详解】已知，因为，所以，. 根据，可得，化简得到. 因为，所以，. 同理可得. 通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）. 当时，. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列首项为8，，以下结论正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. 是和的等比中项 C. 前项的乘积有最大值 D. 前项的和有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列的通项公式，再逐项求解判断. 【详解】由，得，而，则，， 对于A，，数列是递减数列，A错误； 对于B，，是和的等比中项，B正确； 对于C，，当时，， 因此前4项积与前3项积相等都最大，C正确； 对于D，前项的和，数列是递增的，无最大项，D错误. 故选：BC 10. 已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 有最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列通项以及等比中项定义计算可得，可得A正确；由于不明确公差的符号，所以BD错误，由等差数列前n项和公式可得C正确. 【详解】设等差数列的公差为， 由是和的等比中项可得， 可得，即，即A正确； 对于B， 由A可知，因为不知道的正负，因此公差的符号不确定， 所以数列的单调性不确定，即B错误； 对于C，易知，所以C正确， 对于D，根据B选项可知数列的单调性不确定，因此不一定有最大值，可得D错误. 故选：AC 11. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 当时，，又， 两式相减得，所以， 当时，适合上式，所以，故B错误； 所以， 所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误； ， 所以， 两式相减得 所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是______. 【答案】10 【解析】 【分析】利用等差数列定义及其通项公式计算可得结果. 【详解】设这9个数构成的等差数列为，公差为； 则，因此， 解得； 所以该数列的第5项是. 故答案为：10 13. 函数在处的导数是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案. 【详解】由，则，当时，. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，，.将数列与数列里面的数照从小到大的规则混合排列，得到一个新的数列，则新的数列的前100项的和为_______________. 【答案】9332 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项公式，进而确定数列前100项中各有数列与数列的项数，再求出这些项的和. 【详解】数列中，，则时，， 两式相减得，则，而，， 因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，，， ，数列的第100项为199，第41项为81， 则数列的前4项是数列前100项中的项，数列前100项中的另96项为数列的前96项， 所以数列的前100项的和为. 故答案为：9332. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求和的等差中项. （3）求. 【答案】（1） （2） （3）195 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及首项即可. （2）利用等差中项的意义求解. （3）利用等差数列性质求解. 【小问1详解】 在等差数列中，，则公差， 由，得，因此，， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）得和的等差中项为. 【小问3详解】 由（1）得. 16. 在等比数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求使得的最小值. 【答案】（1）或； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出前项和为，再解不等式求出最小值. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，，得，解得或， 所以数列的通项公式为或. 【小问2详解】 由（1）知，或，而，则， 于是，由，得，解得，又，因此， 所以使得的最小值为6. 17. 已知等差数列的前项和为，满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求. （3）求. 【答案】（1）； （2）20； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解. （2）利用并项求和法求解. （3）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 在等差数列中，，解得， 而，则，公差， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以. 【小问3详解】 由（1）得， 所以 . 18. 已知数列为等差数列，，，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和. （1）求数列前项和的最小值； （2）若，求数列的前项和； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列通项公式，确定单调性及所有非正数项，再求出它们的和. （2）列出递推公式，利用前项和与第项的关系求出，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，，解得， 由，得，则， 由，得，因此数列是递增数列，前7项均为负数，从第8项起为正数， 所以数列的前项和最小，. 【小问2详解】 由点在直线上，得，则，， 当时，，则，即， 数列是首项为，公比为的等比数列，，， ，， 两式相减，得 ，所以 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 【答案】（1） （2）存在；或 （3） 由题意知，， 当时，，不等式成立． 当，因为 ， 所以 ． 因为，所以， 所以时，， 综上，． 【解析】 【分析】（1）利用的关系可得，利用累乘法可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，假设存在正整数，使得成等差数列，可得，求解即可； （3）当时，可得，利用放缩法可证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 两式相减得，即． 累乘得． 经检验也符合上式，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即， 显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18， 当，即时，， 当，即时，． 所以，存在正整数，使得成等差数列， 此时或． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手， 用不等式的传递性等性质， 舍去(或添上) 一些正项或者负项， 扩大或缩小分式的分子、 分母， 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标，注意放缩时要适度， 否则就不能同向传递．在数列求和型不等式证明中， 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和， 则选择先求和后再放缩； 若数列不易求和， 要考虑先放缩后再求和的证明方法 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $