第二十七章 相似 单元检测题 2024--2025学年人教版九年级数学下册

阶段检测卷（第二十七章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝40°，∠B＝110°，则∠C'的度数为（　　） A.40° B.110° C.70° D.30° 2.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条直线分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝2，BC＝4，DE＝1.5，则EF的长为（　　） 第2题图 A.6 B.4.5 C.3 D.2 3.如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（　 　） A.∠A＝∠D，∠B＝∠E B.∠A＝∠D且＝ C.∠A＝∠B，∠D＝∠E D.∠A＝∠E且＝ 4.如图，在△ABC中，P为AB上的一点，下列四个条件不能判断△APC和△ACB相似的是（　　） A.∠ACP＝∠B B.∠APC＝∠ACB C.AC2＝AP·AB D.AB·CP＝AP·CB 5.如图，AB∥CD∥EF，若＝，BD＝12，则DF的长为（　 　） A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图，等边三角形ABC的边长为3，D为AC上一点，P为BC上一点，且BP＝1.若∠APD＝60°，则CD的长为（　　） 第6题图 A. B.1 C.2 D.3 7.如图，在△ABC中，BC＝120 cm，高AD＝60 cm，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） 第7题图 A.15 cm B.20 cm C.25 cm D.30 cm 8.在平面直角坐标系中，将一块直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝－（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则的值为（　　） A.　 B.　 C.　 D. 8.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若BE＝OB，则下列结论正确的是（ 　） A.＝ B.＝1 C.＝ D.＝ 9.一种燕尾夹如图1所示，在闭合状态下的示意图如图2所示，在打开状态下的示意图如图3所示（单位：mm）.从图2的闭合状态到图3的打开状态，点B，D之间的距离减小了（　 ） 　　 A.25 mm B.20 mm C.15 mm D.8 mm 10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，连接AE，点F在 AE上，且EF＝CE，连接CF并延长交AB于点G，则BG的长是（ 　） A.－1 B.＋1 C.3－ D.1 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.如果两个相似三角形的周长之比是4∶9，那么它们对应角平分线的比是　 　. 12.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则的值为　　. 第12题图 13.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，P是△ABC内的一点，且∠APB＝∠BPC＝120°.若AP＝3，BP＝4，则CP＝　　. 第13题图 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F. （1）当AE＝1时，EF的长为 ； （2）EF长的最小值为 . 15.如图，△ABC是面积为27 cm2的等边三角形，被一平行于边BC的矩形所截.若边AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为　　cm2. 三、解答题（共40分） 16.（8分）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，利用格点按要求完成下列作图.（要求仅用无刻度的直尺，不写作法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以点C为位似中心，在格点上画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1∶2； （2）在图2中，以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似； （3）在图3中，在线段AB上取一个点P，使＝. 17.（10分）如图，E为矩形ABCD的边CD的延长线上一点，连接BE交AD于点F， AF＝2DF. （1）求证：CD＝2DE； （2）若△DEF的周长为6，求△ABF的周长. 18.（10分）如图，AG∥BD，DG交AB于点F，交AC于点E.已知＝，＝2，求的值. 19.（10分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m，OA的影长OD为20 m，小明的影长FG为2.4 m，其中O，C，D，F，G五点在同一条直线上，A，B，O三点在同一条直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8 m，求旗杆的高AB. 20.（12分）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD. （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若∶＝4∶9，BC＝6，求EC的长. 21.（12分）如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F，且CE＝CF. （1）求证：△ADF∽△ACE； （2）若BC＝9，CD＝6，AE＝5，求AF的长. 22.（14分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为 AB的中点，AC与DE交于点F，连接CE. （1）求证：AC2＝AB·AD； （2）若AC＝，AB＝2，求的值. 23.（14分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE. （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD，AB，CD之间的数量关系，并说明理由. 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段检测卷（第二十七章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝40°，∠B＝110°，则∠C'的度数为（　D　） A.40° B.110° C.70° D.30° 2.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条直线分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝2，BC＝4，DE＝1.5，则EF的长为（　C　） 第2题图 A.6 B.4.5 C.3 D.2 3.如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（　A　） A.∠A＝∠D，∠B＝∠E B.∠A＝∠D且＝ C.∠A＝∠B，∠D＝∠E D.∠A＝∠E且＝ 4.如图，在△ABC中，P为AB上的一点，下列四个条件不能判断△APC和△ACB相似的是（　D　） A.∠ACP＝∠B B.∠APC＝∠ACB C.AC2＝AP·AB D.AB·CP＝AP·CB 5.如图，AB∥CD∥EF，若＝，BD＝12，则DF的长为（　D　） A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图，等边三角形ABC的边长为3，D为AC上一点，P为BC上一点，且BP＝1.若∠APD＝60°，则CD的长为（　A　） 第6题图 A. B.1 C.2 D.3 7.如图，在△ABC中，BC＝120 cm，高AD＝60 cm，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　B　） 第7题图 A.15 cm B.20 cm C.25 cm D.30 cm 8.在平面直角坐标系中，将一块直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝－（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则的值为（　A　） A. 　 B.　 C.　 D. 8.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若BE＝OB，则下列结论正确的是（　D　） A.＝ B.＝1 C.＝ D.＝ 9.一种燕尾夹如图1所示，在闭合状态下的示意图如图2所示，在打开状态下的示意图如图3所示（单位：mm）.从图2的闭合状态到图3的打开状态，点B，D之间的距离减小了（　A　） 　　 A.25 mm B.20 mm C.15 mm D.8 mm 10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，连接AE，点F在 AE上，且EF＝CE，连接CF并延长交AB于点G，则BG的长是（　A　） A.－1 B.＋1 C.3－ D.1 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.如果两个相似三角形的周长之比是4∶9，那么它们对应角平分线的比是　4∶9　. 12.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则的值为　　. 第12题图 13.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，P是△ABC内的一点，且∠APB＝∠BPC＝120°.若AP＝3，BP＝4，则CP＝　　. 第13题图 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F. （1）当AE＝1时，EF的长为　　； （2）EF长的最小值为　　. 15.如图，△ABC是面积为27 cm2的等边三角形，被一平行于边BC的矩形所截.若边AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为　9　cm2. 三、解答题（共90分） 16.（8分）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，利用格点按要求完成下列作图.（要求仅用无刻度的直尺，不写作法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以点C为位似中心，在格点上画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1∶2； 解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求. （2）在图2中，以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似； ◐ 解：（2）如图2所示，△ADE即为所求. （3）在图3中，在线段AB上取一个点P，使＝. ◐ 解：（3）如图3所示，点P即为所求. 17.（10分）如图，E为矩形ABCD的边CD的延长线上一点，连接BE交AD于点F， AF＝2DF. （1）求证：CD＝2DE； （2）若△DEF的周长为6，求△ABF的周长. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD， ∴△ABF∽△DEF，∴＝. ∵AF＝2DF，∴AB＝2DE， ∴CD＝2DE. （2）∵△ABF∽△DEF，AF＝2DF. ∴＝＝2.∵△DEF的周长为6， ∴△ABF的周长为12. 18.（10分）如图，AG∥BD，DG交AB于点F，交AC于点E.已知＝，＝2，求的值. 解：∵AG∥BD，∴△AGF∽△BDF， ∴＝＝. ∵＝2，∴＝2. ∵AG∥BD，∴△AGE∽△CDE，∴＝＝2. 19.（10分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m，OA的影长OD为20 m，小明的影长FG为2.4 m，其中O，C，D，F，G五点在同一条直线上，A，B，O三点在同一条直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8 m，求旗杆的高AB. 解：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF. ∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG， ∴＝，即＝，解得AO＝15（m）. ∵AD∥BC，∴△BOC∽△AOD， ∴＝，即＝，解得BO＝12（m）， ∴AB＝AO－BO＝15－12＝3（m）. 20.（12分）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD. （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若∶＝4∶9，BC＝6，求EC的长. 解：（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE. 又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC. （2）∵△ABC∽△DEC，∴＝（）2＝， ∴＝. 又∵BC＝6，∴EC＝9. 21.（12分）如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F，且CE＝CF. （1）求证：△ADF∽△ACE； （2）若BC＝9，CD＝6，AE＝5，求AF的长. 解：（1）证明：∵CE＝CF， ∴∠CEF＝∠CFE. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠AFD＝∠CEF. ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAF＝∠CAE， ∴△ADF∽△ACE. （2）∵△ADF∽△ACE，∴∠ADF＝∠ACB，＝. ∵∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，即＝，∴AF＝. 22.（14分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为 AB的中点，AC与DE交于点F，连接CE. （1）求证：AC2＝AB·AD； 解：（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴＝，∴AC2＝AB·AD. （2）若AC＝，AB＝2，求的值. 解：（2）∵AC2＝AB·AD，AC＝，AB＝2， ∴AD＝＝＝. ∵∠ACB＝90°，E为AB的中点， ∴EA＝EC＝EB＝AB＝×2＝1，∴∠EAC＝∠ECA. ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC， ∴∠DAC＝∠ECA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴△AFD∽△CFE，∴＝＝＝. 23.（14分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE. （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD，AB，CD之间的数量关系，并说明理由. 解：（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD. （2）在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，由勾股定理，得BE＝＝3. ∵BC＝5，∴EC＝5－3＝2. 由（1），得△ABE∽△ECD，∴＝， ∴＝，∴CD＝. （3）线段AD，AB，CD之间的数量关系为AD＝AB＋CD.理由如下： 如图，过点E作EF⊥AD于点F. ∵△AED∽△ECD，∴∠ADE＝∠EDC. ∵EF⊥AD，DC⊥BC，∴EF＝EC. ∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）， ∴DF＝DC. 同理可得△ABE≌△AFE，∴AF＝AB， ∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD. 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$