广东省佛山市南海区南海中学分校2024-2025学年高二下学期3月教学质量检测数学试题

南海中学分校2024~2025学年度第二学期三月份教学质量检测 高二年级 数学科试题 (全卷共4页,考试时间:120 分钟) 命题人:付品祥 校对人:付品祥 本试卷分第1卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分 注意事项: 1.答题前,考生务必用考试规定用笔在答题卷写上自已的姓名:用2B铅笔在答题卡上涂写好考号/学号、 考试科目。 2. 客观题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮彻底擦干净 后,再选涂其它答案,直接答在试题纸上无效。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1. 若全集U=f1.2.3.4.5.6],M=f1.2)],N=(3.4),则集合(CM)0N= C.(5.6 A.f1.2) B.3,4 D. (3,4.5.6) 2. 函数f(x)=x2-2x的导函数为f'(x)=() C. 2x+2x A.2x-2xln2 B.2x-2x D. 2x+2xln2 3. 曲线v-2sinr+cosx在点(n,-1)处的切线方程为 A.x-y-π-1=0 B. 2x-y-2rt-1-0 C. 2x+y-2π+1=0 D. x+y-π+1=0 4. 数列fan3的前n项和为Sn,若点(n.So)在函数f(x)=x2+2x的图象上,则a2o21=( ) B.4041 A. 2021 C.4042 D. 4043 5. 已知等差数列fa.)的前n项和为S。,若a。三3,S。三12,则fa.)的公差头 B. 1 C.2 A.-1 D. 3 6. 设等比数列fan)的前n项和为S,若S=-3.S。=21,则a.等于( ) A.5 B. 2 C.-2 D. -1 7. 已知函数f(x)的导函数f’(x)图象如图所示,则() V /f(t) A. f(x)在(-co,-3)上单调递增 B. f(x)在x=0处取得最大值 C. f(x)在(0.2)上单调递减 D. f(x)在x=-3处取得最小值 南海中学分校三月份教学质量检测 数学 第1页,共4页 8. 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复 进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是数学史上著 名的“冰霍猜想”(又称“角谷猜想”等). (a为偶数时) 已知数列[an]满足:a1=20,an+1= ,则a2025=( ) (3an+1(an为奇数时) B.4 C.3 A.5 D. 2 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知点A(1,-2)、B(2.0).C(3.-3)、D(-1.-6),则( ) A. ABIIAD B. AB-ACl C. AB:BD-0 D. AC1BD 10. 对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a:0),给出定义:f'(x)是函数y=f(x)的 导数,f”(x)是函数f'(x)的导数,若方程f”(x)=0有实数解xo,则称(xo,f(xo)为函数y= f(x)的“拐点”某同学经探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有 对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函数f(x)-{x3-x2-12x+9,则下列说法正确的 是() A.f(x)的极大值为137 B. f(x)有且仅有2个零点 C. 点(2)是f(x)的对称中心 D. f(64)+f-)+f6)+..f (2023=4046 11. 已知函数f(x)=x3一ax+1,aER,则( ) A. 若f(x)有极值点,则a<0 B. 当a=1时,f(x)有一个零点 C.f(x)=2-f(-x) D. 当a=1时,曲线y=f(x)上斜率为2的切线是直线y=2x-1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 数列fan]中,已知a=5,且an=an+n,则ao等于 13. 已知函数f(x)三x3一3x的值域为I-22l,则f(x)的定义域可以是 .(写出一个 符合条件的即可) 14.若函数f(x)=x++3lnx在(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是 南海中学分校三月份教学质量检测 数学 第2页,共4页 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设函数f(x)=x3-3x2-9x+8 (1)求曲线y三f(x)在点(1.f(1))处的切线方程 (2)求f(x)在区间[-23]上的最大值和最小值; 16.(15分)已知各项均为正数的等比数列fan]满足a=8,a2·a=4,设b。=logqn (1)证明:数列(b)是等差数列; (2)记数列(b)的前n项和为S。,求S.的最大值 17.(15分)如图,四梭锥P-ABCD的底面是矩形,PD1底面ABCD,PD=DC=1,BC=2 M为BC的中点 (1)求证:PB1AM: (2)求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值 D. 南海中学分校三月份教学质量检测 数学 第3页,共4页 18.(17分)设fan]是首项为1的等比数列,数列tb-J]满足bnn.已知d,3áz,9a3成 等差数列. (1)求fa)和b)的通项公式 (2)记s.,和7,分别为[an]和tb,}的前n项和.证明:Tn<-. 19.(17分)已知函数f(x)=lnx-ax+1,其中aER (1)当a三1时,求函数f(x)的单调区间; (2)①若f(x)<0恒成立,求a的最小值; 南海中学分校三月份教学质量检测 数学 第4页,共4页 南海中学分校2024-2025学年度第二学期三月份教学质量检测 高二年级数学参考答案 题号 10 2 11 ACD 答案 ABD &。 BC $8.详解】=2 20$=10,=5=16,a=8$ =4=2=1=4 o=2=1 = 4.a3=2...可知数列fa)可看作从第8项起以3为周期的数列. 因为2025=7+3x672+2,所以a2025=a=4. 10.【详解】由函数f(x)={x×3-x2-12x+,可得/'Gx)=2x2-2x-12=2(x-3)(x+2), 令f'(x)>0,解得x<-2或x>3;令f'(x)<0,解得-2<x<3, 所以函数f(x)在(-00,-2)上单调递增,在(-2.3)上单调递减,在(3.+00)单调递增; 又由极小值f(3)--13<0,且当x→-co时,f(x)→-co, 当x→+oo时,f(x)→+oo,所以函数f(x)有3个零点,所以B错误 由f'G)=2x2-2x-12,可得f”(x)=4x-2,令f”(x)=0,可得x= 又由/-x)③--12x+-2,所以点(,2)是函数f(x)的对称中心,所以C正确; 因为.2)是函数/(x)的对称中心,所以f(x)+f(1-x)=4. 令s=(-)+/(-)+f()+.+f(20) 可得$=f(2023+/(22+f(201+.+f() 所以25=D()+f(2031+DVf()+f2022)1+.+f(2024+f1 =4x2023, 所以s=4046,即f()+f()+f()+f(2023=4046,所以D正确. 11.【详解】对A,由题得f'(x)=3x2一a,当a=0时f'(x)>0,f(x)递增,不存在极值点,故A错误 令#”'g)<得-<x<,所以/(x)在(-)上单调逆减,在(-c0-)(+o)上单调递增. 因为(-)1+_0,f()1-2_0. (2)-50. 所以函数f(x)在(-o,-)上有一个零点,在(-+)上无零点.故B选项正确: 对C,令h(x)=x-ax,该函数的定义域为R,因为h(-x)=(-x)-(-ax)=-x3+ax=-h(x) 答案第1页,共4页 则h(x)是奇函数,h(x)图象的对称中心是原点(0.0),将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图 象,所以点(0.1)是曲线y=f(x)的对称中心,即f(x)=2一f(一x),故C选项正确; 对D,令f'(x)=3x2-1=2,可得x=+1.又f(1)=1,f(-1)=1. 所以当切点为(1.1)时,切线方程为y=2x-1,当切点为(-1.1)时,切线方程为y=2x+3,故D错误 12.50. 13.[-1.1](答案不唯一). 14.0o) 13. 函数图象如右所示:因为函数f(x)=x3一3x的值域 为[-2.2,所以函数的定义域可以为[-1.1] 14.【详解】函数f(ox)=x+-+3lnx的定义域为(0,+oo). ,2 2 →f(x)-0→x=1或-4(舍去) 当0<x<1时f(x)<0,当x>1时f(x)>0 所以f(x)在(0.1)上单调递减,在(1.+oo)上单调递增 所以f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,又因为函数f(x)在(a.2一3a)内有最小值 15.【详解】(1)由题意知,f(1)=-3,即切点为(1.-3). .....................分 由已知f'(x)=3x2-6x-9,则f'(1)=-12 .................分. 所以曲线f(x)在点(1.f(1))处的切线方程为y+3=-12(x-1),即12x+y-9=0. ......4分 故f(x)在点(1.f(1))处的切线方程为:12x+y-9=0 .............分. (2)令f(x)>0,即3x2-6x-9>0得x<-1或x>3. ............... 令f’(x)<0,则得-1<x<3. .............. 所以f(x)在(-co.-1)(3.+co)上单调递增,在(-1.3)上单调递减 ..................分. 所以在区间[-23]上,f(x)的极大值为f(-1)=13 .......................分 又f(-2)=-8-12+18+8=6.f(3)=-19. ..................2.. 故f(x)在区间[-23]上的最大值为13,最小值为-19 .......................分 16.【详解】(1)设等比数列fa)的公比为q .数列fa)是等比数列,且a>0,则q>0. ........................分 .a.at=a=4,:=2, ..................... -=a·q②-2又:=8q= .....................分. .a=aqn-1=24-n .....................4分. 答案第2页,共4页 $b =log=4-n ....................分 bn -b=l4-n+1]-(4-n)=-1 ..................-.. :数列(b.)是首项为b,=3,公差为-1的等差数列。 ...................分 (2)由(1)知,b=4-n ......................分 *$= ......................分 .对称轴n- 又nEN',所以n取3或4, ......................14分 .n=3或4时,S.最大,最大值为6 .....................5.分 17.【详解】(1)依题意,校DA,DC,DP两两互相垂直 ................ 以点D为原点,依次以DA,DC,DP所在直线为x,v,2轴, 如图,建立空间直角坐标系 .................. 则B(V2. 1.0)D, P(0.0.1),.A(V2.0.0), M(.1.0)..-3分 可得PB-(V2.1.-1),AM=(-:1.0). ......... 所以PBAv.1-)+1-.-..1.分 所以PB1.AM ............. (2)由(1)得到A(V2.0.0),M(^{:1.o). 因此可得AM=(-*:1,o),AP-(-v2.0.1). ..........分.. 设平面PAM的一个法向量为n=(x.y.z),则由 令z=22,解得=(2.2.2②). ............1.分. 同理,可求平面PDC的一个法向量元=(1.0.0) .........1..分.. - 所以,平面PAM与平面PDC所成的锐二面角e满足:cosθ= v14 ..............14分 即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为 .............5分 18.【详解】(1)因为fa]是首项为1的等比数列且a,3a,9aq成等差数列 所以6a=a,+9a,所以6a.q=a.+9aq^{}. ............ ...............分 所以a--1,.-“- ...........分 答案第3页,共4页 (2)公式法和错位相减求和法,作差法比大小, _x)(1-). ..............7分 #-+.-.① ..............8分 + ② .............9分 -②得7-一++-+- -_ #-# ..............分. =(1-)- 3n1' ..............1.分 所以T_(1-)# ...............................分 #所以下#--(1--)-#--(1-)-#<, ..............16分 所以T_} ....................... 19.【详解】(1)由已知条件得f(x)=lnx-x+1,其中f(x)的定义域为(0,+co) ..........分 则/”(x)-1-二 ........... 当xE(0.1)时,f'(x)>0,当xE(1.+oo)时,f'(x)<0. ...........分 所以f(x)的单调递增区间为(0.1),单调递减区间为(1,+0o): .........4... (2)①由f(x)=lnx-ax+1so恒成立,即a→nx桓成立, ............5分 .............6分 当xE(0.1)时,g(x)>0,当xE(1.+co)时:a'(x)<0 ...........分. 所以g(x)在(0.1)上单调递增,(1.+co)上单调递减 ...........分 所以g(x)max=g(1)=1,a>g(x)max=1. .........分. 所以a的最小值为1. ..........1.分. ②由(1)知:当a=1时,f(x)max=f(1)=0,即f(x)<0恒成立, ..............11分 即x-1>lnx,当且仅当x=1时等号成立. ............12分 ..............14分 所以 ............17分 答案第4页,共4页