精品解析：贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县第五中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

平塘县2024—2025学年第一次月考八年级 数学 说明： 1．考试范围：第十六章~第十七章． 2．考试时间120分钟，满分150分． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，化简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 若有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：． 3. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 32，42，52 C. 3，4，5 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】解：A、能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误； B、 不能构成勾股数，故选项错误； C、 能构成勾股数，故选项正确； D、 又不是整数，不能构成勾股数，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数，勾股定理的逆定理，掌握理解勾股数的含义是解题的关键． 4. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 三边长为3、4、5的三角形为直角三角形 C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的概念，判断命题真假，熟练掌握相关知识点是解题关键．先分别写出逆命题，再根据不等式的性质，勾股定理，角平分线的性质，绝对值的意义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，，则的逆命题是“若，则，” ，则，或，， 逆命题是假命题，不符合题意； B、三边长为3、4、5的三角形为直角三角形的逆命题是“直角三角形的三边长为3、4、5”， 直角三角形的三边长还可以为6、8、10或5、12、13或……， 逆命题是假命题，不符合题意； C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是“角的平分线上的点到角的两边距离相等”，是真命题，符合题意； D、若，则的逆命题是“若，则”， ，则， 逆命题是假命题，不符合题意； 故选：C 6. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两圆孔中心B和C的距离为（ ）． A. 120 B. 135 C. D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图可知：∠CAB=90°，() () 在Rt△ABC中，由勾股定理：() 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键． 7. 若式子有意义，则点在（　　） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件以及点所在象限，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解决本题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件可得，，由此可分别求得a、b的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴a、b同号， 又∵， ∴， ∴，， ∴点在第三象限， 故选：B． 8. 如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A. 1.5米 B. 1.7米 C. 1.8米 D. 0.6米 【答案】A 【解析】 【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m， 在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2， 解得x=1.5． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（　　） A. 8 B. 16 C. 25 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出的值即可． 【详解】解：根据勾股定理得：，且 ∵， ∴小正方形的面积， 故选：D． 10. 在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加， 就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用算术平方根算出正方形的边长，进而求出原长方形的长和宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为（cm）， ∴原长方形的长为：（cm），宽为：（cm）， ∴原长方形的面积为：（cm2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根，二次根式的计算，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 11. 如图，在的网格中，有一个格点，若每个小正方形的边长为1，则的边上的高为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理与网格问题是解题的关键． 由勾股定理可得，由图可知边上的高，再结合边上的高，可得边上的高，于是得解． 【详解】解：由勾股定理可得： ， 由图可知： 边上的高， 又边上的高， 边上的高， 故选：． 12. 如图，已知，以，为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，连接，若，，，的值为（ ） A. 82 B. 81 C. 41 D. 62 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据证明求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可； 【详解】连接， ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法，直接化简二次根式，进而合并得出答案． 【详解】解： 故答案为： ． 14. 如图，25、169分别表示两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积． 故答案为：． 15. 一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出算式计算即可． 【详解】解：由题意可得： = = 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是利用长方形的面积公式列式计算． 16. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理的应用，利用勾股定理求得的长是解题的关键．由勾股定理求得的长，然后根据可求得点A表示的数． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴点表示的数是． 故答案为：． 三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算： ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先算括号，再算乘除即可； （2）先算括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是，，，三点均在格点上（每个小正方形的顶点叫作格点），依次连接点，，得到，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 是等腰直角三角形． 理由：因为，，， 所以，， 所以为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，由网格求出，，，然后利用勾股定理的逆定理即可求解，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上的一点，且BD=12cm，CD=16cm． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）求△ABC的周长． 【答案】 （1）证明：在中，， ，． ， ， 是直角三角形； （2）cm． 【解析】 【分析】（1）求出，再根据勾股定理的逆定理得出即可； （2）设，则，根据勾股定理求出 ，求出，再求出周长即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， 的周长是． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键． 20. 如图，这是单位长度为1的的正方形网格，请用无刻度的直尺在下列两个正方形网格中选择三个格点，依次连接使之构成直角三角形．要求所画的三角形三边的长度都是无理数，两个图形不重复． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺画图，勾股定理逆定理，无理数定义等．根据题意利用网格长度及勾股定理逆定理，求出符合题意的边长，再用无刻度直尺连接即可． 【详解】解：当边长为格对角线时，即，另外两条边为格对角线，边长为，， 当， 21. 某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）米 （2）336元 【解析】 【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的运算法则计算可得； （2）先用长方形ABCD的面积减去2个花坛的面积，求出通道的面积，再计算花费． 【小问1详解】 解：矩形的长为米，宽为米， ∴矩形的周长为（米）． 答：矩形的周长为米． 【小问2详解】 解：通道的面积为（平方米）， 则购买地砖需要花费（元）． 答：购买地砖需要花费336元． 【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握平方差公式、二次根式运算法则是解题的关键． 22. 对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 （1）根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． （2）请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 【答案】（1）16；63；65 （2）第n组勾股数为：，，； 证明： ， ， ∴， ∴，，是勾股数． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的判断，数字规律探索，解题的关键是根据给出的数据得出一般规律． （1）根据给出的数据，得出一般规律，求出第7组勾股数即可； （2）根据一般规律写出第组，根据勾股数定义和整式混合运算法则进行证明即可． 【小问1详解】 解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 即第7组勾股数为16；63；65； 【小问2详解】 解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 第n组，，，． 23. 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道，因此将分式的分子、分母同时乘“”分母就变成了1，例如． （1）计算：； （2）若为正整数，，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可； （2）先利用分母有理化得到，，进而可得，，然后利用完全平方公式将变形为，进而可得，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 或， 而， 的值为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则及乘法公式是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足，求此时的值； （2）若点恰好在的平分线上，求此时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质及角平分线性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）在中，用勾股定理计算出，用表示出，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）过作于点，由角平分线性质可得，再证明，利用全等的性质及线段之间的关系求出，用表示出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， 在中，， 由题意得，， ， ， 在中，，即， 解得：． 【小问2详解】 解：作的平分线，过作于点，如图所示， 平分，，， ， 在和中，， ， ， ， 由题意得，则， 在中，，即， 解得：． 25. 如图，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系,并证明； （3）在（2）的条件下，若BD=6，CF=8，求AD的长. 【答案】 （1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°． 又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，∴∠1=∠2．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE． （2）BD2+FC2=DF2．理由如下： 连接FE． ∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠3=45°． 由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠4=∠B=45°，BD=CE，∴∠ECF=∠3+∠4=90°，∴CE2+CF2=EF2，∴BD2+FC2=EF2． ∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF．在△DAF和△EAF中，∵，∴△DAF≌△EAF，∴DF=EF，∴BD2+FC2=DF2． （3）6 【解析】 【分析】（1）根据SAS，只要证明∠1=∠2即可解决问题； （2）结论：BD2+FC2=DF2．连接FE，想办法证明∠ECF=90°，EF=DF，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点A作AG⊥BC于G．在Rt△ADG中，想办法求出AG、DG即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作AG⊥BC于G，由（2）知DF2=BD2+FC2=62+82=100，∴DF=10，∴BC=BD+DF+FC=6+10+8=24． ∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=AG=BC=12，∴DG=BG﹣BD=12﹣6=6，∴在Rt△ADG中，AD===6． 【点睛】本题是三角形综合题．考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平塘县2024—2025学年第一次月考八年级 数学 说明： 1．考试范围：第十六章~第十七章． 2．考试时间120分钟，满分150分． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 3. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 32，42，52 C. 3，4，5 D. ，， 4. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 三边长为3、4、5的三角形为直角三角形 C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 若，则 6. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两圆孔中心B和C的距离为（ ）． A. 120 B. 135 C. D. 150 7. 若式子有意义，则点在（　　） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 8. 如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A. 1.5米 B. 1.7米 C. 1.8米 D. 0.6米 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（　　） A. 8 B. 16 C. 25 D. 27 10. 在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加， 就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在的网格中，有一个格点，若每个小正方形的边长为1，则的边上的高为（　　） A. B. C. D. 1 12. 如图，已知，以，为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，连接，若，，，的值为（ ） A. 82 B. 81 C. 41 D. 62 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算的结果是________． 14. 如图，25、169分别表示两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积是____________． 15. 一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边为_________． 16. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为___． 三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算： ． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是，，，三点均在格点上（每个小正方形的顶点叫作格点），依次连接点，，得到，试判断的形状，并说明理由． 19. 如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上的一点，且BD=12cm，CD=16cm． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）求△ABC的周长． 20. 如图，这是单位长度为1的的正方形网格，请用无刻度的直尺在下列两个正方形网格中选择三个格点，依次连接使之构成直角三角形．要求所画的三角形三边的长度都是无理数，两个图形不重复． 21. 某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 22. 对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 （1）根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． （2）请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 23. 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道，因此将分式的分子、分母同时乘“”分母就变成了1，例如． （1）计算：； （2）若为正整数，，，且，求的值． 24. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足，求此时的值； （2）若点恰好在的平分线上，求此时的值． 25. 如图，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系,并证明； （3）在（2）的条件下，若BD=6，CF=8，求AD的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $