专题05 三角形单元过关【培优版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题05 全等三角形单元过关（培优版） 考试范围：第4章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理进行判断求解． 【详解】解：①∵，， ∴，则是直角三角形； ②∵，， ∴，则是直角三角形； ③∵，即， ∴，则是直角三角形 ④由，，无法得到其中一个角为直角，故不一定是直角三角形． 综上所述，能确定是直角三角形的是①②③，共3个． 故选：C 2．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系，分情况讨论解题．先根据题意得出两种情况：为腰长时和为底边长时，再根据三角形三边关系判断该情况是否成立，满足三角形三边关系的即为正确答案． 【详解】解：依题得：该三角形是等腰三角形，则有以下两种情况： ①该等腰三角形的腰长为，则底边长为， ，即不符合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边， 该情况舍去； ②该等腰三角形的底边长为， 则腰长为， 此时三角形三边长分别为，，，满足三角形三边关系， 该情况成立； 综上，该等腰三角形的腰长应为． 故选：B． 3．如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，可知，边上的高过点且垂直，进行判断即可． 【详解】解：边上的高满足两个条件：①经过点．②垂直； 故选：D． 4．如图所示，工人师傅通常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的数学依据是（   ）    A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性即可作答． 【详解】加上后，原图中具有了，故这种做法的数学依据是三角形的稳定性． 故选：D． 5．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（      ） A．选①去 B．选②去 C．选③去 D．选④去 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意，运用“角边角”判定三角形全等即可求解． 【详解】解：小明选④去，可以运用“角边角”判定三角形全等，可以配一块完全一样的玻璃， 故选：D ． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ，，， ， 点、、在同一条直线上， ， ， ， ，， ，， ， 故选：D． 7．如图，是的高，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理．根据三角形的高的定义得到，进而根据三角形的内角和定理求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 8．已知中，，，则中线的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等知识点．延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：延长到，使，则，则连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ∴ 故选：D． 9．如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，由对顶角相等可得，即得解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．如图，在四边形中，点C在边上，连接，．已知，若，．记，，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积公式，过点作，交于点，由得到，再根据三角形面积公式求出，，即可得出结论，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 12．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查的是角平分线的作法、三角形内角和定理，先求出，进而求出，再根据三角形内角和求出结论． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得平分， ， ， 故答案为：． 13．已知等腰的周长为，其中两条边长分别是和，则该三角形的三边长分别为 ． 【答案】，， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，一元一次方程的运用，掌握等腰三角形的定义，运用三边数量关系列方程求解是解题的关键． 根据等腰三角形的性质分类讨论：当腰长为时，即边长分别为；当腰长为时，即边长分别为；由三角形三边数量关系确定等腰三角形的三边，由此列方程求解即可． 【详解】解：等腰的周长为，其中两条边长分别是和， 当腰长为时，即边长分别为， ∵，不符合题意，舍去； 当腰长为时，即边长分别为， ∵， ∴， 解得，，则， ∴等腰三角形三边长分别为，，， 故答案为：为，， ． 14．如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为 ． 【答案】1 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．先证明，从而可得到，然后先求得的面积，可得到的面积． 【详解】解∶平分， ． ， ． 在和中， ． ，的面积为6，， ． 又， 故答案为：1． 15．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则与的周长的差为 ．的面积与的面积的关系为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．由可得． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴与的周长之差， ∵， ∴与的周长之差． ∵， ∴． 故答案为：；． 评卷人 得分 三、解答题 16．已知：如图，△ABC． (1)求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据：________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】（1）分别作EF=BC，DF=AC，AB=DE即可； （2）根据SSS即可证明△DEF≌△ABC，即可． 【详解】（1）作直线EF，以E为圆心，BC为半径画弧交EF于点F点，再分别以E、F为圆心，以AB、AC为半径画弧，两弧交于点D，连接ED、DF，则△DEF即为所求，（方法不唯一）作图如下： （2）∵EF=BC，DF=AC，AB=DE， ∴根据SSS有：△DEF≌△ABC， 即依据为：SSS． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，作已知三角形的全等三角形，以及全等三角形的判定方法等知识，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 17．小唯想测量公园中一棵树的高度，但是由于这棵树不能直接攀爬上去测量，于是他想到了如下的方法：如图，树的顶点记为点，树的底部记为点，则即为树的高，在距离点一段距离处确定一点，延长至点，使得，在地面上过点作的垂线，垂足为，用测角器在处测量点，，形成的夹角的大小，再以点为顶点作，延长交于点．这样就将立体的树转化到了地面上，就可以直接进行测量，最后他测得的长为10米．请问树的高度是多少？写出你的理由． 【答案】树的高度为10米，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．利用全等三角形判定证出，再利用全等三角形对应边相等即可得出结论． 【详解】解：树的高度为10米，理由如下： 由题可知， 在和中， ， ， 米， 即树的高度为10米． 18．如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补. (1)说明：∠1=∠2. (2)若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数.      【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=80°． 【知识点】角平分线性质定理及证明、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据已知条件得到，根据平行线的判定定理可得,根据平行线的性质得出,求出，然后 根据等量代换即可得到结论． （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）∵∠BHC=∠FHD，∠GFH+∠BHC=180°， ∴∠GFH+∠FHD=180°，∴FG∥BD，∴∠1=∠ABD， ∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠ABD，∴∠1=∠2； （2）∵∠A=80°，FG⊥AC， ∴∠1=90°–80°=10°，∴∠2=∠1=10°， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=20°， ∴∠ACB=180°–∠A–∠ABC=80°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，对顶角相等的应用，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 19．如图，中，，，平分，于D，于F． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义： （1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出； （2）根据，得出，求出，得出，根据，求出． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．是的角平分线，E在边上，连接，且．    (1)求证与互补； (2)点F在边上，连接，若，探究线段之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图所示，在上取一点M，使得，连接，证明得到，进而得到，则，由，则，即可证明与互补； （2）如图所示，在上取一点M，使得，连接，同理可证，则，根据三角形内角和定理证明，得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图所示，在上取一点M，使得，连接， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互补；    （2）解：，证明如下： 如图所示，在上取一点M，使得，连接， 同理可证， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．    【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．（1）如图1，在四边形中，，，．求证：． （2）如图2，在四边形中，，，．试判断（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请写出线段、、之间关系，并证明． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）（1）中的结论不成立，，证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键． （1）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，得到，，根据，可得，则有，再证，得到，由此即可求解； （2）如图所示，在上取，连接，可证，，，由此可得，再证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：（1）中的结论不成立，，理由如下： 如图所示，在上取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法，进行作答即可； （2）延长至，使得，连接，先证明，得到，，平行线的性质，得到，等量代换结合等边对等角，得到，再利用等量代换，得到，即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴平分 23．附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、四边形其他综合问题、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明、、三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明、、三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ， ， 四边形是等补四边形． 故答案为：是； （2）解：如图2，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， （负值舍去）； 故答案为：4． （3）解：，   将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 则四边形面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形单元过关（培优版） 考试范围：第4章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，工人师傅通常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的数学依据是（   ）    A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 5．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（      ） A．选①去 B．选②去 C．选③去 D．选④去 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 7．如图，是的高，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．已知中，，，则中线的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，点C在边上，连接，．已知，若，．记，，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 12．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 13．已知等腰的周长为，其中两条边长分别是和，则该三角形的三边长分别为 ． 14．如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为 ． 15．如图，已知，分别是的中线和高，且，，则与的周长的差为 ．的面积与的面积的关系为 ． 评卷人 得分 三、解答题 16．已知：如图，△ABC． (1)求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据：________________． 17．小唯想测量公园中一棵树的高度，但是由于这棵树不能直接攀爬上去测量，于是他想到了如下的方法：如图，树的顶点记为点，树的底部记为点，则即为树的高，在距离点一段距离处确定一点，延长至点，使得，在地面上过点作的垂线，垂足为，用测角器在处测量点，，形成的夹角的大小，再以点为顶点作，延长交于点．这样就将立体的树转化到了地面上，就可以直接进行测量，最后他测得的长为10米．请问树的高度是多少？写出你的理由． 18．如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补. (1)说明：∠1=∠2. (2)若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数.      19．如图，中，，，平分，于D，于F． (1)求的度数； (2)求的度数． 20．是的角平分线，E在边上，连接，且．    (1)求证与互补； (2)点F在边上，连接，若，探究线段之间满足的等量关系，并加以证明． 21．（1）如图1，在四边形中，，，．求证：． （2）如图2，在四边形中，，，．试判断（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请写出线段、、之间关系，并证明． 22．小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 23．附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$