精品解析：江西省宜春市丰城中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

丰城中学2024-2025年度下学期初二第一次阶段测试 数学 一．选择题（共6小题，每小题3分） 1. 有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点C，D，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 6. 如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A. n的值为16 B. 当时，x的值为3或 C. 段的函数解析式为 D. 段的函数解析式为 二．填空题（共6小题，每小题3分） 7. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 8. 已知二次函数的图象顶点在第四象限，则的取值范围为_______． 9. 如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a=1，则b=________． 10. 函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为________． 11. 已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于______． 12. 已知函数，当时，有最大值5，则的值为__________． 三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分） 13. 解方程： （1）； （2）． （3）． 14. 在直角坐标系中，设二次函数 （1）若函数y的图象过点，求k的值． （2）若函数y的图象的对称轴是y轴，求k的值． （3）当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，求k的值． 15. 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组(每组20人)进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 乙组成绩统计图 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ； （2）请求出乙组成绩的平均数； （3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定． 16. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值． 17. 已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长． （1）m取何值时，方程有两个正实数根？ （2）当矩形的对角线长为 时，求m的值． 18. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 19. 已知抛物线交x轴于O，两点，顶点为点，点C为的中点．点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． （1）如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； （2）如图3，连接，，直接写出的最小值． 20. 西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A、B两种材料，已知A种材料单价32元/套，B种材料单价24元/套，活动需要A、B两种材料共50套计划购买A、B两种材料总费用不超过1392元． （1）若按计划采购，最多能购买A种材料多少套？ （2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A种材料的计划相比，实际采购A种材料数量的增加了a%，B种材料的数量减少a%（A、B材料的数量均为整数），实际采购A种材料的单价减少了a%，B种材料的单价增加a%，且实际总费用比按（1）中最多购买A种材料的总费用多了16元，求a． 21. 【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 22. 【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（c为常数）． （1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 ；（用t的代数式表示） （2）若该函数经过点， ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为M，最小值为N，求的值． （3）已知抛物线．若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长度； ②若，求此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025年度下学期初二第一次阶段测试 数学 一．选择题（共6小题，每小题3分） 1. 有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：①，时，不是一元二次方程； ②，，是一元二次方程； ③，含两个字母，不是一元二次方程； ④，分母含字母，不是一元二次方程； ⑤，最高次数不是2，不是一元二次方程； ⑥，，是一元一次方程，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②，共1个， 故选：A 2. 在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由二次函数图象得到系数字母的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由抛物线可知，，即；由直线可知，，二者矛盾，故本选项错误； B．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误； C．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得，两者矛盾；由直线可知，，的范围不一致，故本选项错误； D．由抛物线可知，，即，根据对称轴，可得；由直线可知，，的范围一致，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键． 3. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 即， 解得：或（舍）， 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点C，D，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 依据题意，根据抛物线经过点、和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而写出点的坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线，点的坐标为：． ∴． ∵抛物线经过点、， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为． 故选：A． 5. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线交轴正半轴， ， ，故①正确， 抛物线的对称轴为直线， ， 图象过点， ， ， ， ，故②错误， 当时，函数由最大值， ， （为常数），故③正确， ， ，故④正确， 故选：C． 6. 如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A. n的值为16 B. 当时，x的值为3或 C. 段的函数解析式为 D. 段的函数解析式为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，根据E、F的运动路径及对应的函数图象逐个进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，当点B将暂停时，的面积不变，， ， 故A正确； 由题意，当时，． ∴令，则或（舍去）． 由题意，当时，， ． 当时，F在的中点，又过2秒，F到C点，此时E在的中点， ， ∴当时， ∴此时令 或（舍去） 当继续运动时变小， ∴当时，或，故B正确； 又段的函数解析式为， ∴C说法错误． 由题意，当时，E继续运动2秒即停止， ，故D正确． 故选：C． 二．填空题（共6小题，每小题3分） 7. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得：． 故答案为：2． 8. 已知二次函数的图象顶点在第四象限，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形及二次函数的性质及解不等式组．解答本题关键是理解二次函数的顶点坐标，由二次函数的图象顶点在第四象限，得不等式组，求解即可． 【详解】二次函数的图象顶点在第四象限， ∴， 解得． 故答案为：． 9. 如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a=1，则b=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图1可以知道图形是一个正方形，边长为，图2是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，而，代入即可得到关于的方程，解方程即可求出． 【详解】解：依题意得， 而， ， ， 而不能为负， ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题． 10. 函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．由与平行，可得当时，直线与原图象只有一个交点，联立，即得，再由只有一个交点求解即可． 【详解】解：与平行， 当时，直线与原图象只有一个交点， 联立， ， 即，， 只有一个交点， ， ， 的取值范围为：或 故答案为：或 11. 已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 即代数式的最小值等于4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键． 12. 已知函数，当时，有最大值5，则的值为__________． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解． 【详解】解：由题意，的对称轴是直线， 当时，． ∵当时，有最大值5， ∴当时，，当时，， ∴最大值可能在这三个数处取得： ①当最大值为， 或， ∵当时，，此时函数有最小值，不符合题意， ②当最大值为， 或 ∵当时，，此时最大值在对称轴右侧取得，不符合题意， 当时，，此时最大值在处取得，不符合题意， ∴或均不合题意， ③当最大值为， 或， ∵当时，，此时最大值在对称轴处取得，不符合题意， ∴， 综上，或7． 故答案为：1或7． 三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分） 13. 解方程： （1）； （2）． （3）． 【答案】（1），； （2），； （3）， 【解析】 【分析】此题主要考查解一元二次方程，熟练根据方程特点选择合适的方法是解题关键． （1）利用配方法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可. 【小问1详解】 解：， 整理得， 配方得，即， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 14. 在直角坐标系中，设二次函数 （1）若函数y的图象过点，求k的值． （2）若函数y的图象的对称轴是y轴，求k的值． （3）当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，求k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）把代入，计算即可求解； （2）根据函数图象的对称轴是y轴，由顶点坐标公式得，求解即可； （3）根据二次函数的增减性得出二次函数的对称轴是直线，即，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，∵函数的图象过点， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵函数的图象的对称轴是y轴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴． ∴． 15. 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组(每组20人)进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图． 甲组成绩统计表 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 乙组成绩统计图 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ； （2）请求出乙组成绩的平均数； （3）已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定． 【答案】（1）；8 （2） （3）；乙组更加稳定些 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数，方差，熟练掌握公式是解题的关键． (1)根据中位数，众数的定义计算即可． (2)根据加权平均数的公式计算即可． (3)根据方差计算公式计算即可． 【小问1详解】 根据题意，甲组成绩的是中间两个数据8和9的平均数， 故中位数是， 故答案为：； 乙组中，成绩为8的数据出现了9次，次数最多， 故乙组数据的众数是8， 故答案为：8． 【小问2详解】 根据加权平均数的公式，得 【小问3详解】 ∵乙组的平均数是， ∴其方差为： ∵， 故乙组更加稳定些． 16. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值． 【答案】（1） 证明：依题意，得 ，，， ， ， 方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，公式法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）利用公式法解一元二次方程，求出，，，再由方程的实数根都是整数，且异号，由m是整数求出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， 方程有两个异号的整数根，且m是整数． 或， 或． 17. 已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长． （1）m取何值时，方程有两个正实数根？ （2）当矩形的对角线长为 时，求m的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据的意义得到，即， 解得，而a，b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有，可解得，综合可得到m的取值范围； （2）根据矩形的性质和勾股定理得到，变形有，把代入得，整理得到，解方程得到，然后即可得到符合条件的m的值． 【小问1详解】 解：设矩形两邻边长为a、b， 关于x的一元二次方程的两根是矩形的两邻边长， ，即 解得， 又 ， 解得， 时，方程有两个正实数根； 【小问2详解】 解：设矩形两邻边长为a、b， 矩形的对角线长为， ， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根； 当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理以及矩形的性质． 18. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 【答案】（1）；； （2）当为时，矩形花园的面积为； （3） 嘉嘉的说法不正确， 理由：根据题意得. ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性可得到，即可得到BC的表达式，再根据BC大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． 19. 已知抛物线交x轴于O，两点，顶点为点，点C为的中点．点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． （1）如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； （2）如图3，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由待定系数法求出抛物线的解析式为，当时，代入抛物线的解析式中，解方程即可求解； （2）过点B作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，则，当D，B，共线时，为最小，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 将代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 即； 如图2，∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点， ∴当时，， 解得：，（舍）， ∴点； 【小问2详解】 设点，则点， 如图3，过点B作直线轴， 作点F关于直线l的对称点，连接， 则， 当D，B，三点共线时，为最小， 由定点，D的坐标得，直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得，， 则点，点， 则最小值为：． 即最小值为． 【点睛】本题为二次函数的综合运用，涉及到点的对称性，利用待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，两点的距离，中点坐标公式等知识，确定为最小是解题的关键． 20. 西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A、B两种材料，已知A种材料单价32元/套，B种材料单价24元/套，活动需要A、B两种材料共50套计划购买A、B两种材料总费用不超过1392元． （1）若按计划采购，最多能购买A种材料多少套？ （2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A种材料的计划相比，实际采购A种材料数量的增加了a%，B种材料的数量减少a%（A、B材料的数量均为整数），实际采购A种材料的单价减少了a%，B种材料的单价增加a%，且实际总费用比按（1）中最多购买A种材料的总费用多了16元，求a． 【答案】（1）A材料24；（2）a＝50 【解析】 【分析】（1）设购买A材料x套，则购买B材料为50﹣x套，由题意得：32x+24（50﹣x）≤1392，即可求解； （2）设x＝a%，由题意得：24（1+x）×32（1﹣x）+26（1﹣x）×24（1+x）＝1392+16，即可求解． 【详解】解：（1）设购买A材料x套，则购买B材料为50﹣x套， 由题意得：32x+24（50﹣x）≤1392， 解得：x≤24， 则最大购买A材料24（购买B材料26套）； （2）设x＝a%， 由题意得：24（1+x）×32（1﹣x）+26（1﹣x）×24（1+x）＝1392+16， 化简得：58x2﹣37x+4＝0， 解得：x＝或（不合题意舍去）， 即＝x＝a%， 解得：a＝50． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 21. 【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 【答案】 （1）如图， （2）上，4；（3）；[应用]①0；②1或6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据画二次函数 图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的平移规律求解即可； （3）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； 【应用】①利用二次函数的性质求解即可； ②分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）略 （2）该抛物线可由抛物线 向上平移4个单位得到， 故答案为：上，4； （3）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； [应用]①抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； ②当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），（舍去） 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 22. 【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（c为常数）． （1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 ；（用t的代数式表示） （2）若该函数经过点， ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为M，最小值为N，求的值． （3）已知抛物线．若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围． 【答案】（1）（t，3t） （2）① ② （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，根的判别式的应用和新定义“三倍点”的理解与应用，根据“三倍点”的定义结合二次函数的相关性质是解题的关键． （1）根据“三倍点”的定义，即可求得答案； （2）①将点代入，可得的值，再将代入，解方程即可； ②利用二次函数的顶点式求得和的值，即可求得答案； （3）由题意，抛物线开口向上．则抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．对于，，，总有，又抛物线的对称轴是直线，可得，即，再分类讨论的值，求不等式即可． 【小问1详解】 解：根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得． 故答案为：； 【小问2详解】 ①将点代入，得：， 解得：， ∴， 将代入，得：， 解得：， ∴函数图象上的“三倍点”坐标为． ②∵，且 ∴取最大值为， 当时，， 当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 由题意，∵， ∴抛物线开口向上． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ∵对于，，，总有， 又抛物线的对称轴是直线， ∴． ∴． ①当时， ∴． 此时，无解． ②当时， ∴． ∴． ③当时， ∴． 此时，无解． 综上，． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长度； ②若，求此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ② （3）存在；， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）两点式写出函数解析式即可； （2）①求出直线的解析式，利用两点间的距离公式表示出的长度即可； ②求出的解析式，进而求出，根据，列出方程进行求解即可； （3）求出对称轴，设出点坐标，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点两点，， ∴抛物线的表达式为：， 即． 【小问2详解】 ①∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， ∵点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m， ∴，， ∴； ②∵点D为的中点，， ∴， 同①得：直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 存在： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $