10.3 乘法公式 课件 2024--2025学年青岛版七年级数学下册

10.3乘法公式 1 教学目标 ①会推导平方差公式和完全平方公式，了解公式的几何背景，会说出公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算和推理。 ②经历平方差公式和完全平方公式的推导与应用过程，体会“特殊—一般—特殊”的研究思路。 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｔｗｏ 2 观察与发现 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 某中学计划对一个边长为x m的正方形花坛进 行改造。如果改造成长为(x+2)m、宽为(x-2)m的长方形花坛,改造前后花坛的面积相等吗? 改造前：x2 改造后： （x+2）（x-2） =x(x-2)+2(x-2) =x2-4 3 思考与交流 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ (1)计算下列算式: (m+3)(m-3)= m(m-3)+3(m-3) =m2-3m+3m-9 =m2-9 (2x+1)(2x-1)= 2x(2x-1)+(2x-1) =4x2-2x+2x-1 =4x2-1 4 思考与交流 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ (2)观察上面的算式及其运算结果,你有什么发现? (x+2)(x-2)=x2-4 (m+3)(m-3)=m2-9 (2x+1)(2x-1)=4x2-1 x2-22 m2-32 (2x)2-12 5 思考与交流 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 若a,b是有理数,利用多项式的乘法计算: (a+b)(a-b) = a2+ab-ab-b2 =a2+b2 = a(a+b)+b(a-b) 由上述计算发现,两个数的和与这两个数的差的积,可以直接写成这两个数平方的差。 6 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2。 即 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。 7 例1 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用平方差公式计算: (1)(2x+5)(2x-5) (2)(7m-2n)(7m+2n) (3) (3x-1/4) (-3x-1/4) 。 =(2x)2-52 =(7m)2-(2n)2 =(-1/4+3x) (-1/4-3x) =(-1/4)2-(3x)2 解： =4x2-25 =49m2-4n2 =1/16-9x2 8 例2 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用平方差公式计算103×97。 103×97 =（100+3）×（100-3） 解： =1002-32 =9991 9 练习1 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 1.利用平方差公式计算: 解： （1）(x+6)(x-6)= （2）(-1+x)(-1-x)= x2-62 =x2-36 (-1)2-x2 =1-x2 10 练习1 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 1.利用平方差公式计算: 解： （3）(a-2b)(2b+a) （4）（2x/3-4）（ -4-2x/3） =(a-2b)(a+2b) =a2-(2b)2 =(-4+2x/3)(-4-2x/3) =(-4)2-(2x/3)2 =a2-4b2 =16-4x2/9 11 练习2 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 2. 利用平方差公式计算202×198。 解： 202×198 =（200+2)×（200-2） =2002-22 =39996 12 观察与发现 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 如图,某中学计划将一个边长为x m的正方形花坛每条边的长度都增加2m,新花坛的面积是多少? 如果都减少1m呢? 新花坛的边长:(x+2) 新花坛面积：（x+2）2 减少1m面积： （x-1）2 13 思考与交流 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 如何计算 （x+2）2和（x-1）2呢? (x+2)2 =（x+2）（x+2） =x(x+2)+2(x+2) =x2+2x+2x+4 =x2+4x+4 (x-1)2 =（x-1）（x-1） =x（x-1）+(-1)（x-1） =x2-x-x+1 =x2-2x+1 14 思考与交流 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ (1)计算下列算式: (x+5)2 (2y-1)2 =(x+5)(x+5) =x(x+5)+5(x+5) =x2+5x+5x+25 =(2y-1)(2y-1) =2y(2y-1)+(-1)(2y-1) =4y2-2y-2y+1 =x2+10x+25 =4y2-4y+1 15 思考与交流 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ (2)观察上面的算式及其运算结果,你有什么发现? x2+2×2x+22 (x+2)2 =x2+4x+4 (x-1)2 =x2-2x+1 (x+5)2 =x2+10x+25 (2y-1)2 =4y2-4y+1 x2+2×（-1）x+（-1）2 x2+2×5x+52 （2y）2+2×（-1）×2y+（-1）2 16 思考与交流 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ (2)若a,b是有理数,利用多项式的乘法计算: (a-b)2 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a(a+b)+b(a+b) =a2+ab+ab+b2 =(a-b)(a-b) =a2+2ab+b2 =a(a-b)+(-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 17 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2。 即 两个数的和(差)的平方,等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2倍。 18 例3 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用完全平方公式计算: (1)(x+3)2 (2)(2m-3n)2 (3) (-1/2x-2/3y) 2 =x2+2·x·3+32 =(2m)2-2×2m·3n+(3n)2 =4m2-12mn+9n2 =(-1/2x)2-2×（-1/2x）·2/3y+（2/3y）2 解： =x2+6x+32 =1/4x2+2/3xy+4/9y2 19 例4 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用完全平方公式计算1012。 (100+1)2 =1002+2×100×1+12 =10000+200+1 解： =10201 20 练习1 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 1.利用完全平方公式计算: （1）(x+6)2 （2）(2x-1)2 =x2+2·x·6+62 =(2x)2-2·2x·1+12 =4x2-4x+1 =x2+12x+36 解： 解： 21 练习1 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 1.利用完全平方公式计算: （3）(3a-2b)2 =（3a）2-2·3a·2b+（2b）2 =9a2-12ab+4b2 解： 22 练习1 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 1.利用完全平方公式计算: （4）(-3/4x-2/3y)2 =（-3/4x）2-2·(-3/4x)·2/3y+（2/3y）2 =9/16x2+xy+4/9y2 解： 23 练习2 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 2.利用完全平方公式计算: 解： （1）100.12 =（100+0.1）2 =1002+2×100×0.1+0.12 =10000+20+0.01 =10020.01 24 练习2 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 2.利用完全平方公式计算: 解： （2）982 =（100-2）2 =10000-400+4 =1002-2×100×2+22 =9604 25 例5 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用乘法公式计算: (1)(x-4)(x+4)-(x-8)(x+2) =x2-42-[x(x+2)+(-8)(x+2)] =x2-42-(x2-6x-16) 解： =x2-16-x2+6x+16 =6x 26 例5 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用乘法公式计算: (2)4(3-x)2+(1-2x)(2x+1) =4(32-2×3·x+x2)+(1-2x)(1+2x) =4(9-6x+x2)+12-(2x)2 解： =36-24x+4x2+1-4x2 =-24x+37 27 例6 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用乘法公式计算： (1)(a+b-1)2 =[(a+b)-1]2 =(a+b)2-2·(a+b)·1+12 解： =a2+2ab+b2-2a-2b+1 28 例6 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用乘法公式计算： (2)(2x+y-5)(2x+y+5) =[(2x+y)-5][(2x+y)+5] =(2x+y)2-52 解： =(2x)2+2·2x·y+y2-25 =4x2+4xy+y2-25 29 练习 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用乘法公式计算: (1)x(x-1)-(x-1/3)(x+1/3) =x2-x-x2+1/9 解： =x2-x-[x2-(1/3)2] =-x+1/9 30 练习 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用乘法公式计算: (2)(x+5)2-(x-2)(x-3) =x2+10x+25-(x2-3x-2x+6) 解： =x2+2·x·5+52-[x(x-3)+(-2)(x-3)] =x2+10x+25-x2+3x+2x-6 =15x+19 31 练习 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用乘法公式计算: (3)(x+2y+1)(x+2y-1) =(x+2y)2-12 解： =[(x+2y)+1][(x+2y)-1] =x2+2·x·2y+(2y)2-1 =x2+4xy+4y2-1 32 练习 Ｔｈｅ　Ｐａｒｔ　Ｏｎｅ 利用乘法公式计算: (4)(a-b+c)2 =(a-b)2+2·(a-b)·c+c2 解： =[(a-b)+c]2 =a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2 33 感谢聆听 34 $$