7.2.1 复数的加，减运算及其几何意义-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

2ǎ+b=3+2i 此时=21，由韦达定理得 (2)由(1)可得AB1=√2，|BC1=√10， 0b=6i |AC=2√2，.AB12+1AC12=|BC2, b=3. △ABC为直角三角形. (2)复数之满足1≤|z≤|a+bi,即1≤ (3)由(2)可知，三角形ABC为直角三 |z≤3√2， 角形，∠A为直角， 不等式之≥1的解集是圆|之=1的外 部（包括边界）所有点组成的集合， ∴S=号A恋AC=2×w2×2=2 不等式之≤3√2的解集是圆|之=3√2 核心素养培优·拓展提升 的内部（包括边界）所有点组成的集合， 1.CD2.B3.44.2√2 所以所求，点Z的集合是以原，点为圆心， 5.解：1=cosa+isin a,z2=cosB-isin, 以1和3√2为半径的两个圆所夹的圆 .z1-z2=(cos a-cos B)+i(sin a+ 环，包括边界」 simm=高+导， S围环=x[(3√2)2-12]=17元. cos a-cos -13 5 7.2复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及 sin a+sin 其几何意义 两式平方相加得2-2cos(a十B)=1, 核心素养达标·夯实基础 i.cos( 1.C 2.A 3.A 4.C 5.ACD 6.ABC 7.A8.}+79.号+3i10.1,3] 6据：号+ 11.解：之=之1-2=(3x十y)+（y-4x)i 》+( [(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+ 设1，之2，之1十22对应的向量分别为 y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+ Oi,o谚，0心，因为1Oi1=1Oi1=1O心1=1， 3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i, A,B,C三点均在以原点为圆心，1为 (5x-3y=13, ,z=13-2i,. 半径的圆上，如图所示，由平行四边形法 x+4y=-2, 则和余弦定理易得 解得2， y=-1, cos∠A0C=1Oi2+10C2Ad 210AOC .%1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, 急=(-1×4-2×2)-(5×2-3×1)i= 2, 一8-7i. 复数的加减法，相当于多项式加减 争 总 结 法中的合并同类项，即实部与实部 律 相加减，虚部与虚部相加减。 12.解：(1)AB对应的复数为(2+i)-1= 故∠AOC=60°，.□OACB为菱形，且 1+i. △BOC,△COA都是等边三角形，即 BC对应的复数为(-1+2i)-(2+i)= ∠AOB=120°. -3+i. 又O心与x轴正半轴的夹角为60°，故点A AC对应的复数为(-1+2i)-1=-2+2i. 在x轴上，即A(1,0),而xB=1O1· 167 c0s120°=- 2y%=Oi·sin120°-3， (m-2<0, 2 2 所以 m+2∠0， 解得-2<m<2. 点B的坐标为(-是，），点A与点 m的取值范围为（一2,2）. B位置互换后，A(-,受)，B1,0. 核心素养培优·拓展提升 1=1, 1.D2.ACD3.D4.3 =+ 21 5.(1)解：设之1=a十bi,(a,b∈R,且b≠0)， 2=1, 则2=十1=(a+bi)十，1 --+ 1 aTbi=(a+ a-bi bi(abi)(a-bi) 3. =(a+)+g=(a+。4F)+ 7.2.2 复数的乘除运算 b 核心素养达标·夯实基础 (ba+6)i. 1.C2.B3.C4.A5.BD6.AC b 因为是实数，所以6一a十=0，即 7.D8.69.2-i10.21og52-2 1.解：原或=[1+)·+[1 。）… i)2].1--8(3-4)(1+i)2(1+D 因为b≠0，所以a2十b2=1,即1|=1， 1+i (3-4i)i 且2=2a, (2i)3·i+(-2i)3·(-i) 由-1<<1，得-12a<1,解得-2≤ 8·2i,(1+D=8+8-16-16i=-16i (2》原式=42+}+=16i-i i 即的实那的取位范国为[一之] i=14i (2)证明：.a2+b=1, 规 题中既有加、减、乘、除、乘方运算，又有括 =1-x=1-a-6i=1-a2-6-2bi 总 号，同实数的运算顺序一样，先算括号内 w=1+名=i+a+6i=(1+a)2+B 结 的，再算乘方、乘、除，最后算加、减。 bi a+1 12.解：(1)由复数1=1+i,之2=m 2i(m∈R), 因为-2<a≤分b≠0，所以w1 1 1一21 则之12=(1十i)(m一2i)=m+2十 为纯虚数， (m一2)i,由之2为纯虚数， (3)解：2-w2=(a十a千)+(6- m-2≠0所以m=一2. [m+2=0 所以 a年ei-(-a7 (2)丝=m-2i=（m-2)(1-D 21 1+i (1+i)(1-i) =2a+(b-b)i+ (a+1)2 m-2-(m+2)i 2 =2a+,1-a2 (a+1)2=2a+1-a a+1 由兰在复平面上对应的，点位于第三象限 =2a(a+1)+(1-a)_2a2+a+1 21 a+1 a+1 168 =1+2a2 'a+1 =1+2(a+1)2-4a-2 a+1 =1+2(a+1)2-4(a+1)+2 a+1 =1+2(a+1)-4+2 +1 -2a+D+a子-3a+1e[合2]， 当2a+1）=g子1时，即a=0时，-云 取最小值1. 7.3*复数的三角表示 1.D2.B3.D4.A5.BD 6.ABC解析：因为e=cosx+isinπ= 一1，故er十1=0，故A正确.er=cosx十 isin x,e-is cos(-x)isin(-z)= cosx-isin,所以e+eiz=2cosx, er-ei证=2 isin x,故C正确，D错误.而 (侵+)=（吾+}- (e3i)2o22=e74d=cos674π+isin674π= 1.故B正确，故选ABC. 7.号(cos暂+in）解折：-1十 1 =-(合别 =2(cos+isin） 8.cos60°+isin60° 日-解析： 号+9i=cos60+isin60, 3(cos 120-isin 300)-(cos 60+ 之 isin60)÷3(cos120°+isin120) =专cs(60-1200+5m(60-1209] =号[c0s(-60)+isin(-60] 66 9.b-ai、第七章复数 7.2复数的四则运算 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 入素养目标 1.理解复数加法和减法的概念及运算公式； 2.理解加法运算律，并能与实数的运算律进行比较； 3.理解复数加法与减法的几何意义，并加以运用 核心素养达标 夯实基础 一、选择题 6.(多选)下列说法正确的有() 1.复数之1=a十4i,x2=一3十bi,其中a,b为实 A.设，2是两个虚数，若十2和均为 数，若之1十2为实数，之1一2为纯虚数，则 实数，则之，2是共轭复数 a+b=() B.若1一2=0，则之1与2互为共轭复数 A.6 B.-6 C.设1,2是两个虚数，若之1与2是共轭 C.-7 D.7 复数，则x1十之2和之12均是实数 2.若之十之=2，则|x+22的实部可能是( D.若1十之2∈R,则之1与2互为共轭复数 A.3 B.1 C.3i D.i 7.已知复数1=1一i,2=2-i,=2十2i在复 3.若一个复数的实部和虚部相等，则称这个复 平面内对应的点分别为A,B,C,且O为复平 数为“等部复数”，若复数之=一a十2i(其中 面内的原点，则下列论述错误的是( a∈R)为“等部复数”，则复数之-2ai在复平 A.之1+2的虚部为一2i 面内对应的点在() B.2一之3为纯虚数 A.第一象限 B.第二象限 C.OA⊥OC C.第三象限 D.第四象限 D.以|OA|,|OB,|OC为三边长的三角形 4.已知i为虚数单位，复数之满足 为钝角三角形 〔之+2z=9-4i ,则1x=() 二、填空题 [x-z-8i 8.若复数之满足3之十之=1十i,其中i是虚数单 A.25B.9 C.5 D.3 位，则之= 5.(多选)(3+2i)一(1+i)表示() A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离 9.若复数之满足之十|z=5十√3i,则复数之= B.点(3,2)与点(-1，一1)之间的距离 C.点(2,1)到原点的距离 10.已知复数之满足|z=1,则|之一2i的取值 D.坐标为（一2，一1）的向量的模 范围为 36·数学· 课时夯基过关练了 三、解答题 12.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别 11.已知x1=(3.x+y)+(y-4x)i,2=(4y 为1,2+i,-1+2i. 2x)-(5x十3y)i(x,y∈R),设之=1-z2, (1)求A方，BC,AC对应的复数； 且之=13-2i,求1,2. (2)判断△ABC的形状； (3)求△ABC的面积. 核心素养培优 拓展提升 1.（多选)已知i为虚数单位，下列说法中正确 A.2√3-2 B.2√3+2 的是() C.√3-1 D.√5+1 A.若复数之满足|之一i=√5，则复数之对应 3.复数1=一1十2i,2=1-i,3=3-2i,它们 的点在以(1,0)为圆心，√5为半径的圆上 所对应的点分别为A,B,C,若O心=xOA+ B.若复数之满足之+z=2十8i,则复数之= yOB(x,∈R),则 15+8i C.复数的模实质上就是复平面内复数对应 4.已知1,2∈C,|1十2|=2√2，|1|=2， 的点到原点的距离，也就是复数对应的 |之2|=2，则|之1一之2|为 向量的模 5.已知之1=cosa十isin a,z2=cos3-isinβ且 D.复数1对应的向量为OZ,复数2对应 之-=是+最求casa十0的值， 的向量为OZ2,若|之1十2|=之1一2，则 oZ⊥oZ, 2.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德 费马(1601一1665)于1643年提出的平面几 何极值问题：“已知一个三角形，求作一点， 使其与此三角形的三个顶点的距离之和最 6.已知==1，十-+，求复 小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知 数之1，之2及之1一2· 对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马 点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则 使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点 P即为费马点.根据以上材料，若之∈C,则 |之-2|+|之+2|+之+2i的最小值为() ·数学· 37