第02讲 轴对称和旋转（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版2024）

第02讲 轴对称和旋转 【题型1 轴对称图形的识别】 【题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【题型3 台球桌面上的轴对称问题】 【题型4 轴对称中的光线反射问题】 【题型5 折叠问题】 【题型6 找旋转中心、旋转角、对应点】 【题型7 利用旋转的性质求解】 【题型8 旋转综合】 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 【题型1 轴对称图形的识别】 【典例1】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】甲骨文是刻写在龟甲和兽骨上的文字，为我们提供了了解商代历史的珍贵资料．下面是四个甲骨文字，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【典例2】如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【变式2-1】如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 【题型3 台球桌面上的轴对称问题】 【典例3】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式3-1】如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式3-2】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【题型4 轴对称中的光线反射问题】 【典例4】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【题型5 折叠问题】 【典例5】如图，将一张长方形纸条折叠，若比大，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式5-1】如图，将长方形纸条折叠．若，则的度数是 ． 【变式5-2】将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，则 ． 知识点2：旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【题型6 找旋转中心、旋转角、对应点】 【典例6】如图，如果经过旋转后能与重合，那么（   ） A．点是旋转中心，按逆时针方向旋转B．点是旋转中心，按顺时针方向旋转 C．点是旋转中心，按逆时针方向旋转D．点是旋转中心，按顺时针方向旋转 【变式6-1】如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【变式6-2】如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式6-3】如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【题型7 利用旋转的性质求解】 【典例7】如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为 ． 【变式7-1】如图，将绕点A顺时针旋转后得到．如果，那么的度数为 ． 【变式7-2】如图，在中，，过点O作于点O，，连接．将绕点O按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图是几种马车轮毂（毂：指车轮中心的圆木）的图案，图案绕中心旋转后能与原来的图案重合的是（    ） A．  B． C．   D． 【题型8 旋转综合】 【典例8】如图，已知直线交直线l分别于点A，B，，，平分交于点C，过点B作于点D．将绕点C按顺时针方向以每秒2度的速度旋转得到，同时绕点A按逆时针方向以每秒4度的速度旋转得到，旋转时间为t秒，当时首次落在的延长线上时，两个三角形都停止转动． (1)比较大小： __________．（填“>”或“<”或“＝”） (2)若直线l平分时，求的度数． (3)在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得与的某一边平行？若存在，求旋转时间t的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板EDC，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．    (1)如图2，当为的角平分线时，直接写出此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系． (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时，请直接写出此时t的值． 【变式8-2】将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．    (1)求的度数； (2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①如图（2），当旋转至，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 【变式8-3】如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当α为 度时， ，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 一、单选题 1．下列关于体育运动的图标中，为轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 4．小亮将沿直线向下翻折，得到如图所示的关于直线l对称的图形，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5.如图， 将绕点O逆时针方向旋转 得， 若， 则 的度数是（   ） A． B． C． D． 6．图1是一条长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3．若图1中，则图3中的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 8．如图，将图形①以点O为旋转中心，每次顺时针旋转，则第2025次旋转后的图形与 （填序号）相同． 9．如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，则线段的长为 ． 10．将长方形纸片沿折叠得到如图所示的图形，已知，则的度数是 ． 11．按如图的方法折纸， ． 三、解答题 12．折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 13．如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图2，当平分时，求t的值； (2)当时，画出相应的图形，并求t的值； (3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 轴对称和旋转 【题型1 轴对称图形的识别】 【题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【题型3 台球桌面上的轴对称问题】 【题型4 轴对称中的光线反射问题】 【题型5 折叠问题】 【题型6 找旋转中心、旋转角、对应点】 【题型7 利用旋转的性质求解】 【题型8 旋转综合】 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 【题型1 轴对称图形的识别】 【典例1】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】甲骨文是刻写在龟甲和兽骨上的文字，为我们提供了了解商代历史的珍贵资料．下面是四个甲骨文字，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可．确定轴对称图形的关键是能否找到对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 【变式1-2】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【典例2】如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到， ∴，，垂直平分，， 故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确． 故选：D． 【变式2-1】如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，垂直平分， ∴， 故选项A，B，C正确，不符合题意； 不一定平行，故选项D不一定正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称．根据轴对称的性质判定即可． 【详解】解：根据题意，选项B中的图形关于直线对称， 故选：B． 【变式2-3】如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 【题型3 台球桌面上的轴对称问题】 【典例3】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式3-1】如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 【变式3-2】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【题型4 轴对称中的光线反射问题】 【典例4】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 【变式4-1】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 【变式4-2】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-3】如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型5 折叠问题】 【典例5】如图，将一张长方形纸条折叠，若比大，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟记平行线的性质定理． 根据折叠的性质、平行线的性质设，则，，根据求解即可． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质得，， 四边形是长方形，根据平行线的性质得出：， 比大， 设，则，， ， ， 解得：， ， 故选：C． 【变式5-1】如图，将长方形纸条折叠．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据长方形折叠的性质得，，进一步得到，，再根据平角的定义即可得出答案．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 【详解】解：延长至， ∵将长方形纸条折叠，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 故答案为：． 【变式5-2】将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，如图，由平行线的性质得，即由折叠的性质，再根据平角的定义即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， 由折叠得，， ∴， 故答案为：． 知识点2：旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【题型6 找旋转中心、旋转角、对应点】 【典例6】如图，如果经过旋转后能与重合，那么（   ） A．点是旋转中心，按逆时针方向旋转B．点是旋转中心，按顺时针方向旋转 C．点是旋转中心，按逆时针方向旋转D．点是旋转中心，按顺时针方向旋转 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，正确确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键． 根据图形可得到以点为旋转中心，按逆时针方向旋转与重合，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 以点为旋转中心，按逆时针方向旋转即可与重合， 故选：A． 【变式6-1】如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 【变式6-2】如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 【变式6-3】如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 【题型7 利用旋转的性质求解】 【典例7】如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 故答案为：． 【变式7-1】如图，将绕点A顺时针旋转后得到．如果，那么的度数为 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了旋转的性质、角的和差，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】如图，在中，，过点O作于点O，，连接．将绕点O按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据将绕点O按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，即可得出旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O按逆时针方向旋转，使得与重合，得到， ∴旋转的角度是：， 故选：A 【变式7-3】如图是几种马车轮毂（毂：指车轮中心的圆木）的图案，图案绕中心旋转后能与原来的图案重合的是（    ） A．  B． C．   D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，求出旋转角的判断求解，掌握旋转的有关知识点是解题的关键． 【详解】解：、此图案绕中心旋转的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意； 、此图案绕中心旋转的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意； 、此图案绕中心旋转的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意； 、此图案不是旋转对称图形，此选项不符合题意； 故选：． 【题型8 旋转综合】 【典例8】如图，已知直线交直线l分别于点A，B，，，平分交于点C，过点B作于点D．将绕点C按顺时针方向以每秒2度的速度旋转得到，同时绕点A按逆时针方向以每秒4度的速度旋转得到，旋转时间为t秒，当时首次落在的延长线上时，两个三角形都停止转动． (1)比较大小： __________．（填“>”或“<”或“＝”） (2)若直线l平分时，求的度数． (3)在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得与的某一边平行？若存在，求旋转时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)＝ (2)或 (3)或30或35或55或60 【分析】（1）直接根据平行线的性质、角平分线的定义以及等量代换即可解答； （2）先根据角平分线的定义求得，然后分旋转后在平行线之间和之外两种情况，分别根据旋转的性质即可解答； （3）设旋转时间t时，与的某一边平行，然后分、、三种情况，分别根据平行线的性质、旋转的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：=． （2）解：∵，平分交于点C， ∴， ①当旋转后在平行线之间时， ∵直线l平分， ∴绕点A按逆时针方向旋转的角度为： ∴旋转时间为：秒， ∴将绕点C按顺时针方向旋转的角度为； ②当旋转后在平行线之外时， ∵直线l平分， ∴：， ∴绕点A按逆时针方向旋转的角度为：， ∴旋转时间为：秒， ∴将绕点C按顺时针方向旋转的角度为； 综上 ，的度数为或． （3）解：设旋转时间t时，与的某一边平行， ①如图：， ∴， ∴，解得：， 设旋转时间t时、， ∴， ∵绕点A按逆时针方向旋转的角度为：， ∴，解得：； ②如图：设旋转时间t时、， ∴， ∴,,即, ∴，解得：; 设旋转时间t时、， ∴， ∵绕点A按逆时针方向旋转的角度为： ∴，解得：； ③设旋转时间t时、，如图：延长交于K， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴，解得：， 综上，或30或35或55或60． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识点，根据题意画出不同情况的图形是解答本题的关键． 【变式8-1】将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板EDC，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．    (1)如图2，当为的角平分线时，直接写出此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系． (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3 (2) (3)15或24或33 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，然后求出t的值即可； （2）根据旋转得：，表示出，，即可得出； （3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可． 【详解】（1）解：如图2，∵，，    ∴， ∵平分， ∴， ∴， 答：此时t的值是3； （2）解：当旋转至的内部时，如图3；    由旋转得：， ∴，， ∴； （3）解：分三种情况： ①当时，如图4，    此时与重合， ； ②当时，如图5，    ∵， ∴， ∴， ； ③当时，如图6，    综上，t的值是15或24或33． 故答案为：15或24或33． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的计算，平行线的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【变式8-2】将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．    (1)求的度数； (2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①如图（2），当旋转至，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①45°或225°；②6或9或18或24或27 【分析】（1）根据题意，由三角形外角定理即可求解； （2）①当时，分两种情况，第一种当旋转角度在之间时，根据三角形外角定理得，再根据即可求解；第二种情况当旋转角度在时，此时再旋转； ②分两种情况讨论：第一种情况当时，a为或a为，第二种情况当时，a为或a为，第三种情况，当时，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解：①如图，    ， ， 由（1）知，，， ，， ， 如图，与延长线交于点，    由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转， 三角板绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转， ， 综上所述：，； 解：②I.如图，当时，    ， ， ， ， a为或a为， （秒），（秒）． II.如图，当时，   ， ， a为或a为， （秒），（秒）， III. 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18或24或27． 【点睛】本题考查角的运动和角的运算及平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及性质和角度的运算是解题的关键． 【变式8-3】如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当α为 度时， ，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【答案】(1)15，作图见解析； (2)在旋转过程中，与之间的关系为或； (3)所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 【分析】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置，． （1）先根据平行线的性质可求出，再根据角的和差即可得出的度数，然后画图即可； （2）分、和三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结论； （3）分，，，，五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角的度数，从而可求出时间t的值． 【详解】（1）若 则 故答案为：15； 画图结果如下所示： ， （2）解：依题意，分以下三种情况： 如图①，当时 则 如图②，当时 则 如图③，当时 则 综上，在旋转过程中，与之间的关系为或； ； （3）依题意，分以下五种情况： ①当时 由（1）知， 则（秒）， ②当时，此时，与重合 则（秒） ③当时，此时， 则（秒） ④当时，此时，与重合 则（秒） ⑤当时 则 （秒） 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 一、单选题 1．下列关于体育运动的图标中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图标属于轴对称图形，故此选项符合题意； D、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线， 它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． 故选：A． 3．如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：B 4．小亮将沿直线向下翻折，得到如图所示的关于直线l对称的图形，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可求解． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：，，， 不能得到， ∴选项A、B、C正确，D错误， 故选：D． 5.如图， 将绕点O逆时针方向旋转 得， 若， 则 的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得出，即可推出结果． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得， ， 又 ∵， ， 故选：C． 6．图1是一条长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3．若图1中，则图3中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质．图1中，由题意知，求出图2中，图3中根据求出度数． 【详解】解：图1中，∵长方形对边， ∴， 在图2中，， 在图3中，． 故选：A． 二、填空题 7．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 8．如图，将图形①以点O为旋转中心，每次顺时针旋转，则第2025次旋转后的图形与 （填序号）相同． 【答案】② 【分析】本题考查了生活中的旋转现象：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．观察图象，得到规律每4次一个循环是解决问题的关键． 观察图形变化，图形①以点O为旋转中心，每次顺时针旋转，且每4次一个循环，找到规律，根据所得规律求解即可． 【详解】解：将图形①以点O为旋转中心，每次顺时针旋转， 第1次旋转的得到的图形为：， 第2次旋转的得到的图形为：， 第3次旋转的得到的图形为：， 第4次旋转的得到的图形为：， 第5次旋转的得到的图形为：， ...... 由此可得，每4次一个循环， ∵， 所以第2025次旋转后的图形与②一样． 故答案为②． 9．如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的周长，由翻折可得，进而得到，即可求解，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合， ∴， ∵，的周长为17， ∴， ∴， 故答案为：． 10．将长方形纸片沿折叠得到如图所示的图形，已知，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质．根据题意可得，由平角的定义求出的度数，即可利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：是长方形纸片， ， 由折叠可得：， ， ∴， 故答案为：． 11．按如图的方法折纸， ． 【答案】90 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，， ∵， ∴，即， 故答案为：90． 三、解答题 12．折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 13．如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图2，当平分时，求t的值； (2)当时，画出相应的图形，并求t的值； (3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系，分情况讨论是解题关键； （1）根据平分，得出，然后表示出，在依据每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，即可得出方程，解答即可； （2）根据题意可分两种种情况讨论：①当过，但并未过，②超过延长线且未过延长线时，根据角平分线的性质和角的和差关系，表示即可解答； （3）分三种情况讨论①未超过时，②超过，但未超过时，③超过时，分别表示出，再根据平分，平分，根据角的和差关系即可求出，最后得出结论， 【详解】（1） 平分， ， 绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为， ， （2）①当过，但并未过，如图 ， ， ，， ， ， ②超过延长线且未过延长线时，如图 ， ， ， ， ， 即：， ， 综上所述：t的值为或 （3）①未超过时，如图 ， ， ， 平分，平分， ， ， ②超过，但未超过时，如图 ，， ， ， 平分，平分， ， ， ③超过时， ，， ， ， 平分，平分， ， ， ， 综上所述：的度数为 学科网（北京）股份有限公司 $$