2025年九年级数学中考二轮复习《圆常考考点分类》解答题专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《圆常考考点分类》解答题专题提升训练（附答案） 一、垂径定理 1．如图，在一个圆形建筑的设计图中， 是过圆心的两条主支撑钢梁，有一根连接边缘的金属杆 ，其垂直于直径 于点 ，连接 点和 点与金属杆相交于点 ． (1)已知金属杆 的长度为 ，，求这个圆形建筑的直径； (2)若满足 ，求 的度数． 2．如图，为的直径，是弧的中点，与分别交于点． (1)求证：； (2)若， ①求的值； ②求的值． 3．如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连． (1)请判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)当时，求与的面积之比． 4．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 5．在学习完“圆”后，赵老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【感知】如图1，内接于，连接．求证：；小王发现，延长，交于点，连接，进而得证．请完成小王的证明过程． 【探究】如图2，内接于，过点作，分别交、于、，过点作，交于，连接．求证：； 【应用】小张突发奇想，如图3，当是钝角三角形时，过点作，分别交延长线、于、，连接．若，，则的直径是多少？请你帮助小张解决这个问题． 二、圆心角与圆周角 6．如图，是的直径，是的切线，点为直线上一点，连接交于点，连接并延长交线段于点． (1)求证：； (2)若的直径为6，，，求的长度． 7．如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 8．如图，点、、、在上，且，是（不是直径）延长线上一点，且，是的中点． (1)探索与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，设是的中点，过点作，连接、，求证：． 9．如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②当时，求的长． 10．如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折．    (1)如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； (3)如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 三、直线与圆的位置关系 11．如图，是的直径，点在上，作，连接交于点，交于点，过点作的切线，交于点，当时， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 12．如图，，是的弦，连接并延长交于点D，且，过点A作交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 13．如图，在中，，以为直径的与线段交于点，过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①判断的形状； ②连接，求的长． 14．已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径交于点，求和的度数； (2)如图②，若，垂足为与相交于点的半径为6，求线段的值． 15．在中，，是的外接圆，D为直径延长线上一点．， E是上一动点，点E均不与点 A，B，C重合． (1)如图1， 连接交直径于点 F， 若，求证：是的切线； (2)若的半径为5，当的值最小时，求的值； (3)在(1)的条件下，用一个等式表示线段的关系，并证明． 四、弧长及扇形面积 16．如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．若，． (1)求证：是的切线； (2)在（）的条件下，若． 求的长； 求图中阴影部分的面积． 17．如图，是半圆O的直径，点E是半圆O上一动点（不与A，B重合），过点O作，交半圆O于点C，垂足为G，过点C作交于点F，垂足为D． (1)写出图中一对全等三角形　　　　（用“”连接），图中直角三角形的个数有　　　　个； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 18．如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过A，E的分别交，于点D，F，连接交于点M．    (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径； (3)若，的半径为2，求阴影部分面积． 19．如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 20．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 五、圆综合 21．已知的半径为是其内接三角形，． (1)如图1，求； (2)如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 22．如图，以的边为直径的恰为的外接圆，平分交于点，过点作，交的延长线于点，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)如图，若，，求的长． (3)如图，在（2）的条件下，点是上一点，且的内心在边上，求的长． 23．如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 24．已知优弧所在圆的直径为，圆心为O，，C为上一点，，相交于点E，为的切线，与的延长线交于点F． (1)求的度数； (2)随着点C位置的不同，点F的位置也不同． ①如图1，当点C为的中点时，求证：； ②如图2，当时，判断与的位置关系，并说明理由． (3)已知的直径为8，请直接写出的最小值． 25．中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 参考答案 1．（1）解：设 的直径为 ，则：， ，为直径， ， 又 ， ∴， 由勾股定理，得：， ， 解得 ， 的直径为 ． （2）解： ∵， ∴， ， ， ， ， ． 2．（1）证明：∵为弧的中点，为的半径， ∴， 即， 又∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（1）解：是等腰直角三角形． 理由：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：过O作于G，于P， 则，，， ∴四边形是矩形， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即平分； （3）解：∵， ∴设，， 由（2）中四边形是正方形可得， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．（1）证明：点F为弦的中点， ， 是的垂直平分线， （2）① 证明：点F为弦的中点， ， ， 又是的直径， ， ， ， ， 由得， 是等腰三角形， 点F为的中点， 平分， ， ②解：连接，则，如图所示， ， ， 由①得， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， 整理得， 解得，不符合题意，舍去， 的半径为 5．解：感知：证明：延长，交于点，连接， 因为为的直径， 所以 所以 因为， 所以； 探究：连接并延长交圆于点，连接，如图， 因为， 所以， 因为为的直径 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 由感知知：， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 应用：连接并延长交圆于点，连接、、， 则，， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 作，则，， ∴， ∴圆的直径为 6．（1）证明：是的切线，点为切点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 可得（负值舍去）． 7．（1）解：如图，连接， ， ，． 又， ， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 又， ， ， ． （3）解：由（2）得 ，, . ，， ， ． ， ， ， ． 8．（1）解：，理由： 连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（）知，， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．（1）证明：∵弦直径， ∴平分， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（1）解：是等腰三角形． 理由如下：，且弧与弧是等圆中的弧， ， ∴是等腰三角形． （2）解：作出点O关于的对称点M，则与是等圆， 连接，设与交点为N， 由翻折后的弧与相切，且切点E在直径上， 则，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）解：过点作垂足为，过点作垂足为，连接，，    ∵，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴正方形， ， ∴， ∴， ∴． 11．（1）证明：连接， ∵与相切于点E， ∴，即， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴， 在中，， ∴的半径为． 12．（1）证明：连接， ∵交于点E， ∴， ∴是的直径， ∵于点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵与相切于点E，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 则， ∴， ∴，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 13．（1）证明：连接，如图1， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解∶①∵ ∴ 如图1，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ②如图2，连接， 设， 在中， ，，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∵， ∴， ∵是直径， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 14．（1）解：为的弦， ， ∴， ，， ； 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ； （2）解：如图，连接． ∵， ∴， ∵ 直线与相切于点 ， ∴， ∵， ∴， ，得， 在中，， ∴， ， 在中，，， ， ∴， 在中，， ， ∴． 15．（1）证明：如图：连接，则， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图：连接与圆交于点，由两点之间线段最短可知，当点重合时，的值最小，连接，过作于G，则， ∴， ∴， ∵的半径为5，， ∴， ∴， 设，则 ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得：或5（不符合题意舍弃） ∴； ∴当的值最小时，的值为． （3）解：，证明如下： 如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切； （2）解：在中，， ∴，， 又∵， ∴， ∴的长为； 如图所示，作于， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴； 图中直角三角形有，，，，共4个． （2）证明：根据解析（1）可知：， ∴； （3）解：在中，， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴，． 在中，， ∴ ． 18．（1）证明：连接，   平分交于点， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：由（1）知，是的切线， ∴ ∴ 设， ， ， 解得， ， 即圆的半径为3． （3）解：如图，连接，    ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）知，是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 19．（1）证明：如图1，连接，则有．    在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．    当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． （3）解：如图3，连接，设，则，    ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 20．（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 21．（1）解：在图①中，连接并延长交于点，连接， 是直径， ． 由题， 是所对的圆周角， ， （2）①证明：连接并延长交于点，连接， 在中，， ， ∴， 同理可证，， ∴， 则， ， 即． ②当点与点重合时，如下图，此时为直径， 于点． 由， 可得． 当点与点不重合时， 如下图，作，截取，连接． ， ， ． 由① ， 又， ， 又， ， 又 ， ． 设，则，，，． ， ∴， 由（1）知， 设，则，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ． 综上所述，或． 22．（1）证明：连接交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的切线． （2）解：由（1）得，， 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 设半径为，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 的长为． （3）解：连接交于点，在上截取，连接、， 由（2）得，，，，，， ，，， ， ； 的内心为， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， ， 由（1）得，， ， 平分，即， 又，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， 的长为． 23．（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2），， ， ， ， ， ，， ， ； （3）由（2）可知，，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 24．（1）解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）证明：①连接和，如图所示： ∵为直径， ， 由（1）知是等边三角形，即， 为直径，点为的中点， ， ∵， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②：， 理由如下： 连接并延长，交于点，如图所示： ∵为的切线， ∴， ∵，是直径， ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据点到直线距离最短，当时，最短， ∵为的切线， ∴， ∵的直径为8， ∴， 由（1）知，是等边三角形，即，， 则， 那么，． 25．（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴， 在中，，即，解得； ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的长为． （2）解：如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、， ∵， ∴的半径为， 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， 在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $$