精品解析：北京市第二中学2024-2025学年高一下学期段考四数学试题

2025北京二中高一（下）段考四 数 学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的值域，结合集合的交集，可得答案. 【详解】由，则. 故选：A. 2. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可 【详解】，，∴． 故选：B． 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示形式，可直接得到值. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 故选：A. 4. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直向量的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 5. 将函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍长度，再向右平移个单位长度，所得到的图像解析式是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍长度，得, 再向右平移个单位长度，所得到的图像解析式是， 故选：B. 6. 在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：，得， 由正弦定理：. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型. 7. 若实数，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】构造函数 ，故函数在上单调递增，即由“” 可得到“”,反之，由“”亦可得到“” 选C 8. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】因为分别为与同向的单位向量， 因为，可知的角平分线与BC垂直，则， 又因为，即， 且，则，所以是等边三角形. 故选：D. 9. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则等于(　　) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【详解】由和正弦定理，得， 即，即，，则由，得，即；故选C. 10. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 11. 若 均为单位向量，且，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积运算律化简得出，再根据数量积求解模长的最大值即可. 【详解】因为 均为单位向量，且， 因为，所以， 所以， 则. 则的最大值为. 故选：B. 12. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】法1：每次跳跃的路径对应的向量为， 因为求跳跃次数的最小值，则只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则，两式相加可得， 因为，则或， 当时，则次数为； 当，则次数为； 综上所述：次数最小值为10. 法2：考虑所有边长为5的勾股数，每次正向的位移之和最大为7， 从到的正向的位移，故移动的次数大于， 考虑下面的移动：，4次，4次，则可从从到. 故最小次. 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将答案填在答题纸上） 13. 已知，，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入中，整理即可求解. 【详解】由题，因为， 所以，即， 所以， 故答案为： 14. 在​中，，​， 且​的面积为​， 则边长​为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边和三角形面积公式可构造方程求得，利用余弦定理可求得结果. 【详解】由正弦定理得：， ，，即，解得：，， 由余弦定理得：，. 故答案为：. 15. 已知函数，方程在内解的个数为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件可得或，进而确定解的个数. 【详解】由，得或， 而，则，或，而，， 因此在内有两个解，在内有两个解， 所以方程在内解的个数为4. 故答案为：4 16. 已知，均为锐角，，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可. 【详解】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 17. 如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为. 【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便． 18. 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上单调递减； ③，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为_________________（请写出所有正确命题的序号）. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由题意，代入已知点求得函数解析式，根据正弦函数的奇偶性，可得①的正误；利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得②的正误；由函数解析式求得周期，分情况求和，可得③的正误；利用三角函数的和差公式以及诱导公式化简等式，可得④的正误. 【详解】将代入，可得， 化简可得，解得， 由，则，故， ，故①正确； 由，则，易知函数在上单调递减，故②正确； 由函数的最小正周期，且，，， 则当时，， 当时，， 当时，， 故③错误； ， ， ， 故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题（本题共5小题，共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知，，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接展开，代入即可求解； （2）先分别求出，再直接代入向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 ， ， 所以， 即向量与夹角的余弦值为. 20. 已知函数的周期为. （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）若，求的最大值和最小值以及取得最值时相应的值． 【答案】（1）， （2），；， 【解析】 【分析】（1）由三角函数恒等式化简函数解析式，根据周期可得参数值，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案； （2）利用整体思想，结合正弦函数的单调性与最值，可得答案. 【小问1详解】 . 由于函数的最小正周期为，所以， 故， 令，解得， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，则，所以， 所以当，即时，； 所以当，即时，. 21. 在中，分别为角所对的边，已知． （1）求角B的值； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】(1)利用给定条件结合正弦定理边化角，借助和角的正弦及三角形内角和定理即可作答； (2)用正弦定理角表示边，借助三角恒等变换公式化三角形面积为即可作答. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：， 即， 而，则，，又， 所以； （2）中，由正弦定理得：，于是有， 由(1)知，则有，而是锐角三角形，于是有，解得， 从而得 ， 因，则，因此得， 所以的面积的取值范围. 22. 已知函数，关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），（2）当时，解集为，当时，不等式无解，当时，解集为，（3） 【解析】 【分析】 （1）由题意得不等式的解集为，由根与系数的关系得，从而可求出实数，的值； （2）由，得，即，然后分，，求解即可； （3）令（），则在上恒成立，即，即，令，然后分对称轴在轴左侧和右侧两种情况求解即可 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，即不等式的解集为， 所以，解得， 所以， （2）由，得， 即，， 若，则，若，则不等式无解，若，则， 所以当时，解集为，当时，不等式无解，当时，解集为 （3）令（），则在上恒成立， 即，即， 令， 当，即，对称轴在轴左侧，所以，即，所以， 当时，即对称轴在轴右侧，则，解得， 综上 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，第（3）问解题的关键是构造二次函数，则，所以分抛物线的对称轴在轴左侧和右侧两种情况求解，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题 23. 给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为． （1）当时，设，，写出，并求； （2）当时，对给定的数阵，证明：是的倍数； （3）证明：对给定的数阵，总存在，使得． 【答案】（1），；， （2） 设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为． 经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为． 所以． 即是的倍数． （3） 数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为． 由（2）可知，． 设当时，取得最小值，其中． 记每行中的个数为，则必有． 否则，若存在使得，则令，有 ，与为最小值矛盾． 在中，① 若等于的个数不超过， 则． ②若等于的个数大于，则必存在满足，且． 否则，不妨设，则共有个满足，且， 所以中至多有个等于，矛盾． 故存在满足，且． 取，因为，所以． 由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为． 故， 这与为最小值矛盾． 综上，对给定的数阵，总存在，使得． 【解析】 【分析】（1）由变换的由来，可得，由的定义即可求解， （2）由变换的定义以及的定义即可求解， （3）每行中的个数为，由反证法证明，进而由在中考虑等于的个数与的关系，即可分类讨论求解， 【小问1详解】 由题设，． 所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京二中高一（下）段考四 数 学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10 5. 将函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍长度，再向右平移个单位长度，所得到的图像解析式是 A. B. C. D. 6. 在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则 A. B. C. D. 7. 若实数，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 9. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则等于(　　) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 10. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 11. 若 均为单位向量，且，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 12. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将答案填在答题纸上） 13. 已知，，则实数___________． 14. 在​中，，​， 且​的面积为​， 则边长​为_________. 15. 已知函数，方程在内解的个数为________. 16. 已知，均为锐角，，，则______，______. 17. 如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________． 18. 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上单调递减； ③，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为_________________（请写出所有正确命题的序号）. 三、解答题（本题共5小题，共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知，，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 20. 已知函数的周期为. （1）求的值及函数的单调递增区间； （2）若，求的最大值和最小值以及取得最值时相应的值． 21. 在中，分别为角所对的边，已知． （1）求角B的值； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 22. 已知函数，关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 23. 给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为． （1）当时，设，，写出，并求； （2）当时，对给定的数阵，证明：是的倍数； （3）证明：对给定的数阵，总存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $