圆的双切图和切割图常见题型模型练-2025年中考数学二轮复习备考

圆的双切图和切割图 一、解答题 1．如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E. (1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值. 3．如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长 4．如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G． （1）求证：DF∥AO； （2）若AC=6，AB=10，求CG的长． 5．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E． （1）证明：OD∥BC； （2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切； （3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长． 6．如图，P是外的一点，是的两条切线，A、B是切点，交于点F，延长交于点C，交的延长交于点Q，连结． (1)求证：； (2)设D为的中点，交于点E，若的半径为3，，求的值． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）求证： （3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE． 9．如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 10．如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 11．如图，点C在以为直径的上，与过点C的切线垂直，垂足为点D，交于点E． (1)求证：平分； (2)直线交于点F，若，求的值． 12．如图1，内接于以为直径的，点D在上，过点C的切线于点E，直径交于点M． (1)求证： ； (2)如图2，若，求的值． 13．如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，以为半径的经过点D，与交于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 14．为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，垂直于过C点的切线，垂足为D，的延长线交直线于点E，与相交于点G． (1)求证：； (2)若=，求的值． 参考答案 1．(1)证明见解析； (2)． （1）证明：连接，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 的长为． 2．（1）证明见解析；（2）sinE=. (1)连接OA， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAO=90°， ∵OA＝OB，OP⊥AB于C， ∴BC＝CA，PB＝PA， ∴△PBO≌△PAO， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴PB为⊙O的切线； （2）连接AD， ∵BD为直径，∠BAD=90°，由（1）知∠BCO=90°， ∴AD∥OP， ∴△ADE∽△POE， ∴， 由AD∥OC得AD=2OC， ∵tan∠ABE=， ∴， 设OC=t，则BC=2t，AD=2t， ∵∠OBC+∠CBP=∠OBP=90°，∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠BOC=∠PBC， 又∵∠BCO=∠PCB=90°， ∴△PBC∽△BOC， ∴， ∴PC=2BC=4t，∴OP=PC+OC=5t， ∴， 可设EA=2a，EP=5a，则PA=3a， ∵PA=PB，∴PB=3a， ∴sin∠E==. 3．（1）见解析；（2）BE的长为． 解：（1）证明：连OD，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°， 又∵∠CDA=∠CBD， 而∠CBD=∠1， ∴∠1=∠CDA， ∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：由（1）得CD是的切线， 又为的切线， ，， ， ． 又， ． ， ， ，． ， ， ． 在中，设，则，， 由勾股定理得， 解得． 即BE的长为． 4．见解析 （1）证明：连接OD． ∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点， ∴AC=AD，∵OC=OD， ∴OA⊥CD， ∴CD⊥OA， ∵CF是直径， ∴∠CDF=90°， ∴DF⊥CD， ∴DF∥AO． （2）过点作EM⊥OC于M， ∵AC=6，AB=10， ∴BC==8， ∴AD=AC=6， ∴BD=AB-AD=4， ∵BD2=BF•BC， ∴BF=2， ∴CF=BC-BF=6．OC=CF=3， ∴OA==3， ∵OC2=OE•OA， ∴OE=， ∵EM∥AC， ∴， ∴OM=，EM=，FM=OF+OM=， ∴， ∴CG=EM=2． 5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） （1）如图，连接OC， 在△OAD和△OCD中， ， ∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠ADO=∠CDO， 又AD=CD， ∴DE⊥AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， ∴OD∥BC； （2）∵tan∠ABC==2， ∴设BC=a、则AC=2a， ∴AD=AB=， ∵OE∥BC，且AO=BO， ∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a， 在△AED中，DE==2a， 在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2， OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2， ∴AO2+AD2=OD2， ∴∠OAD=90°， 则DA与⊙O相切； （3）如图，连接AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD=∠BAD=90°， ∵∠ADF=∠BDA， ∴△AFD∽△BAD， ∴，即DF•BD=AD2①， 又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴，即OD•DE=AD2②， 由①②可得DF•BD=OD•DE，即， 又∵∠EDF=∠BDO， ∴△EDF∽△BDO， ∴， ∵BC=1， ∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=， ∴， ∴EF=. 6．(1)见解析 (2) （1）证明：如图，连接， ∵是的两条切线，A、B是切点， ∴，且平分， ∴． ∵是直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连结，如图， ∵∵是的两条切线，A、B是切点， ∴． 在中，， ∴． 由，得． 在中，， ∴， 由，得， 解得， ∴． ∵， ∴． 又∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 7．（1）见解析；（2）见解析；（3）45 （1）证明：连接OE，OP， ∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点， ∴AB垂直平分EP， ∴PB＝BE， ∵OE＝OP，OB＝OB， ∴△BEO≌△BPO（SSS）， ∴∠BEO＝∠BPO， ∵BP为⊙O的切线， ∴∠BPO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠OEA， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∴． （3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点， ∴EP⊥AB， ∵CG⊥AB， ∴CG∥EP， ∵∠ACB＝∠BEO＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠EAQ＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE， ∴△ACE≌△AQE（AAS）， ∴CE＝QE， ∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°， ∴∠CEH＝∠AHG， ∵∠AHG＝∠CHE， ∴∠CHE＝∠CEH， ∴CH＝CE， ∴CH＝EQ， ∴四边形CHQE是平行四边形， ∵CH＝CE， ∴四边形CHQE是菱形， ∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝， ∵AC＝15， ∴AG＝9， ∴CG＝＝12， ∵△ACE≌△AQE， ∴AQ＝AC＝15， ∴QG＝6， ∵HQ2＝HG2+QG2， ∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62， 解得：HQ＝， ∴CH＝HQ＝， ∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝×6＝45． 8．(1)见解析 (2) （1）证明：连接OE， ∵∠C＝90°， ∴∠2＋∠AEC＝90°， 又∵OA＝OE， ∴∠1＝∠OEA， ∵∠1＝∠2， ∴∠AEC＋∠OEA＝90°， 即OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：过点E作EM⊥AB，垂足为M， ∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°， ∴△ACE∽△AED， ∴， 即， ∴AE＝， 由勾股定理得， CE＝＝4＝EM， DE＝＝， ∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BEA， ∴＝， 设BD＝x，则BE＝2x， 在Rt△BOE中，由勾股定理得，OE2＋BE2＝OB2， 即52＋（2x）2＝（5＋x）2， 解得x＝， ∴S△BDE＝BD•EM＝××4＝． 9．(1)见详解 (2) （1）证明：连接， ， ， ， ， 又是的直径， ， ， ， 即， ， 是半径， 是的切线； （2）解：，且， 设，， ， ， 又，， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 10．(1)见解析 (2)6 （1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．(1)见解析 (2) （1）证明：如图，连接， ， ∵为的切线，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接，设交于， ， ∵，为的中点， ∴为的中点， ∴垂直平分， 设，， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∵平分， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 由解得， ∵， ∴， ∴． 12．(1)见解析 (2) （1）证明：连接，，如图所示： ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设与相交于点H． ∵为直径， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∵ =， ∴， ∴在中， ． 13．(1)见解析 (2) （1）解：连接，如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以为半径的经过点D， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 14．(1)见解析 (2) （1）解：连接，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：过点O作于点H， 则四边形  是矩形， 由（1）知：， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $$