1.3乘法公式解答与探究（第3课时）期中复习专练2024-2025学年北师大版数学七年级下册

1.3 乘法公式解答与探究(第3课时) 期中复习专练 一、解答题 1．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求的值； （2）若，，，求的值； （3）若运算的结果为810，则t的值是多少？ 2． 请根据本节的数据计算出太阳的体积大约是多少(π取3.14)。 太阳的半径约为地球的102倍，它的体积约为地球的(102)3倍，地球的半径约为6×103km，球的体积公式是， 其中 V是球的体积，r是球的半径。 3．小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）用含，的整式表示盒子的外表面积； （2）若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 4．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形(阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含，的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当，时，求文化广场的面积． 5．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为3a厘米，2a厘米和20厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面(厚度忽略不计)。 （1）你能用含a的代数式表示这三块木板的面积吗? （2）如果购买一块长12a厘米，宽120厘米的长方形木板做这个箱子，那么只需用去这块木板的几分之几?如果a=15呢? 6．如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片． （1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积． （2）求出当，时的阴影面积． 7．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 （1） 请表示图1中阴影部分的面积。 （2） 小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，如何表示这个长方形的面积? 8．通常， 用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式。如图， 将一个边长为 的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件， 用两种方法表示该图形的总面积， 可得如下公式：　 　； （2） 如果图 中的 满足 15 ， 求 的值. 9．完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值． 解：因为 所以，即：，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 10．为二阶行列式，它的运算法则为：.例如：. （1）计算：； （2）若求a的值. 11．点点同学在复习《整式的除法》时发现自己的课堂笔记中有一部分被钢笔水弄污了．具体情况如下： ▲ +4，被除式的第二项被钢笔水弄污成，商的第一项也被钢笔水弄污成 ▲ ，请你求出这两处被弄污了的内容 ▲ . 12．如图 1 ， 将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形， 制成如图 2 的无盖纸盒， 若纸盒的容积为 ， 则图 2 中纸盒底部长方形的周长为　 　 13．小明做一道多项式 除以 的作业时， 由于粗心， 误以为乘 ， 结果得到 ． 请你求出这个多项式 和正确的结果． 14．某商场销售一种电视机， 1 月份每台的毛利润是售价的 月份该商场在进价不变的情况下将每台电视机售价降低 ， 结果销售台数比 1 月份增加了 ． 问： 2 月份的毛利润总额与 1 月份相比是增加还是减少？ 增加或减少百分之几？ 15． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。 解：令① 将等式两边同时乘5，得 ② ②①，得，． 问题： （1）求的值； （2）求的值． 16．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形. （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：， ，之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值. ②已知，求. 17． 乘法公式给出了与的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题． （1）若，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，点分别在正方形的边上，且，以为一边作正方形，以的长为边长过点作正方形，若长方形的面积是，求阴影部分的面积． 18．如图（1），有型，型正方形卡片和型长方形卡片各若干张． （1）有1张型卡片，1张型卡片，2张型卡片拼成一个正方形，如图（2），用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式 ； （2）选取1张型卡片，8张型卡片， 张型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含，的代数式表示为 ； （3）如图（3），两个正方形边长分别为，，已知，，求阴影部分的面积． 二、实践探究题 19．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ， ； （2）若，，，试探究a，b，c之间存在的数量关系； （3）若，求t的值． 20．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… （1）【归纳】由此可得：　 　； （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：　 　； （3）计算： （4）若，求的值． 21．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法： 解：， 是非负数 当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最小值； （3）若，求的最大值． 22．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“完美数” 【问题解决】 （1）下列各数中，“完美数”有___________．（填序号） ①10 ②45 ③28 ④29 （2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（m，为常数），则的值为_________； 【问题探究】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【问题拓展】 （4）已知实数x，y满足，求的最小值． 三、阅读理解题 23．阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如： 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如： 余式为0 能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）多项式除以多项式，所得的商式为　 　； （2）已知关于x的二次多项式除以，商式是，余式是-1，求这个多项式； （3）已知能被整除，则　 　； （4）如图，有2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 24．阅读材料： 若x满足，求 的值． 设 ， 则，， 所以 ． 请仿照上面的方法解答下列问题： （1）若x满足 则 ． （2）若x满足，求 的值． 25．阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式：，，，… 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为①，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②． 任务一：补全上面小丽的解答过程：① ；② ． 任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关．探索过程如下： ； ； ； … （1）请直接写出： ； （2）请用代数式表示小丽发现的这一规律： 任务三：观察：，，，……的计算结果，类比任务二，用代数式表示你发现的规律： 答案解析部分 1．【答案】（1） （2） （3） 【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算 2．【答案】解：根据题意可得： =×3.14×（6×103×102）3 =×3.14×63×109×106 =×3.14×216×1015 =904.32×1015 =9.0432×1017（km3） 答：太阳的体积大约是9.0432×1017km3. 【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算 【解析】【分析】利用球的体积公式，将数据代入并利用同底数幂的乘法的计算方法和科学记数法的表示方法分析求解即可. 3．【答案】（1）（平方分米） （2）360元 【知识点】单项式乘多项式 4．【答案】（1） （2）平方米 【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值 5．【答案】（1）解：甲木板的面积是（厘米）； 乙木板的面积是（厘米）； 丙木板的面积是（厘米）. （2）解：因为长方形木板的面积是（厘米），长方体木箱的表面积是（厘米）， ， 所以只需用去这块木板的. 当时，. 【知识点】单项式乘多项式；多项式除以单项式；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】（1）结合长方形面积公式“面积=长×宽”，根据题意代入计算即可； （2）分别计算长方体木箱的表面积、长方形木板的面积，用前者除以后者，并代入a值计算即可. 6．【答案】（1）解：由题意，得 ； （2）解：当，时， ． 【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】（1）根据 阴影部分图形，结合大长方形的面积减去小长方形的面积，列出代数式，化简计算，即可求解；（2）将，代入（1）中的代数式，进行运算，即可得到答案. 7．【答案】（1）解：根据题意可得：S阴影=a2-b2. （2）解：根据题意可得：长方形的长为（a+b），宽为（a-b）， ∴S长方形=（a+b）（a-b）=a2-b2. 【知识点】平方差公式及应用 【解析】【分析】（1）利用正方形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可； （2）先求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式及平方差公式计算即可. 8．【答案】（1） （2）解： . 【知识点】完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为：；四个部分的面积和：， ∴ 故答案为：. 【分析】（1）分别表示出大正方形的面积，四个部分的面积和，可得答案； （2）由（1）得，代数求解即可. 9．【答案】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：设， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：阴影部分的面积为． 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式恒等变形得出，整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式式恒等变形得出=，再整体代入求值即可； （3）设， ，可得，，根据完全平方公式恒等变形得出，再整体代入求出即可，最后根据直角三角形的面积计算公式可算出答案. 10．【答案】（1）解： . （2）解： . 因为， 所以， 解得. 【知识点】平方差公式及应用 【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则可得20232-2024×2022，再把2024×2022变形为（2023+1）×（2023-1），用平方差公式计算即可； （2）根据新定义的运算法则列方程，解方程求解即可. 11．【答案】解：解：+4， 【知识点】多项式除以单项式 【解析】【分析】利用多项式除以单项式的法则，多项式除以单项式的法则的逆用，直接得结果。 12．【答案】​​​​​​​ 【知识点】单项式除以单项式；用代数式表示几何图形的数量关系 【解析】【解答】解：设底部长方形的宽为x 由题意可得：，解得： ∴底部长方形的周长为： 故答案为： 【分析】设底部长方形的宽为x，根据纸盒容积可得，再根据长方形周长即可求出答案. 13．【答案】解： ∴正确的结果是： 【知识点】多项式除以单项式 14．【答案】解：设1月份的售出价为x元，销售量为y， ∴进价为x×（1-20%）=0.8x， ∴1月份毛利润总额为：20%×x×y=0.2xy， 2月份的售价为x（1-10%）=0.9x， ∴每台毛利润为0.9x-0.8x=0.1x， 2月份的销售量为：y×（1+120%）=2.2y， ∴2月份毛利润总额为：0.1x×2.2y=0.22xy， ∵0.22xy>0.2xy， ∴ 2月份毛利润总额比1月份毛利润总额增加，增加的总额为0.22xy-0.2xy=0.02xy， ∴增加的百分率为：， 答：2月份毛利润总额比1月份毛利润总额增加，增加的百分率为10%. 【知识点】多项式除以单项式 【解析】【分析】设1月份的售出价为x元，销售量为y，先分别求出1月份毛利润总额为：20%×x×y=0.2xy，2月份毛利润总额为：0.1x×2.2y=0.22xy，再求解即可. 15．【答案】（1）解：令① 将等式两边同时乘2得 ② ②①得 （2）解：令4T=， 则T=，① 将等式两边同时乘3得 则3T=，② 由②-①得， 2T=， 则=4T=. 【知识点】同底数幂的乘法 【解析】【分析】(1)类比参考材料解题思路，通过构造新的数，使得与原数相减消除中间项； (2)此处需注意为形成材料中的结构需先对每一项提因数4，后同材料处理方式形成错位相减即可计算出结果； 16．【答案】（1）， （2） （3）1，3，2 （4）①，；② 【知识点】多项式乘多项式 17．【答案】（1）解：∵ ∴， ∴ab=3. （2）解：由(7-m)+(m+3)=10， 由(1)同理可知，. 即. （3）解：四边形和为正方形 ， ， ， ， 又 ， 又， 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的关系可避开解a，b，快速进行整体关系的转换求值； （2）将式子结构变得复杂，但从整体上看，方法同(1)，隐藏了两数和为定值，同样可利用完全平方公式一步转换得出结果； （3）首先先将问题阴影面积转换成两规则正方形面积差，即利用平方差公式转换为正方形边长的和与差的乘积，其次根据条件等量代换推出其为前者所述正方形边长之差，最后根据长方形AEFG面积得出为正方形边长之积，从而将问题转化为同(1)(2)，即利用整体转换即可. 18．【答案】（1） （2）16； （3）解：阴影部分的面积： ，， ． 阴影部分的面积是146 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】（1）解： 大正方形的面积为，四部分的面积求和表示为：， 故答案为：； （2）解：1张型卡片，8张型卡片面积和为： 将配凑成完全平方公式： ， 故需要16张B型卡片，正方形的边长为：， 故答案为：16；； 【分析】（1）根据大正方形面积的两种计算方法列等式； （2）根据完全平方公式解答即可； （3）利用阴影部分面积大正方形面积空白部分面积解题即可． （1）解： 大正方形的面积为，四部分的面积求和表示为：， （2）解：1张型卡片，8张型卡片面积和为： 将配凑成完全平方公式： ， 故需要16张B型卡片，正方形的边长为：， （3）解：阴影部分的面积： ，， ． 阴影部分的面积是146． 19．【答案】（1），； （2）； （3）． 【知识点】同底数幂的乘法 20．【答案】（1） （2） （3）解： ； （4）解：∵，∴， ∵，∴，， ∴． 【知识点】多项式乘多项式 【解析】【分析】（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案； （2）利用（2）中变化规律进而得出答案； （3）将转化为，再利用（2）中变化规律进而得出答案； （4）利用（2）中变化规律得出x的值，即可求解． 21．【答案】（1）2 （2） （3）5 【知识点】完全平方公式及运用 22．【答案】(1) ①②④ (2) 12 (3) (4) 1 【知识点】完全平方公式及运用 23．【答案】（1）x+3 （2）解：关于x的二次多项式除以，商式是，余式是， 该二次多项式为：， 即多项式为：； （3）3 （4）解：能， 根据题意，A卡片的面积是，B卡片的面积是，C卡片的面积是， 2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为0， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 【知识点】整式的除法 【解析】【解答】解：（1）列竖式如下 ∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商为x+3. 故答案为：x+3. （3）列竖式如下： ∵x3+2x2-ax-10能被x-2整除， ∴2(8-a)-10=0， 解得a=3. 故答案为：3. 【分析】（1）直接利用多项式除以多项式的竖式计算进行计算； （2）由题意可得：该多项式为(x+1)(2x-2)+(-1)，然后根据多项式与多项式的乘法法则进行化简； （3）列出竖式，根据x3+2x2-ax-10能被x-2整除可得2(8-a)-10=0，求解可得a的值； （4）根据题意可得：A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2，故2张A卡片，3张B卡片，1张C卡片的总面积为2a2+3ab+b2，列出竖式，根据余式为0可得2a2+3ab+b2能被a+b整除，商式为2a+b，据此可得矩形的长与宽. 24．【答案】（1） （2） 【知识点】完全平方公式及运用 25．【答案】任务一：①；②25；任务二：（1）；（2）；任务三： 【知识点】多项式乘多项式 学科网（北京）股份有限公司 $$