精品解析：云南省昭通市镇雄县三校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

三校联考2025年春季学期高二年级第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意化简集合，进而求交集. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：C. 2. 若函数满足，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得. 【详解】由，得， 则，解得， 故选：C. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列举数列的前几项，可得数列的周期性，可得答案. 【详解】由，，则，，， 所以数列的最小正周期为， 由，则. 故选：D. 4. 如图，这是某城市在2023年12月－2024年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为470 B. 这组数据的众数为365 C. 这组数据的中位数为387 D. 这组数据的平均数约为360 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差，众数，中位数以及平均数的计算即可求解. 【详解】将这13个数据从小到大排列：． 这组数据的极差为，众数为420，第7个数387为中位数， 平均数为． 故选:C． 5. 若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂指对函数的性质即可比较大小. 【详解】， ， ， 故选：D． 6. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为 故选：C. 7. 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ） A. 1 B. C. －4 D. 1或－4 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上， 所以，，所以，即. 又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或（舍）. 故选：C. 8. 已知，若，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用两角和差的正弦公式计算化简得出，换元再结合两角差的正切结合基本不等式计算求出最大值，得出取等条件即可. 【详解】由可知，， 所以，可得， 设，因为，所以， 则，当且仅当时，等号成立， 故选:D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用集合间的关系，得，即可求解；对于B，利用互斥事件的概率公式，即可求解；对于C和D，利用相互独立事件的判断方法和概率公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则，所以，故A错误， 对于选项B，因为与互斥，则，所以B正确， 对于选项C，因为，则， 所以与相互独立，故C正确， 对于选项D，因为与相互独立，则与相互独立，又， 所以，故D错误， 故选：BC. 10. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 的公差为3 B. C. 有最小值 D. 数列为递增数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式及等差数列前n项和基本量运算分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意可得 ，解得，故A错误； 对于B，，故，故B正确； 对于C，，所以当时，取到最小值，故C正确； 对于D，，且，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由有，结合图像逐项去分析即可判断. 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数满足（为虚数单位），则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数运算求得，根据共轭复数以及复数乘法运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以， 所以. 故答案为： 13. 过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出直线方程，求出圆心到直线l的距离，由垂径定理求得弦长. 【详解】由题意可得直线l的方程为，即，即， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l被圆所截得的弦长为 故答案为：. 14. 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的几何特征结合圆台的体积公式计算即可. 【详解】设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l． 作于点，则，． 又，，，． 又，，，． 又，． 圆台的体积为． 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别是. （1）求角的大小； （2）若面积为，且周长为6，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，边化角，再结合三角和角公式和诱导公式求解即可； （2）由面积公式求出，结合周长，得到，再用余弦定理得到，，代入求解即可． 【小问1详解】 因为，所以 由正弦定理得， 因为 所以 因为，所以，所以，故 【小问2详解】 由题意得 因为，所以 由余弦定理得，所以 所以，解得. 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 17. 已知椭圆：（）经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解. 【小问1详解】 由题意可得所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为. 18. 已知数列的前n项和为，满足. （1）求和； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）中，令，求出，再令，结合，求出； （2）利用得到为公比为2的等比数列，利用等比数列求通项公式求出答案； （3）求出，错位相减法求和即可. 【小问1详解】 中，令得，解得， 令得，即，解得； 【小问2详解】 ①， 当时，②， 式子①-②得， 故， 所以为公比为2的等比数列，首项为， 故； 【小问3详解】 ， 则③， ④， 式子③－④得 ， 故. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程： （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若，，证明：． 【答案】（1）在处的切线方程为. （2）的取值范围为. （3）证明：由（2）知，时，在上单调递增， 所以，， 因此，当时，， 因为，所以，， 所以，， 所以， 故当时，． 【解析】 【分析】（1）写出时的解析式，求导，并求出和，进而得出切线方程； （2）由单调性知导函数非负，列出不等式，化简得，讨论和的情况，求出的取值范围； （3）由（2）的结论知，当时，，分别将和代入，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时，， 所以，， 又因为， 所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题知，在时恒成立， 所以， 因为，所以， 所以或， 解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三校联考2025年春季学期高二年级第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数满足，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是某城市在2023年12月－2024年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为470 B. 这组数据的众数为365 C. 这组数据的中位数为387 D. 这组数据的平均数约为360 5. 若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 7. 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ） A. 1 B. C. －4 D. 1或－4 8. 已知，若，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 10. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 的公差为3 B. C. 有最小值 D. 数列为递增数列 11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数满足（为虚数单位），则_______． 13. 过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为__________. 14. 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为__________． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别是. （1）求角的大小； （2）若面积为，且周长为6，求. 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 17. 已知椭圆：（）经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 18. 已知数列的前n项和为，满足. （1）求和； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程： （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $