6.3.1 平面向量基本定理 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 学业标准 素养目标 1.了解平面向量基本定理及其意义．(难点) 2．了解向量基底的含义．在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点) 1.通过定理的推导过程的学习，培养逻辑推理等核心素养． 2．借助平面向量基本定理及其应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学 平面向量基本定理 在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？ [提示]　可以． 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？ [提示]　可以．根据是数乘向量和平行四边形法则． 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ [提示]　不一定．当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． ◎结论形成 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 把不共线{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)基底中的向量不能为零向量．(　　) (2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(　　) (3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下不能作为基底的是(　　) A．{e1，e2}　　　　　　　 B．{e1＋e2,3e1＋3e2} C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2} 答案　B 3．若是△ABC的中线，已知＝a，＝b，若{a，b}为一个基底，则＝________. 答案　(a＋b) 4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________． 解析　由图可知，＝4e1＋3e2. 答案　4e1＋3e2 (多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A.与　　　　　　 B.与 C.与 D.与 [解析]　A中与不共线；B中＝－，则与共线；C中与不共线；D中＝－，则与共线． 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故AC满足题意． [答案]　AC 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则　 [触类旁通] 1．(多选题)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选A，C，D. 答案　ACD (1)如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示. (2)如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，. [解析]　(1)解法一　因为＝t， 所以＝＋＝＋t ＝＋t(－)＝＋t－t ＝(1－t)＋t. 解法二　由于＝－，＝－，＝t. 所以－＝t(－)， 所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t. (2)因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. [母题变式] 若把例2(2)中的基底{，}换为{，}，即若＝a，＝b，试用a，b表示，. 解析　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别为DC，AB的中点， 所以＝－2＝－2a，＝－＝＋－＝2＋－＝＋＝a＋b. 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至可用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　 [触类旁通] 2．如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量. 解析　易得＝＝b， ＝＝a， 由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a. 由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b. 所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b， 由于{a，b}为基底， 所以解得 所以＝a＋b. 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求. [解析]　＝＋A＝＋ ＝＋(－)＝a＋b. 因为与共线， 故可设＝t＝a＋b. 又与共线，可设＝s， ＝＋s＝＋s(－) ＝(1－s)a＋sb， 所以解得 所以＝a＋b. [母题变式] 若例3中“点M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“点M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”，求BP∶PN的值． 解析　设＝a，＝b， ＝－＝a－b， ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ ＝a＋b， 因为O，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使＝λ＝a－λb， ＝μ＝a＋b， 所以＝＋＝－ ＝a＋b， 又＝b，所以解得 所以＝，即BP∶PN＝4∶1. [素养聚焦]　通过平面向量基本定理的应用，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 1．任意一向量基底表示的唯一性的理解 条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2 条件二 a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2 结论 2.任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．　 [触类旁通] 3．如图，在直角梯形ABCD中，P是BC的中点，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，若＝m＋n，则＝(　　) A. B. C. D．2 解析　因为P是BC的中点， 所以＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋＋×＝＋， 又＝m＋n，且，不共线， 所以m＝，n＝，所以＝. 故选C. 答案　C 知识落实 技法强化 (1)平面向量基本定理． (2)用基底表示向量． (3)平面向量基本定理的应用. 解题过程中易忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 学科网（北京）股份有限公司 $$