专题03 概率初步单元过关【培优版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题03 概率初步单元过关（培优版） 考试范围：第3章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列说法不正确的是（   ） A．“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的定义，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件，随机事件，不可能事件的定义进行判断． 【详解】解：A、“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于必然事件，故本选项符合题意； B、“名同学至少有两名同学的出生月份是相同的”属于必然事件，故本选项不符合题意； C、“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件，故本选项不符合题意； D、“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 【答案】C 【知识点】由频率估计概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率；分别计算出每个事件的概率，其值在的即符合题意； 【详解】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意； 故选：C． 3．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率，求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可，熟练掌握几何概率的求法是解此题的关键． 【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故选：A． 4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7左右，则布袋中白球可能有（    ） A．35个 B．30个 C．20个 D．15个 【答案】A 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.7，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意：（个）， 故选：A． 5．南阳古称宛，自古山清水秀，人杰地灵，有“南都帝乡”之称．在历史上，南阳孕育了无数的文化名人，其中科圣张衡、医圣张仲景、商圣范蠡、智圣诸葛亮被称为南阳“四圣”，为人类进步做出了巨大的贡献，现有张印有“四圣”图案的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“科圣张衡”和“商圣范蠡”的概率是（   ）        A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了画树状图以及概率公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． 将“科圣张衡”、“医圣张仲景”、“商圣范蠡”、“智圣诸葛亮”分别用字母、、、表示，画出树状图，共有种等可能的结果，抽到的两张卡片正面图案恰好是“科圣张衡”和“商圣范蠡”的结果有种，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：将“科圣张衡”、“医圣张仲景”、“商圣范蠡”、“智圣诸葛亮”分别用字母、、、表示，画树状图如图： 共有种等可能的结果，抽到的两张卡片正面图案恰好是“科圣张衡”和“商圣范蠡”的结果有种， 所以抽到的两张卡片正面图案恰好是“科圣张衡”和“商圣范蠡”的概率为， 故选：A． 6．布袋里有50个除颜色外其他都相同的小球，小颖随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，重复以上操作1000次，发现摸到白球203次，则布袋中白球的个数最有可能是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由共摸了1000次球，发现摸到白球203次，知摸到白球的概率为，设布袋中白球有x个，可得，，解之即可． 【详解】由共摸了1000次球，发现摸到白球203次， ∴摸到白球的概率为， 设布袋中白球有x个， 可得， 解得：， ∴布袋中白球的个数最有可能是10个 故选B． 7．某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】利用树状图列举出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论． 【详解】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘， ∴指针落在每个数字上的可能性是相同的． 依据题意列树状图如下： ∵从图中可以看出共有20种等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种， ∴指针都落在奇数上的概率是：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．列表或用树状图表示出所有的等可能是解题的关键． 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 【答案】D 【知识点】由频率估计概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式等知识点，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即符合题意． 【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意； C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意． 故选：D． 9．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．． 【详解】解：反应的化学方程式为， 与的原子个数比为，与的原子个数比为， 反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【详解】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂灰，再将图中剩余的编号1－5的小正方形中任意一个涂灰，则3个被涂灰的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是 ． 【答案】/0.8 【知识点】根据概率公式计算概率、设计轴对称图案 【分析】考查了概率公式的知识，解题的关键是了解轴对称的定义及概率的求法，难度不大． 根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，其概率为． 故答案为： ． 12．不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中蓝球有 个． 【答案】8 【知识点】解分式方程、由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中蓝球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中蓝球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中蓝球约有8个， 故答案为：8． 13．甲、乙、丙三人在一个完全对称的、有6个座位的桌边入坐，设他们落座的座位分别为、，则是轴对称图形的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】轴对称图形的识别、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了轴对称图形及求概率，求出所有可能的结果数是解题的关键；按顺时针依次记这6个座位分别为1，2，3，4，5，6；任取其中两个座位共有15种取法，每取的两个座位与其它没取的四个座位中任一个，可以构成一个三角形，共有（个）三角形；其中相同的三个顶点的三角形重复计算了3次，最后可求得所有的三角形数；再求出其中是等腰三角形的个数，即可求得概率． 【详解】解：如图，按顺时针依次记这6个座位分别为1，2，3，4，5，6；任取其中两个座位分别为：12，13，14，15，16；23，24，25，26；34，35，36；45，46；56共15种取法，每取的两个座位与其它没取的四个座位中任一个，可以构成一个三角形，共有（个）三角形；而这60个三角形中，相同的三个顶点的三角形重复计算了3次，如座位为123的，有123、231，132三个三角形，它们只能算作一个三角形，则不同的三角形有（个）；而这些三角形中，是等腰三角形的有两种情况：相邻三个座位连成一个等腰三角形，有123，234，345，456，561，共五个等腰三角形；另一种情况是等边三角形：共有两个：为135，246位置，故总共有8个等腰三角形，则是轴对称图形的概率为； 故答案为：． 14．乐乐和聪聪在玩一个正六边形的转盘游戏，如图是一个正六边形转盘，转盘被分成六个面积相等的等边三角形区域，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转）．若两次指针所指数字之和小于8，则乐乐获胜；若两次指针所指数字之和大于或等于8，则聪聪获胜．那么在这次游戏中，聪聪获胜的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】利用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出聪聪获胜的概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有36种等可能出现的结果情况，其中“两次指针所指数字之和大于或等于8”有15种， 所有两次指针所指数字之和大于或等于8的概率为， 即聪聪获胜的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列表法或画树状图求概率，准确地找出所有等可能的结果和“两次指针所指数字之和大于或等于8”的结果是解决本题的关键． 15．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是 有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、数字类规律探索 【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率即可． 【详解】解：∵黑卡在左边， ∴白卡数字可能为或， 又∵白卡排在第一行， ∴第四行最后一张白色卡片上数字只能是， 每行能确定的数字为： 第一行：1  5  6  7  9 第二行：1  2  3  4  5 第三行：0   6  7  9 第四行：0  2   8  8 不能确定的是黑色3和4，共有两种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为． 评卷人 得分 三、解答题 16．红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． (1)九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． (2)若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画树状图或列表，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】（1）解：∵八年级和九年级由年级主任随机从三个红色景点中抽取一个进行研学， ∴九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的结果有4种， ∴至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的概率为． 17．一个不透明的袋子中有个红球和个白球，这些球除颜色外没有区别． (1)从袋中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中摸出一个球．请用列表或画树状图的方法求两次都摸到红球的概率； (2)在袋中再添加个和原来一样的白球，然后从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、解分式方程 【分析】本题考查了列表法、概率公式以及解分式方程，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解答本题的关键是掌握列表法、概率公式以及解分式方程等知识点． （1）列表得出共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可； （2）根据概率公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：列表如下： 红 红 白 红 ﹣ 红，红 红，白 红 红，红 ﹣ 红，白 白 白，红 白，红 ﹣ 根据表格可知，共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种， 两次都摸到红球的概率为； （2）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：的值为． 18．一个不透明的盒子中有7张纸签，分别标有0，1，2，4，5，6，7七个数字，从中任意抽出一张，求： (1)抽到标有数字7的标签的概率； (2)抽到标有数字3的标签的概率； (3)抽到标有的数字大于4的标签的概率； (4)抽到标有的数字不大于4的标签的概率， 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）利用概率公式进行计算即可； （2）利用概率公式进行计算即可； （3）利用概率公式进行计算即可； （4）利用概率公式进行计算即可； 【详解】（1）解：任意抽出一张，共7种等可能的结果，其中抽到标有数字7的结果只有1种， ∴； （2）任意抽出一张，共7种等可能的结果，其中抽到标有数字3的结果只有0种， ∴； （3）任意抽出一张，共7种等可能的结果，其中抽到标有的数字大于4的结果有5，6，7，共3种， ∴； （4）任意抽出一张，共7种等可能的结果，其中抽到标有的数字不大于4的结果有0，1，2，4，共4种， ∴． 19．一只围棋盒子中有a颗黑色棋子和b颗白色棋子，且任意取出1颗棋子是黑色棋子的概率为． (1)试写出b与a的关系式； (2)若再往盒子中放进10颗黑色棋子，则任意取出1颗棋子是黑色棋子的概率为，求a和b的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】列代数式、分式方程的其它实际问题、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，列代数式，分式方程的实际应用等知识点，熟练掌握利用概率公式求概率是解题的关键． （1）根据题意，利用概率公式计算概率，即可直接得出b与a的关系式； （2）根据题意，利用概率公式计算概率，即可建立分式方程组，解方程组即可求出a和b的值． 【详解】（1）解：围棋盒子中有a颗黑色棋子和b颗白色棋子，且任意取出1颗棋子是黑色棋子的概率为， 根据题意可得：， 即：b与a的关系式为； （2）解：再往盒子中放进10颗黑色棋子，任意取出1颗棋子是黑色棋子的概率为， 根据题意可得：， ， 由可得：， 由可得：， 将代入，解得：， ， 经检验，，是原分式方程的解， ，． 20．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了如下不完整的统计图表． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长 人数 20 25 15 10 学生平均每天阅读时长情况扇形统计图 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，统计表中 ； (2)该校某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率． 【答案】(1)100，30 (2) 【知识点】由扇形统计图求总量、列表法或树状图法求概率、频数分布表 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率， （1）将组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以组的百分比即可求出a的值； （2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【详解】（1）解：∵组的人数为25，占比为，且， ∴本次调查共抽取了100名学生； ∵组占比，， ∴， 故答案为：100，30； （2）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下： 一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即A和D有2种可能的情况， ∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）． 21．一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中共有多少个白球； (2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 【答案】(1)12个 (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且． （1）根据概率公式列方程求出球的总个数即可； （2）先求出剩余球的总数量，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：设袋中共有x个红球， 因为袋中共有30个球，从中任意摸出一个球是红球的概率是， 所以解得． 因为（个）， 所以袋中共有12个白球． （2）从袋中取走10个球（其中没有白球），袋中还剩个球，袋中共有12个白球． 则从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率为． 22．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； （2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． 23．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 【答案】； 【知识点】列表法或树状图法求概率、列举法求概率 【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算； （2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算. 【详解】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6， 其中，掷出5时可以回到点A， ∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为； （2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到点， 则①第一次就掷出5， ②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4， 画树状图如下： 共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种， ∴经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 概率初步单元过关（培优版） 考试范围：第3章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列说法不正确的是（   ） A．“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 2．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 3．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A． B． C． D．1 4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7左右，则布袋中白球可能有（    ） A．35个 B．30个 C．20个 D．15个 5．南阳古称宛，自古山清水秀，人杰地灵，有“南都帝乡”之称．在历史上，南阳孕育了无数的文化名人，其中科圣张衡、医圣张仲景、商圣范蠡、智圣诸葛亮被称为南阳“四圣”，为人类进步做出了巨大的贡献，现有张印有“四圣”图案的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“科圣张衡”和“商圣范蠡”的概率是（   ）        A． B． C． D． 6．布袋里有50个除颜色外其他都相同的小球，小颖随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，重复以上操作1000次，发现摸到白球203次，则布袋中白球的个数最有可能是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 7．某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（    ） A． B． C． D． 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 9．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂灰，再将图中剩余的编号1－5的小正方形中任意一个涂灰，则3个被涂灰的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是 ． 12．不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中蓝球有 个． 13．甲、乙、丙三人在一个完全对称的、有6个座位的桌边入坐，设他们落座的座位分别为、，则是轴对称图形的概率为 ． 14．乐乐和聪聪在玩一个正六边形的转盘游戏，如图是一个正六边形转盘，转盘被分成六个面积相等的等边三角形区域，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转）．若两次指针所指数字之和小于8，则乐乐获胜；若两次指针所指数字之和大于或等于8，则聪聪获胜．那么在这次游戏中，聪聪获胜的概率为 ． 15．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是 有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是 ． 评卷人 得分 三、解答题 16．红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． (1)九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． (2)若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 17．一个不透明的袋子中有个红球和个白球，这些球除颜色外没有区别． (1)从袋中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中摸出一个球．请用列表或画树状图的方法求两次都摸到红球的概率； (2)在袋中再添加个和原来一样的白球，然后从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，求的值． 18．一个不透明的盒子中有7张纸签，分别标有0，1，2，4，5，6，7七个数字，从中任意抽出一张，求： (1)抽到标有数字7的标签的概率； (2)抽到标有数字3的标签的概率； (3)抽到标有的数字大于4的标签的概率； (4)抽到标有的数字不大于4的标签的概率， 19．一只围棋盒子中有a颗黑色棋子和b颗白色棋子，且任意取出1颗棋子是黑色棋子的概率为． (1)试写出b与a的关系式； (2)若再往盒子中放进10颗黑色棋子，则任意取出1颗棋子是黑色棋子的概率为，求a和b的值． 20．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了如下不完整的统计图表． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长 人数 20 25 15 10 学生平均每天阅读时长情况扇形统计图 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，统计表中 ； (2)该校某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率． 21．一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中共有多少个白球； (2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 22．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 23．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$