精品解析：江西省抚州市金溪县锦绣中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年第二学期抚州十二校 九年级第一次数学学科质量检测 说明：1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算法则，积的乘方，幂的乘方，依次计算各个选项，即可进行解答． 【详解】解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B计算错误，符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法运算法则，积的乘方，幂的乘方，解题的关键是掌握：同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；积的乘方，把每个因式分别乘方；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 陀螺是我国一种老少皆宜的传统健身玩具．如图是一个陀螺玩具，它是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．根据俯视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：根据从上面看得到的图形有两个同心圆，因此画成实线， 符合题意的是选项D． 故选：D． 4. 尺规作图：如图（1），在中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作垂直平分线和作一个角等于已知角，垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角逐项求解即可． 【详解】①中，， ∴； ②中，由尺规作图可得； ③中，根据线段的垂直平分线的性质可得， ∴； ④中，∵直径所对的圆周角是， ∴． ∴正确的有4个． 故选：A． 【点睛】此题考查了尺规作图，直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5. 七巧板是我国古代的一种益智玩具，深受人们喜爱．下图的七巧板是由一个边长为的正方形分割而成，在数学活动课中，小明将其拼出了一个平行四边形和一个矩形，如图甲、图乙．下列选项说法正确的是（ ） A. 甲、乙两个图形的面积与原图形的面积相等 B. 甲、乙两个图形的周长相等 C. 图乙中长方形的对角线的长度等于原正方形的对角线的长度 D. 以上说法都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图象的变换，正方形，平行四边形，矩形的性质，勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，分别求出图中①、②的直角边长为，③的直角边，④正方形的边，⑤直角边，⑥对应大正方形对角线上的边都相等，即为，③、⑤的斜边为，⑦的直角边为，⑦的斜边长为，由此进行判定即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴图中①、②的直角边长为， 由图可得，③的直角边，④正方形的边，⑤直角边，⑥对应大正方形对角线上的边都相等，即为， ∴③、⑤的斜边为，⑦的直角边为，⑦的斜边长为， ∵用七巧板拼成了一个平行四边形和一个矩形， ∴甲、乙两个图形的面积相等，且与原图形面积相等，故A选项正确，符合题意； 甲图形的周长为， 乙图形的周长为， ∴甲、乙两个图形的周长不相等，故B选项错误，不符合题意； 乙图形的长为，宽为， ∴长方形的对角线长为， 正方形的对角线长为， ∴图乙长方形的对角线的长度不等于原正方形对角线的长度，故C选项错误，不符合题意． 故选：A． 6. 如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ） A. 假山上的点B到水平地面的距离为 B. 水平方向上的长度为 C. D. 抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项． 【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为， 当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为； 当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 2025年1月14日来自江西省交通运输厅的消息显示，2024年，江西省物流规模持续扩大，完成综合交通货运量亿吨，增长．亿用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：亿， 故答案为：． 8. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根和算术平方根．根据立方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解： ． 9. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，在某次光的折射实验活动中，小明发现，，已知水面与容器底部平行，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线的性质，根据题中的图，由两直线平行内错角相等得到，代值求解即可得到答案，熟记平行线性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 10. 已知m，n是一元二次方程的两根，则代数式________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求出，，然后把所给代数式变形后代入计算即可． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：60． 11. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫作三角形数，它呈现一定规律性．若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，，第n个三角形数记为，计算，，，，由此推算，________． 【答案】2026 【解析】 【分析】此题考查数字的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，再找出按照什么规律变化的，总结规律解决问题． 利用所给数据即可得出，两数相减等于前面数的下标，，即可得出答案． 【详解】解：； ； ； ； ∴． ∴， 故答案为：． 12. 某个含有角的直角三角板恰好内接于直径为6的圆，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则该平行四边形与圆重叠部分的面积可能是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意，分三种情况，作出图形，结合扇形面积、三角形面积与平行四边形面积公式代值求解即可得到答案，熟记三角形的外接圆、平行四边形性质等，数形结合运用面积公式求解是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，分三种情况： 如图所示： 重叠部分的面积为矩形， 在中，，则，， 该平行四边形与圆重叠部分的面积是； 连接，过点作，如图所示： 重叠部分的面积为扇形与的面积和， ， 是的中线，则是的中位线， ， 在中，，则，， ， 是等边三角形，则， ，， 该平行四边形与圆重叠部分的面积为扇形与的面积和； 连接，如图所示： 重叠部分的面积为扇形和的面积和， 在中，，则，， ， ，则是等边三角形， ，则， ，， 该平行四边形与圆重叠部分的面积为扇形和平行四边形的面积和； 综上所述，该平行四边形与圆重叠部分的面积是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查求不规则图形面积，涉及三角形的外接圆、平行四边形性质、含的直角三角形性质、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意，准确作出图形，分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程组： （2）如图，，相交于点O，且，，．求的长度． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）根据，，证明，再根据相似三角形的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）， ，得， 解得． 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）∵相交于点O， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 14. 已知，求代数式的值． 【答案】-1 【解析】 【详解】试题分析：解： = = == =． . ，． ∴原式=． 考点：分式 点评：本题难度中等，主要考查学生对分式化简及代值灵活运用．这类题型为中考常考题型，学生要牢固掌握 15. 2025年春节期间，张三和李四相约去江西省游玩，出发之前，两人用随机抽卡片的方式决定去哪个景点，他们制作了四张背面完全一样的卡片，正面分别写有三清山、龟峰、明月山、武功山，背面朝上洗匀，放置在桌面． （1）张三抽取一张卡片，抽到写有“武功山”的卡片的概率为________； （2）张三随机抽取一张卡片后放回，李四再随机抽取一张，求两人抽到同一张卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接柑橘概率公式求解即可； （2）画出树状图求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4张卡片， ∴张三抽取一张卡片，抽到写有“武功山”的卡片的概率为 故答案为：； 【小问2详解】 解：将写有三清山、龟峰、明月山、武功山的卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的情况，其中张三、李四两人抽到同一张卡片的情况有4种， ∴P（张三、李四两人抽到同一张卡片）． 16. 如下图，在的方格中，的三个顶点A，B，C都在格点上．请用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1网络中作格点P，使； （2）在图2网格中作格点P，使，且最长． 【答案】（1） 解：如图所示，格点P即为所求， （2） 解：如图2所示，格点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据网格特征得，，结合网格特征，图中均满足，即可作答． （2）因为最长，根据网格特征得是等腰直角三角形，且为斜边，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 为了筹备2025年新年晚会，学校决定给甲、乙两个班级购买演出服，已知甲班需购买的A种演出服每套100元，乙班需购买的B种演出服每套120元，两班共需要演出服100套． （1）若为甲、乙两班购买两种演出服的总价为11200元，则需为甲、乙两班购买演出服各多少套？ （2）若学校打算为文艺表演小组购进A、B两种演出服共180套，其中B种演出服的购买数量不超过A种演出服购买数量的2倍，则至少需要购买A种演出服多少套？ 【答案】（1）需为甲班购买A种演出服40套，为乙班购买B种演出服60套 （2）至少需要购买A种演出服60套 【解析】 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，用不等式解决实际问题，能够根据题意分析出等量关系与不等关系是解决本题的关键． （1）设需为甲班购买A种演出服x套，根据购买两种演出服的总价为11200元列方程求解； （2）设至少需要购买A种演出服a套，根据B种演出服的购买数量不超过A种演出服购买数量的2倍列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设需为甲班购买A种演出服x套，则需为乙班购买B种演出服套． 由题意可得， 解得， ∴（套）， 答：需为甲班购买A种演出服40套，为乙班购买B种演出服60套． 【小问2详解】 解：设至少需要购买A种演出服a套，则需购买B种演出服套． 由，得， 答：至少需要购买A种演出服60套． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上； （3）在（2）的条件下，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）已知，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点N的坐标为． ∵， ∴点N在反比例函数的图象上； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，，然后根据得到，进而求解即可； （3）首先得到点N，O，C三点共线，且，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示， ∵点C的坐标为，点N的坐标为， ∴点C和点N关于原点中心对称， ∴点N，O，C三点共线，且， ∴ 19. 图1是“团一大”纪念广场的主雕塑，图2是其正面示意图，主雕塑由独立的两个全等的平行四边形（，）基座和它们上方承托的一面团旗（四边形，）组成，测得，，雕塑总高，基座上的团旗旗柱，点E，N，L，D在同一水平线上． （1）求平行四边形基座的高度； （2）判断团旗旗柱是否与斜面平行，请通过计算说明． （参考数据：，，，结果精确到） 【答案】（1） （2） 解：如图，过点A作于点Q． ∵雕塑总高，平行四边形基座的高度为， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴团旗旗柱． ∵基座是平行四边形， ∴， ∴， 即团旗旗柱与斜面平行． 【解析】 【分析】（1）过点F作于点P，根据平行线的性质得出，根据三角函数定义得出，求出结果即可； （2）过点A作于点Q ，求出，解直角三角形得出．根据平行线的性质证明．根据平行四边形的性质得出，根据平行公理得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点F作于点P． ∵基座由两个全等的平行四边形（，）组成， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形基座的高度约为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 20. 近年来，许多大学生陆续回到家乡振兴乡村，某校就业调研组对年毕业回到家乡自主创业大学生的每月收入进行了抽样调查，以下是调研组收集的在中部省份和西部省份各名同学自主创业的月收入（单位：千元）大致情况： 在中部省份创业的名同学月收入∶，，，，，，，，，． 在西部省份创业的名同学月收入∶，，，，，，，，，． 整理数据，画出统计表和统计图，如图所示： 在西部省份创业的名同学月收入（单位：千元）扇形统计图 在中部省份创业的名同学月收入频数分布表： 月收入/千元 人数 根据以上信息，分析数据如表： 平均数 中位数 众数 方差 在中部省份创业的名同学的月收入 在西部省份创业的名同学的月收入 1.2 （1）请求出的值； （2）________，________，圆心角________； （3）小李同学今年大学毕业打算在中部省份或西部省份自主创业，如果你是小李同学，请从平均数、中位数、众数、方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议小李同学是选择中部省份创业还是选择西部省份创业． 【答案】（1）（千元） （2），40，72 （3） 选西部省份创业，理由如下： 因为平均数相同，在西部省份创业同学月收入的中位数、众数均大于中部省份创业同学的月收入的中位数、众数，且西部省份创业同学月收入的方差小，更稳定，所以应选择西部省份创业． 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的计算公式计算即可； （2）根据中位数、百分比，圆心角的计算公式计算即可； （3）根据平均数、中位数，众数，方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：在西部省份创业的名同学的月收入的平均数为 （千元）； 【小问2详解】 在中部省份创业的名同学的月收入从小到大排列为，，，，，，，，，， 中位数； ，即； 圆心角的度数为． 故答案为：，，． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了扇形统计图，频数分布表，平均数、中位数、众数以及方差的定义和意义，掌握相关知识点是解题关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，为直径，为弦，点是的中点，交于点，点是上一点，连接． （1）点在的延长线上，且，判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：与相切，理由： 如图，连接， 是的中点， ， ， ， ， 为的半径， 与相切； （2） （3） 【解析】 【分析】（1），连接，根据是的中点得，根据得，所以，即可得证； （2）证明，代入数据求得，在中，根据勾股定理得直径，即可得解； （3）由（2）知，，再结合可得，，最后根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的中点， ， ， ， ， ，　 ， ， 在中，根据勾股定理得直径， 半径为； 【小问3详解】 解：为直径， ， 由（2）知，， ，， ， ，， 到边上的高为， ． 【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 22. 新定义：若二次函数为（，，，是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数． （1）写出的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性质； （2）若（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，求的值； （3）如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，是的图象与轴正半轴的交点，连接，，，若点为，且为直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1），性质：图象关于原点成中心对称（答案不唯一，合理即可） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据定义可知互为“关联”二次函数的解析式二项式系数互为相反数，常数项互为相反数，即可得到答案，观察图象，可知图象关于原点成中心对称； （2）互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象都关于原点成中心对称，且题（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，所以的图象与的图象只有一个交点，关于的方程有两个相等的实数根，那么判别式为零，从而解得答案； （3）由（1）知，若二次函数与互为“关联”二次函数，则二次函数与的图象关于原点成中心对称，先求得点、，分、分类讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：的“关联”二次函数的表达式是 性质：图象关于原点成中心对称． （答案不唯一，合理即可） 【小问2详解】 解：互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象都关于原点成中心对称，且题（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点， 的图象与的图象只有一个交点， 关于的方程有两个相等的实数根， 整理得， ， 解得或， 的值为或． 【小问3详解】 解：由（1）知，若二次函数与互为“关联”二次函数， 则二次函数与的图象关于原点成中心对称， ，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，点， 点，点为的中点． 设，则， 当时，， 点， 是的图象与轴正半轴的交点， 若为直角三角形，则或； 当时， 点为的中点， ， ， ， 点的坐标为． 当时，， ∴， 解得， ， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，直角三角形的性质，抛物线与一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【情景问题】 年某文化旅游节在吉安市青原山风景区拉开帷幕，小明对相关休息场地的距离进行了思考． （1）如图，在地图上，两站点的直线距离为，，为青原山和生态公园场地，且于点，于点．已知，，小明所在的站点在离站点多少千米处时，能使得地点到，两地的距离之和最短？ 【类比发现】 （2）如图，在青原山风景区中存在两条街道和，为内一定点，其中，，在街道，上分别找点、点，使的周长最短，并求出该最短周长． 【解决问题】 （3）如图，在青原山风景区内有一广场，其形状为，其中，，，，现打算修建一条休闲道，休闲道最长为多少米？ 小明在解决问题中遇到了困难，老师提示：“可以类比（2）中点在某特殊角的内部时的解法，”请你借助老师的提示，完成求解． （4）如图，若生态公园处的广场的形状为四边形，测得，，，，点，，，分别是广场边沿上的点，且，现小明打算从点出发，沿四边形区域的边缘行走，求小明行走路线的最短路程． 【答案】（1）小明所在的站点应在离地处； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】根据将军饮马原理作点关于所在直线的对称点，连接交于，即到点，的距离之和最短，过点作的延长线于点，构造矩形，可得，所以，所以是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知， 分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，点，连接，，，，，当，，共线时，的周长最短，最短为的长，因为，根据对称性可知，，利用勾股定理可以求出，即的最短周长为； 分别作关于，所在直线的对称线段，，连接，，可知，，过点作上的垂线段，可得，，所以可得，利用勾股定理可得，因为当，，共线时，取得最大值，此时有，过点作于点，则有； 延长和，两线交于点，可得：，，分别作点关于，所在直线的对称点，，连接，作点关于所在直线的对称点，作点关于所在直线的对称点．过点作的垂线，垂足为，并延长，交于点，连接交于点，连接，，，，四边形关于所在直线对称，当点，，，，共线时，四边形的周长最小，该最小值等于线段的长，利用勾股定理可得：，所以小明行走路线最短路程是． 【详解】解：如下图所示， 作点关于所在直线的对称点，连接交于，即到点，的距离之和最短， 过点作的延长线于点， 四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 即此时， ， ， ， 即要使得地点到，两地的距离之和最短，则小明所在的站点应在离地处； 解：如下图所示，分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，点，连接，，，，， 根据对称性可得，， 的周长， 当，，共线时，的周长最短，最短为的长， 根据对称性可得，，， ， ， ， 在中，； 的周长最短是； 如下图所示，分别作关于，所在直线的对称线段，，连接，， 可知，，过点作上的垂线段， ， ， ， ，， ， ， ，，为定值，当，，共线时，取得最大值， 此时， ，线段，与分别关于，所在直线对称， ，， 过点作于点， ，， ， 的最大值为； 如图，延长和，两线交于点， ，， ， ，， ，， ， ，， 分别作点关于，所在直线的对称点，，连接，作点关于所在直线的对称点，作点关于所在直线的对称点．过点作的垂线，垂足为，并延长，交于点，连接交于点，连接，，，， ，，，四边形关于所在直线对称， ， ， 当点，，，，共线时，四边形的周长最小，该最小值等于线段的长， 根据题意可得，， ，，，， ，， ， ， ， 当点，，，，共线时，四边形的周长取得最小值，最小值为． 即小明行走路线最短路程是． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了轴对称的最短路径问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是根据轴对称的最短路径问题正确作图． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期抚州十二校 九年级第一次数学学科质量检测 说明：1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 陀螺是我国一种老少皆宜的传统健身玩具．如图是一个陀螺玩具，它是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 尺规作图：如图（1），在中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 七巧板是我国古代的一种益智玩具，深受人们喜爱．下图的七巧板是由一个边长为的正方形分割而成，在数学活动课中，小明将其拼出了一个平行四边形和一个矩形，如图甲、图乙．下列选项说法正确的是（ ） A. 甲、乙两个图形的面积与原图形的面积相等 B. 甲、乙两个图形的周长相等 C. 图乙中长方形的对角线的长度等于原正方形的对角线的长度 D. 以上说法都不对 6. 如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（ ） A. 假山上的点B到水平地面的距离为 B. 水平方向上的长度为 C. D. 抛物线与的对称轴相同 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 2025年1月14日来自江西省交通运输厅的消息显示，2024年，江西省物流规模持续扩大，完成综合交通货运量亿吨，增长．亿用科学记数法可表示为________． 8. 计算： 9. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，在某次光的折射实验活动中，小明发现，，已知水面与容器底部平行，则的度数为________． 10. 已知m，n是一元二次方程的两根，则代数式________． 11. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫作三角形数，它呈现一定规律性．若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，，第n个三角形数记为，计算，，，，由此推算，________． 12. 某个含有角的直角三角板恰好内接于直径为6的圆，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则该平行四边形与圆重叠部分的面积可能是________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程组： （2）如图，，相交于点O，且，，．求的长度． 14. 已知，求代数式的值． 15. 2025年春节期间，张三和李四相约去江西省游玩，出发之前，两人用随机抽卡片的方式决定去哪个景点，他们制作了四张背面完全一样的卡片，正面分别写有三清山、龟峰、明月山、武功山，背面朝上洗匀，放置在桌面． （1）张三抽取一张卡片，抽到写有“武功山”的卡片的概率为________； （2）张三随机抽取一张卡片后放回，李四再随机抽取一张，求两人抽到同一张卡片的概率． 16. 如下图，在的方格中，的三个顶点A，B，C都在格点上．请用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1网络中作格点P，使； （2）在图2网格中作格点P，使，且最长． 17. 为了筹备2025年新年晚会，学校决定给甲、乙两个班级购买演出服，已知甲班需购买的A种演出服每套100元，乙班需购买的B种演出服每套120元，两班共需要演出服100套． （1）若为甲、乙两班购买两种演出服的总价为11200元，则需为甲、乙两班购买演出服各多少套？ （2）若学校打算为文艺表演小组购进A、B两种演出服共180套，其中B种演出服的购买数量不超过A种演出服购买数量的2倍，则至少需要购买A种演出服多少套？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上； （3）在（2）的条件下，连接，，求的面积． 19. 图1是“团一大”纪念广场的主雕塑，图2是其正面示意图，主雕塑由独立的两个全等的平行四边形（，）基座和它们上方承托的一面团旗（四边形，）组成，测得，，雕塑总高，基座上的团旗旗柱，点E，N，L，D在同一水平线上． （1）求平行四边形基座的高度； （2）判断团旗旗柱是否与斜面平行，请通过计算说明． （参考数据：，，，结果精确到） 20. 近年来，许多大学生陆续回到家乡振兴乡村，某校就业调研组对年毕业回到家乡自主创业大学生的每月收入进行了抽样调查，以下是调研组收集的在中部省份和西部省份各名同学自主创业的月收入（单位：千元）大致情况： 在中部省份创业的名同学月收入∶，，，，，，，，，． 在西部省份创业的名同学月收入∶，，，，，，，，，． 整理数据，画出统计表和统计图，如图所示： 在西部省份创业的名同学月收入（单位：千元）扇形统计图 在中部省份创业的名同学月收入频数分布表： 月收入/千元 人数 根据以上信息，分析数据如表： 平均数 中位数 众数 方差 在中部省份创业的名同学的月收入 在西部省份创业的名同学的月收入 1.2 （1）请求出的值； （2）________，________，圆心角________； （3）小李同学今年大学毕业打算在中部省份或西部省份自主创业，如果你是小李同学，请从平均数、中位数、众数、方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议小李同学是选择中部省份创业还是选择西部省份创业． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，为直径，为弦，点是的中点，交于点，点是上一点，连接． （1）点在的延长线上，且，判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 22. 新定义：若二次函数为（，，，是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数． （1）写出的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性质； （2）若（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，求的值； （3）如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，是的图象与轴正半轴的交点，连接，，，若点为，且为直角三角形，求点的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【情景问题】 年某文化旅游节在吉安市青原山风景区拉开帷幕，小明对相关休息场地的距离进行了思考． （1）如图，在地图上，两站点的直线距离为，，为青原山和生态公园场地，且于点，于点．已知，，小明所在的站点在离站点多少千米处时，能使得地点到，两地的距离之和最短？ 【类比发现】 （2）如图，在青原山风景区中存在两条街道和，为内一定点，其中，，在街道，上分别找点、点，使的周长最短，并求出该最短周长． 【解决问题】 （3）如图，在青原山风景区内有一广场，其形状为，其中，，，，现打算修建一条休闲道，休闲道最长为多少米？ 小明在解决问题中遇到了困难，老师提示：“可以类比（2）中点在某特殊角的内部时的解法，”请你借助老师的提示，完成求解． （4）如图，若生态公园处的广场的形状为四边形，测得，，，，点，，，分别是广场边沿上的点，且，现小明打算从点出发，沿四边形区域的边缘行走，求小明行走路线的最短路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $