精品解析：广东省东莞市东城十校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024－2025学年第二学期3月份教学质量自查 九年级数学 注意事项：本试卷共4页，23 小题，满分120分，考试用时120分钟． 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名等填写在答题卡上，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 依据有理数的加法法则计算即可. 【详解】解：． 故选：A 2. 中国代表队在第届巴黎奥运会中取得了金银铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形； 本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A．图形是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．图形是中心对称图形，故本选项不符合题意． C．图形是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．图形不是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 根据第七次全国人口普查数据，我国人口约为人．将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，根据科学记数法的表示形式，为整数，当原数的绝对值大于等于时，为正整数，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 4. 如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为进行解题即可． 【详解】解：， ， 又 ∴， ， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方计算，掌握计算法则准确计算是解题关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方法则进行计算作出判断． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意； D. ，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 广告公司欲招聘广告策划人员一名，对候选人进行了创新能力、综合知识、语言能力三项测试，候选人甲的得分分别为67分、70分、67分．根据实际需要，公司将创新能力、综合知识、语言能力三项测试的得分按图中扇形统计图所示比例确定，则候选人甲的得分为（ ） A. 68分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键，根据加权平均数的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：候选人甲的得分为： （分）， 故选：B． 7. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角时， 已知，则剪下来的图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，首先根据勾股定理求出，根据折叠的过程可知，把剪下来的部分展开，得到以为边的正方形，所以剪下来的图形的周长为． 【详解】解：根据折叠的性质可知， 又， ， 在中，， 根据折叠的过程可知，把剪下来的部分展开，得到以为边的正方形， 剪下来的图形的周长为． 故选：C ． 8. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对应点为， ∵， ∴． 故选：A 9. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活． 欣欣通过图1和图2中两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【详解】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 10. 已知一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. ； B. 当时，； C. 关于的方程的解是； D. 将向下平移个单位，则平移后与的交点为； 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，两直线交点求对应方程的解，掌握一次函数图象的性质，两直线交点的含义是关键． 根据函数图象经过的象限可判定的符号，根据两直线的交点可得对应方程的解，根据函数图象的平移可得图象经过的象限，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，一次函数经过第一、三象限， ∴， 一次函数图象经过点第一、二、四象限， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵两直线的交点的横坐标为， ∴结合图形，当时，，故B选项正确，不符合题意； 关于的方程的解是，故C选项正确，不符合题意； ∵一次函数图象与轴交于点，一次函数的图象过原点， ∴将向下平移个单位，则平移后与的交点为，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一组数据：，，，，的众数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此求解即可． 【详解】解：数据：，，，，中出现次数最多的数据是， 数据：，，，，的众数是． 故答案为： ． 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，移项合并同类项，化系数为即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： 故答案为：． 13. 一元二次方程的一个解为，则a＝________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故答案为：． 14. 填空：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图所示，正方形的边长为32，在和边上分别有点E、点F，且，线段上有一点G，，过点G作交于点H，点P是上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线和等边对等角得到，作点G关于的对称点M，点M在上，连接，，，过点M作于点N，然后得到当点H，P，M三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 如图所示，作点G关于的对称点M，点M在上，连接，，，过点M作于点N ∴ ∴ ∴当点H，P，M三点共线时，有最小值，即的长度 ∵正方形的边长为32， ∴ 根据题意得，四边形，，，是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴， ∴， ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，轴对称线段最值问题，角平分线的性质，解题的关键是得到当点H，P，M三点共线时，有最小值，即的长度． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算零指数幂和立方根，二次根式的乘法，再化简绝对值，最后进行加减计算． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，． （1）在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由． 【答案】（1） 如图， （2）， 理由如下： ∵平分∠BAC，， ∴． 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法解答； （2）在与中，易证，又公共角，根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出． 【小问1详解】 解：如图， 以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于E，F， 然后分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧， 两弧交于P， 作射线交于点D， 即为所求． 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了作图—基本作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本的作图方法及相似三角形的判定定理是解题的关键 18. 如图1所示，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起． 起始位置示意图如图2所示，此时测得点A到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3所示，此时测得，求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据： ，，，） 注：点C，A，D在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 在中，由勾股定理可得，在中，由可求出，由题意得，进而可得，然后根据即可求出物体上升的高度． 【详解】解：在中，由勾股定理可得： ， 在中，， ， ， 由题意得：， ， ， 物体上升的高度约为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 小明和小亮两人进行摸牌游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3（背面完全相同），现将卡片标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，最后计算小明和小亮抽得的两个数字之和． （1）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．请计算小明和小亮获胜的概率． （2）请判断第（1）问中的游戏规则是否公平；若不公平，请重新设定一个规则使得游戏公平． 【答案】（1）小亮赢的概率是，那么小明赢的概率是； （2）不公平， ∵， ∴第（1）问的游戏规则不公平； 设定新的游戏规则：若两张牌数字之和小于4则小明胜，若两张牌数字之和大于4则小亮胜，若两张牌数字之和等于4则重新抽取． 【解析】 【分析】此题主要考查了游戏公平性．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为偶数的情况占所有情况的多少即可求得小亮赢的概率，进而求得小明赢的概率，比较即可； （2）再设计一个游戏规则，使甲、乙获胜的概率相等即可． 【小问1详解】 解：列树状图得： 共有9种情况，和为偶数的有5种， 所以小亮赢的概率是，那么小明赢的概率是； 【小问2详解】 略 20. 体育中考足球绕杆运球项目的规则如下：如图所示，从起点A开始计时，沿规定路线A→B→C→⋯→L运球绕杆跑，以人、球都过终点为标准停止计时，每位考生有两次机会．假设这条路线的总路程为30米，考生乙的平均速度是考生甲的平均速度的1.25倍．如考试过程中考生乙不慎失误，浪费了2秒，但用时仍比考生甲少1秒，分别求两位考生的平均速度． 【答案】考生甲的平均速度为，考生乙的平均速度为 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出方程是关键．设考生甲的平均速度为，考试过程中考生乙不慎失误，浪费了2秒，但用时仍比考生甲少1秒，据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设考生甲的平均速度为， 由题意，得 解得. 经检验，是原分式方程的解且符合实际． . 答：考生甲的平均速度为，考生乙的平均速度为． 21. 综合与实践 【项目主题】用“数”法搬家． 【项目背景】小明最近在搬家的过程中，发现途中需要经过一个弯道，弯道的宽度有限，为保证大件家具都能顺利搬入，他展开了以下研究： 【任务一：实地勘测】 如图所示，小明将一根长为米的细木棍抵在墙上，通过测量，发现当木棍的中点 紧贴于内侧墙时，木棍恰好不能通过弯道（木棍厚度忽略不计）．此时，．小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面直角坐标系的反比例函数图象．请求出该反比例函数的解析式． 【任务二：实物测试】 如题图所示，小明将长方形箱子如此放置，箱子恰好不能过弯道，其原理与木棍通过弯道类似，已知直线与外墙分别交于点，．假设长方形箱子的长为米，宽为米，则和需要满足怎样的关系时，箱子能顺利通过？ 【答案】任务一：； 任务二： 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式的求法、等腰直角三角形的判定与性质． 过点作于点， 于点，可知为等腰直角三角形，设，根据勾股定理可得，解得，同理可得：，则点的坐标为，设该反比例函数的解析式为，把点的坐标代入求出的值即可； 由任务一知：当直线与外墙的夹角为且米时，箱子能顺利通过，因为，所以是等腰直角三角形，所以可得，同理可得，因为，所以可得． 【详解】任务一、解： 如图所示， 过点作于点， 于点， ，， 为等腰直角三角形， 设， 米，点为的中点， 米， 在中，， 即， 解得：，(舍去)， ， 同理可得：， 点， 设该反比例函数的解析式为， 将点代入，得：， 该反比例函数的解析式为； 任务二、解： 由任务一知：当直线与外墙的夹角为且米时，箱子能顺利通过， 在长方形中，，， ， 为等腰直角三角形， ， 同理可得:， ， 即． 五、解答题（三）：本大题共2 小题，第22题13分，第23 题14分，共27分． 22. 【知识技能】 如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至， 连接． （1） 求证：． 【拓展探索】 （2） 如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若： ①求证： ②求出的值． 【答案】（1）证明： ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴； （2）①证明： ∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． ， ∵，， ② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据旋转，推出进而得到，求出，即可得出结论； （2）①证明，得到，等量代换，即可得出结论； ②设，，根据，得到进而得到求出，结合①，得到，即可． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②解：设，， 由①得 即： ∴ 解得 或（舍去）， 即 由①得 23. 【问题背景】 如图1所示，点T是抛物线图象上的动点，以点T为圆心的与x轴相切． 设点T的横坐标为m，的半径为r． 【构建联系】 （1）当时，与y轴交于P、Q两点， 其中，求的长． （2）求证：无论m为何值，始终经过y轴上的一个定点． 【深入探究】 （3）如图2所示，点A在y轴上，，以线段为边作正方形．当与线段有交点时，求正方形面积S的范围． 【答案】（1）3； （2）证明：当时， 过点T作轴于点M，轴于点 N， 连接． ∴，， ∵与x轴相切，轴， ， 在中，， ①当时，， ； ∴； ②当时， ∴； ∴始终经过y轴上的定点． （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，即：点T的横坐标为2，得，过点T作轴于点M，轴于点N，连接，由与x轴相切，轴，可知，，再根据垂径定理，及勾股定理即可求解； （2）当时，过点T作轴于点M，轴于点 N， 连接．得，，由与x轴相切，轴，可知，再根据垂径定理，及勾股定理 ，当时，，得；当时，， ，即可得始终经过y轴上的定点； （3）由（2）知，得，分两种情况，①当时，此时；②当时，此时；分别找到临界位置时正方形的面积即可求解． 【详解】（1）解：当时，即：点T的横坐标为2，则， ， 如图所示，过点T作轴于点M，轴于点N，连接， ∴，， ∵与x轴相切，轴， ， ， 在中，， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知 ， ， ①当时，此时． 若点A与点Q重合，则 ， ∴当与线段有交点时，； ②当 时， 由（2）知 若点A与点Q重合，则． 即 解得 ， ，此时， 当点T在y轴上时，，， 故 ； 综上所述， 或． 【点睛】本题考查圆与二次函数综合，切线的性质，垂径定理，勾股定理，二次函数的性质等知识点，分类讨论，找到临界位置是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期3月份教学质量自查 九年级数学 注意事项：本试卷共4页，23 小题，满分120分，考试用时120分钟． 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名等填写在答题卡上，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 2 B. C. 8 D. 2. 中国代表队在第届巴黎奥运会中取得了金银铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 3. 根据第七次全国人口普查数据，我国人口约为人．将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 广告公司欲招聘广告策划人员一名，对候选人进行了创新能力、综合知识、语言能力三项测试，候选人甲的得分分别为67分、70分、67分．根据实际需要，公司将创新能力、综合知识、语言能力三项测试的得分按图中扇形统计图所示比例确定，则候选人甲的得分为（ ） A. 68分 B. 分 C. 分 D. 分 7. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角时， 已知，则剪下来的图形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活． 欣欣通过图1和图2中两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. ； B. 当时，； C. 关于的方程的解是； D. 将向下平移个单位，则平移后与的交点为； 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一组数据：，，，，的众数为________． 12. 不等式的解集是______． 13. 一元二次方程的一个解为，则a＝________． 14. 填空：_________． 15. 如图所示，正方形的边长为32，在和边上分别有点E、点F，且，线段上有一点G，，过点G作交于点H，点P是上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，在中，． （1）在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由． 18. 如图1所示，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起． 起始位置示意图如图2所示，此时测得点A到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3所示，此时测得，求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据： ，，，） 注：点C，A，D在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 小明和小亮两人进行摸牌游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3（背面完全相同），现将卡片标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，最后计算小明和小亮抽得的两个数字之和． （1）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．请计算小明和小亮获胜的概率． （2）请判断第（1）问中的游戏规则是否公平；若不公平，请重新设定一个规则使得游戏公平． 20. 体育中考足球绕杆运球项目的规则如下：如图所示，从起点A开始计时，沿规定路线A→B→C→⋯→L运球绕杆跑，以人、球都过终点为标准停止计时，每位考生有两次机会．假设这条路线的总路程为30米，考生乙的平均速度是考生甲的平均速度的1.25倍．如考试过程中考生乙不慎失误，浪费了2秒，但用时仍比考生甲少1秒，分别求两位考生的平均速度． 21. 综合与实践 【项目主题】用“数”法搬家． 【项目背景】小明最近在搬家的过程中，发现途中需要经过一个弯道，弯道的宽度有限，为保证大件家具都能顺利搬入，他展开了以下研究： 【任务一：实地勘测】 如图所示，小明将一根长为米的细木棍抵在墙上，通过测量，发现当木棍的中点 紧贴于内侧墙时，木棍恰好不能通过弯道（木棍厚度忽略不计）．此时，．小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面直角坐标系的反比例函数图象．请求出该反比例函数的解析式． 【任务二：实物测试】 如题图所示，小明将长方形箱子如此放置，箱子恰好不能过弯道，其原理与木棍通过弯道类似，已知直线与外墙分别交于点，．假设长方形箱子的长为米，宽为米，则和需要满足怎样的关系时，箱子能顺利通过？ 五、解答题（三）：本大题共2 小题，第22题13分，第23 题14分，共27分． 22. 【知识技能】 如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至， 连接． （1） 求证：． 【拓展探索】 （2） 如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若： ①求证： ②求出的值． 23. 【问题背景】 如图1所示，点T是抛物线图象上的动点，以点T为圆心的与x轴相切． 设点T的横坐标为m，的半径为r． 【构建联系】 （1）当时，与y轴交于P、Q两点， 其中，求的长． （2）求证：无论m为何值，始终经过y轴上的一个定点． 【深入探究】 （3）如图2所示，点A在y轴上，，以线段为边作正方形．当与线段有交点时，求正方形面积S的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $