重庆市第一中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

秘密★启用前 【考试时间:3月28日 114:30-16:30】 重庆一中高2027届高一下第一次月考考试 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2. 作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效 3. 考试结束后,将答题卡交回. 一、单项选择题.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知向量ā-(2.3),=(x.4),若ā1(ā-),则实数x=( ) A.2 c.-& D.将 B2 2. 函数()-a(-)的对称中心可以是( ). A.(-8) B.(R D.#8) C.(0.o) 3.已知,5是两个单位向量,若向量ā在向量石上的投影向量为,则向量5与向量-的夹角为( C.150 A.30 B. 600 D 120 C.(02] A.(0.2)U(4) B. (02]U(4 n.(02) 5. 在艺术、建筑设计中,把短对角线与长对角线的长度之比为2-1的菱形称为“白银菱形”.如图,在白银 菱形ABCD中,若AD.AB=aAC2,则2=( A. 3#72 B.-2 C._ D. 2-## . C. A. 7. 已知点O是AABC的内心,若40-+C,则cos BAC= _ 9 C.1 #B.# A. D. 的面积s= _ 2 C. 105 A. 10 B. 15 D. 203 二、多项选择题.本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知复数z满足z(1+i)=6i{,则 A. 2-3V2 B. 2的虚部是3 C. z-乙-6i D. 复数2在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知函数/(x)=sinox-3cosox,>0,则下列结论中正确的是( 6 C.若#(#)0o 上单调递增,则的取值范围为(0,3] 11. 已知平面向量a.满足l-2,15-1,ā1(ā-45)则下列说法正确的是( 。 A. l-(t=R)的最小值为3 B.若 C. 若向量满足(c-ā,c-2>=30*,则的最大值是23+2 D. 若向量满足(c-ā.-2-30,则的最小值是2 三、填空题,本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 若2i-3是方程2x2+px+q=0(p,q=R)的-个根,则p+q= 13. 已知向量-(1-2)-_$n22sn共线,:2-)___ 14. 已知函数/(x)=sin'x-cos'x(0<x<2π),则关于x的方程:f(f(x))+/(x)-1)}=0的实根个数 为。 四、解答题,本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(满分13分) 已知偶函数f(x)=2sin(2x+).(>0.E(0,π).且函数f(x)的最小正周期为π (1)求与的值 (2)若g(x)=f(x)+2sin2x,求g(x)的对称轴和对称中心 16.(满分15分) 已知如图在边长为8的正三角形ABC中,D为BC的中点,E为BD的中点 (1)若点P为AABC的重心,且有AP=mAB+nAC,求m和n的值; (2)若点O在以点E为圆心,半径为1的圆上运动,且有40-xAB+yAC. 求x+y的取值范围 17.(满分15分 己知几何定理:“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形,则这三 个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图,在AABC中,内 角A,B,C的对边分别为a,b,C,现以AB,BC,AC为边向外作三个等边 B 三角形,其外接圆圆心依次为O.,0.,0,且acos(B-C)=cos A(2v3bsinC-a). (1)求A; 18.(满分17分) 锐角△ABC面积为S,角A.B.C的对边分别为a.b.c,且(b-a)sinB=2$ (1)求证:B-2A: 7 (3)C的最小值. 13 acosA 19.(满分17分) 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题:怎样在一个三角形中求一点,使它到每个项点的距离之和最 小?现已证明:在AABC中,若三个内角均小于120',当点P满足 APB=乙APC= BPC=120'时,则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小,点P被称为AABC的费马点。请根据费马点性质解决下列问题 (1)已知在△ABC中,AB=AC=4.BC-23,若点P为AABC的费马点,求AAPB的面积; 求AP-AB+AP+AB+AP-AC的最小值; 若点P为AAMC的费马点,求PA.PM+PC.(PM+PA)的值