上海市崇明区2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题

2025届崇明区高三二模数学卷 一、填空题 1.不等式的解为_____. 【答案】 【解析】 , 所以不等式的解集为 2.已知复数(为虚数单位),则_____. 【答案】 【解析】 3.已知全集,集合,则_____. 【答案】 【解析】因为, . 4.直线与直线的夹角为_____. 【答案】 【解析】直线的斜率不存在,倾斜角为, 直线的斜率为,倾斜角为, 故直线与直线的夹角为 5.已知,则_____. 【答案】 【解析】 所以 6.函数的最小正周期是,则_____. 【答案】2 【解析】 7.某次数学考试后,随机选取位学生的成绩,得到如下茎叶图,其中个位数部分作为“叶”,百位数和十位数作为“茎”,若该组数据的第百分位数是则的值为_____. 【答案】7 【解析】,因为不是整数,所以向上取整得 故第百分位数是第四个数 根据茎叶图,将数据从小到大排列 由于第百分位数是第个数,即 所以. 8.在中,若,其面积为,则_____. 【答案】 【解析】由余弦定理得, 又, . 9.已知,则 _____. 【答案】 【解析】令,则,即. 10.已知,若函数有两个极值点,则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为函数有两个极值点,则函数在上不单调, 所以解得. 11.已知双曲线的左,右焦点为.以为顶点,为焦点作抛物线交双曲线于,且,则_____. 【答案】 【解析】设则抛物线方程为 直线的方程为 联立 解得 所以且 根据双曲线的定义可得解得. 12.已知集合中的任一个元素都是整数,当存在整数且时, 称为“间断整数集”.集合的所有子集中,是“间断整数集”的个数为_____. 【答案】968 【解析】way1：集合的所有子集有个 排除非“间断整数集”（即连续整数子集）的个数.连续子集按长度分类： 空集不符题意； 长度为的子集有个；长度为的子集有个； ……依次类推长度为的子集有个. 连续子集总数为等差数列求和： 所以间断整数集”的个数为总子集数减去连续子集数：个. Way2：解:当之中间隔一个整数时,有8种取法,故“间断整数集”有8个; 当之中间隔两个整数时(所间隔的两个整数不同时出现),故有个; 当、之中间隔三个整数时(所间隔的三个整数不同时出现),故有个； ...... 当之中间隔八个整数时(所间隔的八个整数不同时出现),故有个. 综上,“间断整数集”的个数共有 . 二、选择题 13.若,则下列结论正确的是 【答案】D 【解析】因为且,所以,正确； 14.已知一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为 【答案】A 【解析】由题意,设圆锥的底面半径为,母线为, 因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形, 所以,, 解得,, 所以圆锥的侧面积 15.抛掷一枚质地均匀的硬币次(其中为大于等于2的整数)设事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”,事件表示“次中至多有一次正面朝上”,若事件与事件是独立的,则的值为 【答案】C 【解析】由题意可知,,, 因为事件与事件是独立的, 所以, 所以, 化简得, 由指数函数和一次函数的性质可知, 当且时, 当时,, 当且时,, 综上所述,的值为 所以选： 16.数列是等差数列,周期数列满足.若集合是正整数中恰有三个元素,则数列的周期的取值不可能是 【答案】D 【解析】设等差数列首项为,公差为,则,, 由题知,存在正整数,使得,, 若集合,有3个不同元素,则, 当时,,即,即,, 所以,或,, 因为是等差数列,各项均唯一,所以,舍去, 故解得,,取时,,（可以看成单位圆旋转，有3个不同的 的值） 此时在单位圆上的4等分点可取到3个不同的正弦值, 即集合,可取3个元素, 当时,,即,即,, 所以,或,,(舍), 故解得,,此时在单位圆上的5等分点, 取到的,满足题意, 同理可得当,满足题意，时,不满足题意，故选：D. 三、解答题 17.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,且,,点分别为的中点. 求证:平面； 求点到平面的距离. 【解析】证明:在四棱锥中,底面是边长为的正方形,且,, ,, , 平面,平面, ,, ,平面. way1：以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系, ,点,分别为,的中点, , 设平面的法向量为, 则,取,得, 点到平面的距离为: Way2：由(1)得, 在中,点为的中点,,同理, 在中,,因此, 在直角中,,.3分 由(1)知平面,则平面, 于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为, 由,得,解得, 所以点到平面的距离为.7分 18.已知. (1)是否存在实数,使得函数是偶函数？若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由; (2)若且,解关于的不等式. 【解析】为偶函数，则定义域关于原点对称， 的解集为 定义域为关于原点对称,且为偶函数综上 即 ①若 ②若 19.某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示. 31大部分确17/9℃ 04月01日阵雨18/9℃ 02阵雨 03阵雨18/10°C 04多云18/9℃ 05间歇性多云 06多云 阵雨19/10°C 08 大部分多云 09大部分确 10多云 11大部分确 12阵雨 13阵雨 从3月31日至4月13日某天开始,连续统计三天,求这三天中至少有两天是阵雨的概率; 根据天气预报,该区4月14日的最低气温是.温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值,例如3月31日的最高温度为,最低温度为,当天的温差为.记4月1日至4日这4天温差的方差为月11日至14日这4天温差的方差为,若,求4月14日天气预报的最高气温; 从3月31日至4月13日中随机抽取两天,用表示一天温差不高于的天数,求的分布列及期望. 【解析】(1)设“从3月31日至4月13日某天开始,连续统计三天,这三天中至少有两天是阵雨”为事件 A,连续统计三天共有12个样本点,事件A共有4个样本点,所以..4分 (2)4月1日至4日这4天温差分别为、、、, 因此,设4月14日的温差为, 则4月11日至14日这4天温差分别为、、、, 因此, 解得,因此,4月11日这天最高气温是.4分 (3)从3月31日至4月13日,一天温差不超过的共有11天, 随机变量的分布列是 随机变量的期望.6分 20.已知抛物线,过点的直线与抛物线交于点,与轴交于点. (1)若点位于第一象限,且点到抛物线的焦点的距离等于3,求点的坐标； (2)若点坐标为且点恰为线段的中点,求原点到直线的距离； (3)若抛物线上存在定点使得满足题意的点都有,求满足的关系式. 【解析】(1)设,因为点在抛物线上,所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛 物线的准线的距离,所以,所以, 故点的坐标是.4分 (2)设,则,由题意,,所以,.2分 所以点坐标为(2,1),直线的方程为:.4分 所以原点到直线的距离..6分 设,由题意,直线斜率必然存在,设其方程为: 代入中,得: 设,则.3分 因为,所以 所以 故,即.6分 由题意,得,因此.8分 21.已知函数为坐标平面上一点.若函数的图像上存在与不同的一点,使得直线是函数在点处的切线,则称点具有性质. (1)若,判断点是否具有性质,并说明理由； (2)若,证明:线段上的所有点均具有性质； (3)若,证明:“点具有性质”的充要条件是“”. 【解析】(1)点具有性质,理由如下: 设,因为, 所以曲线在点处的切线方程为:, 将点坐标代入,得:,所以或2 即函数的图像上存在与不同的一点,使得直线是函数图像在点处的切线,故点具有性质.4分(2)证明:设函数的图像在处的切线方程为:①当时,点在函数的图像上,将代入①式,得:②令,则所以关于的方程②必有实数解,且故函数的图像上存在与不同的一点,使得直线是函数图像在点处的切线,即点具有性质.3分当时,点不在函数的图像上,将代入①式,得:③令,则所以当时,关于的方程③必有解,故函数的图像上存在与不同的一点,使得直线是函数图像在点处的切线,即点具有性质综上所述,线段上的所有点均具有性质.6分 (3)证明:设, 函数的图像在处的切线方程为: 必要性:若点具有性质,则点应满足方程 令,则由,得: 当时,,当时,, 故函数在时取得最小值 因为与是不相同的点,所以点的横坐标,因此 即.4分 充分性:当时,令 对于函数,当趋向时,趋向 又,故关于的方程必然有解 即存在点使得直线是函数的图像的切线, 所以点具有性质 综上所述,“点具有性质”的充要条件是“”..8分 学科网（北京）股份有限公司 $$