第7章 复数 章末整合提升 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

一、复数的概念 1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提． 2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法和途径，在两个复数相等的充要条件中，注意当a，b，c，d∈R时，由a＋bi＝c＋di才能推出a＝c且b＝d，否则不成立． (13分)(规范答题)已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值： (1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0. [审题指导]　(1)若z是实数，则其虚部等于0；(2)若z是虚数，则其实部等于0；(3)若z是0，则实部和虚部都等于0. [规范解答]　由a2－a－6＝0， 解得a＝－2或a＝3.(1分) 由a2＋2a－15＝0， 解得a＝－5或a＝3. (2分) 由a2－4≠0，解得(3分) (1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0， 得a＝－5或a＝3， ∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．(6分) (2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0， 得a≠－5且a≠3且a≠±2， ∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．(9分) (3)由a2－a－6＝0且得a＝3， ∴当a＝3时，z＝0. (13分) 二、复数的四则运算 复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化． 1．在运算的过程中常用的公式有： (1)i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． (2)(1±i)2＝±2i. (3)3＝－1. 2．在解答与复数的模有关的问题时，重视应用下列公式： (1)z·＝|z|2＝||2. (2)|z1·z2·…·zn|＝|z1|·|z2|·…·|zn|，|zn|＝|z|n. (3)＝. [题组训练] 1．设z＝＋2i，则|z|＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析　z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝＋i， 所以|z|＝＝. 答案　A 2．若是复数z的共轭复数，z(1－i)＝1＋i(其中i为虚数单位)，则＝(　　) A．1－i B．1＋i C．－i D．i 解析　因为z(1－i)＝1＋i，所以z＝＝＝i，所以＝－i. 答案　C 3．(多选题)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　) A．z2＝0 B．|z|＝ C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为1 解析　由题意得z＝＝＝1＋i， 故z2＝(1＋i)2＝2i，故A错误； |z|＝＝，B正确； z的共轭复数为1－i，C错误； z的虚部为1，D正确． 故选BD. 答案　BD 4．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 解析　由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i. 故选B. 答案　B 三、复数的几何意义 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论． [题组训练] 5．若复数z满足z＝i2 024＋8i2 025，则复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为z＝i2 024＋8i2 025， 所以z＝＝＝＝2＋i， 所以＝2－i，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选D. 答案　D 6．(多选题)已知复数z0，z满足i＝1＋i，＝1，则(　　) A．z0＝3＋i B．z0·0＝10 C．在复平面内z0对应的向量为 D.的最小值为－1 解析　因为i＝1＋i， 所以z0＝＋2＝＋2＝3－i，A错误； 所以0＝3＋i，所以z0·0＝＝10，B正确； 所以在复平面内z0对应的向量为，C正确； 设复数z在复平面上的对应点为P， 因为|z|＝1，所以点P的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 又复数z0在复平面上对应点Z0的坐标为， 的几何意义为点Z0，P的距离， 所以的最小值为－1＝－1，D正确． 故选BCD. 答案　BCD 7．(多选题)设复数z1＝＋i，z2＝x＋yi(x，y∈R)，z1，z2对应的向量分别为1，2(O为坐标原点)，则(　　) A．|z1|＝2 B．若1∥2，则x＋y＝0 C．若1⊥2，则z1z2＝0 D．若|z2＋z1|≤，则|z2－2i|的最大值为3 解析　对A，|z1|＝＝2，故A正确； 对B，z1＝＋i对应的坐标为(，1)，z2＝x＋yi对应的坐标为(x，y)，因为1∥2，故y－x＝0，即x＝y，故B错误； 对C，若1⊥2，则x＋y＝0，即y＝－x，故z1z2＝(＋i)(x－xi)＝2x－2xi≠0，故C错误； 对D，若|z2＋z1|≤，即|(x＋)＋(y＋1)i|≤，其几何意义为(x，y)到(－，－1)的距离小于等于，又|z2－2i|的几何意义为(x，y)到(0,2)的距离，故|z2－2i|的最大值为＋＝3，故D正确． 故选AD. 答案　AD 学科网（北京）股份有限公司 $$