精品解析：吉林省洮南市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次考试数学试题

洮南一中2024-2025学年度下学期第一次考试 高二数学试题 命题人：王影 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某鞋店销售a，b，c，d四种不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 81种 【答案】C 【解析】 【分析】用分步乘法原理计算. 【详解】每人有4种不同的购买选择，总的购买选择有种. 故选：C． 2. 已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（ ） A. 24 B. 80 C. 160 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式的展开式，令求得各项系数的和，解得的值，代入的值，写出二项式的展开式通项，令求出即可得到结果. 【详解】设 令，则，∴， 所以的展开式通项为， 令，则， 故选：B. 3. 在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有 A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多可以用3块，则分4种情况依次讨论配色方案的数目，由分类计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多可以用3块，分4种情况讨论： ①、6块广告牌都不用蓝色，即全部用红色，有1种情况； ②、6块广告牌有1块用蓝色，在6块广告牌选1块用蓝色即可，有C61＝6种情况； ③、6块广告牌有2块用蓝色，先将4块红色的广告牌安排好，形成5个空位，在5个空位中任选2个，安排蓝色的广告牌，有C52＝10种情况； ④、6块广告牌有3块用蓝色，先将3块红色的广告牌安排好，形成4个空位，在4个空位中任选3个，安排蓝色的广告牌，有C43＝4种情况； 则一共有1+6+10+4＝21种配色方案； 故选B． 【点睛】本题考查排列、组合的实际运用，涉及分类计数原理的应用，需要注意颜色不一定全部用完，属于基础题． 4. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 【答案】B 【解析】 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理可得展开式各项的表达式，令可求得的取值，代入表达式即可求得所求系数. 【详解】由二项式定理可知：展开式各项的表达式为：， 其中，，； 令得：，或， 含的项的系数为. 故选：D. 6. 下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质可判断AB，利用组合数的计算公式可判断 【详解】解：对于A，由组合数的性质可知，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误． 故选： 7. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 8. 已知数列满足，若，则数列的前15项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. 【详解】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接法进行求解，先考虑末位数字，再考虑其他位置，得到答案； 间接法进行求解，先求出无重复数字的四位数，再求出无重复数字的四位奇数的个数，相减得到答案. 【详解】直接法：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，共有种排法； 间接法：数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，有种排法， 其中组成无重复数字的四位奇数的个数为， 理由如下：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，故有种排法； 所以偶数的个数为. 故选：CD． 10. 2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（ ） A. 甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法 B. 6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法 C. 男班长必须到甲地，则共有180种分配方法 D. 班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生， 个男生中选个到甲地，方法有种；在剩下的个男生中选个到乙地， 方法有种；最后个男生放在丙地；再安排女生，方法有种.所以共有种分配方法，A选项正确. B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有种分配方法，B选项错误. C选项，男班长必须到甲地，方法数有: 种分配方法，C选项正确. D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有: 种分配方法，D选项正确. 故选：ACD 11. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，除以8的余数是1 D. 展开式中二项式系数最大项为第3项 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC，利用导数可判断B，利用二项式系数的性质可判断D. 【详解】对于A，令，可得，令，可得， 所以，故A错误； 对于B，， 两边求导，可得， 令，可得，故B正确； 对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确； 对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】解：的展开式的通项公式为， 令，解得， ∴展开式的常数项为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 13. 如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答） 【答案】48 【解析】 【分析】由已知按区域分四步，然后给，，，区域分步选择颜色，由此即可求解． 【详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择， 第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择， 则由分步计数原理可得共有种， 故答案为：48． 14. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 【答案】##0.6875 【解析】 【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求m的值； （2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】（1）7；（2）128；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式即可获解； （2）令即可获解； （3）求出有理项的个数，再用插空法即可. 【详解】（1）展开式的通项为， ∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为， ，即. （2）令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为. （3）展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共4项， ∴由插空法可得有理项不相邻的概率为. 16. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式联立两个方程即可求得结果. （2）根据题干中的条件先求出，再用分组求和即可求得结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由， 得，∵是由正数组成的等比数列，则，， 则，解得或（舍），又，所以， 解得，所以 【小问2详解】 ， 所以 17. 某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）古典概型的概率求法，应用列举法求概率； （2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，根据（1）有且，应用条件概率公式求概率； （3）记“挑选的2人一男一女”为事件，“女生乙被选中”为事件，根据（1）有且，应用条件概率公式求概率； 【小问1详解】 记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)， 从6名成员中挑选2名成员有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，， 记“男生甲被选中”为事件M，则基本事件为，，，，共有5种，故． 【小问2详解】 记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则， 由（1）知，故． 【小问3详解】 由（1）知：记“挑选的2人一男一女”为事件，则， “女生乙被选中”为事件，则，故． 18. 某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． （1）求的值及关于的表达式； （2）证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【答案】（1），． （2） 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而． 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用互斥事件的概率公式可求得，再根据第天选择餐厅用餐的概率得到关于的表达式； （2）由（1）可得到是等比数列，利用等比数列的通项公式可求得. 【小问1详解】 设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥．根据题意得 ， ， ， ， 即． 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）设为的导函数，求在上的最小值； （2）令，证明：当时，在上. 【答案】（1）1 （2） 由题意知，又因为， 所以， 令， 则， 因为，所以，所以， 因此在上单调递增， 所以当时，，所以， 所以在上单调递增，所以， 即当时，在上. 【解析】 【分析】（1）通过判断的正负得到在上的单调性，再利用单调性求出最小值即可； （2）因为，则，令，求导，通过分析的正负，得到的单调性，从而得出的最值及的正负，即可得到的单调性和最值，从而得证. 【小问1详解】 由题意知， 令，则， 因为当时，，即， 所以即在上单调递增， 所以在上的最小值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洮南一中2024-2025学年度下学期第一次考试 高二数学试题 命题人：王影 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某鞋店销售a，b，c，d四种不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 64种 D. 81种 2. 已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（ ） A. 24 B. 80 C. 160 D. 240 3. 在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有 A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 4. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知数列满足，若，则数列的前15项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A. B. C. D. 10. 2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（ ） A. 甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法 B. 6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法 C. 男班长必须到甲地，则共有180种分配方法 D. 班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法 11. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，除以8的余数是1 D. 展开式中二项式系数最大项为第3项 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______. 13. 如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答） 14. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求m的值； （2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 16. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 17. 某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 18. 某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． （1）求的值及关于的表达式； （2）证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 19. 已知函数. （1）设为的导函数，求在上的最小值； （2）令，证明：当时，在上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $