7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 学业标准 素养目标 1.结合加减运算法则了解复数代数形式的加、减运算法则．(重点) 2．结合向量的加减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义．(难点) 1.通过学习复数的加法和减法运算，培养学生数学运算素养． 2．通过学习复数加法和减法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养. 导学1 复数的加法和减法 已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ [提示]　两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 复数的加法满足交换律和结合律吗？ [提示]　满足． 对问题2以交换律为例进行说明． [提示]　z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i， z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i， ∴z1＋z2＝z2＋z1. ◎结论形成 1．复数的加、减法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数加法的运算律 对于任意的z1，z2，z3∈C有 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 导学2 复数加法和减法的几何意义 如图，， 分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应． 试写出，及＋，－的坐标． [提示]　＝(a，b)，＝(c，d)， ＋＝(a＋c，b＋d)， －＝(a－c，b－d)． 向量＋，－对应的复数分别是什么？ [提示]　向量＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量－对应的复数是a－c＋(b－d)i，也就是z1－z2. ◎结论形成 1．复数加、减法的几何意义 如上图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是. 2．复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离|Z1Z2|＝||＝ . 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　) (2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(　　) (3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　) (4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为(　　) A．－1－5i　　　　　 B．－1＋5i C．3－4i D．3＋4i 解析　＝－＝(－2－3i)－(－1＋2i) ＝－1－5i. 答案　A 3．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy＝________. 解析　由题意得x＋y＋(x－y)i＝2， ∴解得∴xy＝1. 答案　1 4．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________. 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，∴a＝0，b＋3≠0.又∵|z|＝3， ∴b＝3，∴z＝3i. 答案　3i 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋i)＋(1＋i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． [解析]　(1)(－2＋3i)＋(5－i) ＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋i)＋(1＋i)＝(－1＋1)＋(＋)i＝2i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. 复数的加、减运算的技巧 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．　 [触类旁通] 1．计算下列各题． (1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)； (2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 021－2 022i)． 解析　(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 019－2 020＋2 021)＋(－2＋3－4＋5－…－2 020＋2 021－2 022)i＝1 011－1 012i. 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)表示的复数； (2)对角线表示的复数； (3)对角线表示的复数． [解析]　(1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i. (2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. [母题变式] 　例2的条件不变，求向量表示的复数． 解析　因为＝＋，由例2的解析可知，表示的复数为－3－2i，表示的复数为1＋6i，所以向量表示的复数为(－3－2i)＋(1＋6i)＝－2＋4i. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．　 [触类旁通] 2．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　) A．外心　　　　　　　　 B．内心 C．重心 D．垂心 解析　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心． 答案　A 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. [解析]　解法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2， ∴|z1－z2|＝. 解法二　作出z1，z2对应的向量，， 使＋＝， ∵|z1|＝|z2|＝1，又，不共线(若，共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形． 又|z1＋z2|＝， ∴∠Z1OZ2＝90°， 即四边形OZ1ZZ2为正方形， 故|z1－z2|＝. [素养聚焦]　借助复数的综合运算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 与复数模有关的几个常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点． (1)四边形OACB为平行四边形． (2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形． (3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形． (4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．　 [触类旁通] 3．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解析　解法一　设z1＝a＋bi， z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，① (a－c)2＋(b－d)2＝1.② 由①②得2ac＋2bd＝1. ∴|z1＋z2|＝ ＝＝. 解法二　设O为坐标原点， z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB是边长为1的正三角形， ∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长， ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝＝. 知识落实 技法强化 (1)复数代数形式的加、减运算法则． (2)复数加法、减法的几何意义． (3)复平面上两点间的距离公式. 解题过程中常忽略模的几何意义. 学科网（北京）股份有限公司 $$