精品解析：云南省楚雄彝族自治州楚雄市2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

2024-2025学年下学期九年级开学质量检测数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答均无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转后的对应点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图放置的三棱柱，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 正负数可表示同一问题中相反意义的两个量，某次篮球比赛中，甲队胜了两场记作分，乙队负三场记作分，和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 4. 如图，平行线，被直线所截，，则（ ） A. B. C. D. 5. 据统计，2023年上半年，我国民航共完成运输总周转量达284000000人次，将数字284000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相同实数根 D. 有两个不相同的实数根 10. 新学期到来，学校组织同学们进行了体检，某班的体检统计结果显示：与上一次体检相比，该班的男生身高普遍有明显增长，女生身高普遍没有明显增长，则下列推断一定正确的是（ ） A. 该班男生的身高数据的平均数变大 B. 该班女生的身高数据的方差变大 C. 该班所有同学的身高数据的中位数变大 D. 该班男生平均身高和该班女生平均身高的差距（差值的绝对值）变大 11. 下列命题是假命题的是（ ） A. 三个内角都是的三角形是等边三角形 B. 边长分别为1，1，的三角形为直角三角形 C. 边长依次分别为6，8，6，8，两条对角线长都为10的四边形为矩形 D. 对角线相互垂直且平分的四边形为正方形 12. 某地盛产榴莲，现有甲、乙两种货车将一批榴莲运输到外地销售，甲货车单次运输量比乙货车单次运输量多2吨，甲货车运输20吨所需次数与乙货车运输15吨所需次数相同，设乙货车单次运输量为吨，则可列方程（ ） A. B. C. D. 13. 若圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 按一定规律排列的整式：1，，，32，…，则第个整式为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，点是半圆上一点，是半圆的直径，分别过点，作，垂直于过点的直线，垂足分别为点，，点为的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 函数的自变量的取值范围是_______． 17. 分解因式：______． 18. 如图，，与交于点，若，则值为_____． 19. 反比例函数与一次函数有一交点，点的横坐标为，则反比例函数的解析式为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20 计算：． 21. 如图，是的角平分线，．求证：． 22. 《中国诗词大会》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，深受观众喜爱．受此启发，为了引导同学们赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美，某学校在校内也举办了一场校园诗词大赛，获得了广大同学的积极响应．赛后学校随机抽取了部分同学的比赛成绩（设为）进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题： 学生成绩统计表 组别 成绩（单位：分） 频数 6 13 10 3 （1）本次调查的样本容量为_______，学生成绩统计表中_______； （2）若成绩在90分及以上为成绩优秀，该学校共有1600名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名． 23. 暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． （1）判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； （2）丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游两个地点相对于昆明方向相同的概率． 24. 为振兴乡村经济，某公司计划和村民们合作，通过直播带货的方式来提高农产品销量．为此该公司准备从电脑专卖店采购一批用于直播的电脑，若采购2台型号电脑，3台型号电脑，则需34000元；若采购4台型号电脑，2台型号电脑，则需36000元． （1）求，两种型号电脑的单价； （2）该公司计划购进电脑共16台（两种型号均需购买），购买型号电脑数量不少于购买型号电脑数量的，为使采购总费用最低，应购买型号电脑和型号电脑各多少台？采购总费用最低是多少？ 25. 如图，菱形中，与相交于点，点是边延长线上的点，且． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，，求点与线段之间的距离． 26. 已知：如图，是⊙的直径，交于点，，是圆上的两点，是的中点，过点作，交的延长线于点． （1）判断直线和⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，求的值． 27. 设函数的图象为图象，已知点在该函数图象上，且点的横坐标，纵坐标为． （1）若图象的对称轴为直线，求其顶点坐标； （2）证明：若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点； （3）设为常数，当时，图象与轴无交点，结合函数图象，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期九年级开学质量检测数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答均无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转后的对应点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点坐标关于原点对称的特点，平面直角坐标系中象限和点坐标的关系等．根据题意可知与关于原点对称的坐标为， 【详解】解：点在第二象限，绕原点逆时针旋转后即为点的中心对称点， ∴对应点在第四象限， 故选：D． 2. 如图放置的三棱柱，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的左视图，解题的关键是理解左视图是从物体左面看得到的视图． 从三棱柱的左面观察，确定看到的平面图形的形状，从而选出正确选项． 【详解】解：由左向右观察三棱柱得到的视图是一个矩形，所以左视图为矩形． 故选B． 3. 正负数可表示同一问题中相反意义的两个量，某次篮球比赛中，甲队胜了两场记作分，乙队负三场记作分，和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数，即可求解． 【详解】解：是正数，是负数，正数大于负数， 所以． 故选：C． 4. 如图，平行线，被直线所截，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，根据两直线平行，同位角相等可知，结合，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 又， ． 故选D． 5. 据统计，2023年上半年，我国民航共完成运输总周转量达284000000人次，将数字284000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法定义．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 故选：D． 6. 等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，根据题意得到等腰直角三角形一个锐角的余弦值为，计算求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，两锐角相等，且等于， 等腰直角三角形一个锐角的余弦值． 故选：A． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项，单项式的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式是解答本题的关键． 根据合并同类项，单项式的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A选项中，，故A项错误； B选项中，，故B项错误； C选项中，，故C项正确； D选项中，，故D项错误． 故选：C． 8. 若一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和 ，根据题意得到多边形的内角和为，列出等式计算即可． 【详解】解：从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形， 多边形的内角和为， 多边形的内角和为， ， ． 故选：A． 9. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相同实数根 D. 有两个不相同的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据题意先移项再提公因式解出即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，， ∴方程有两个不相同的实数根， 故选：D． 10. 新学期到来，学校组织同学们进行了体检，某班的体检统计结果显示：与上一次体检相比，该班的男生身高普遍有明显增长，女生身高普遍没有明显增长，则下列推断一定正确的是（ ） A. 该班男生的身高数据的平均数变大 B. 该班女生的身高数据的方差变大 C. 该班所有同学的身高数据的中位数变大 D. 该班男生平均身高和该班女生平均身高的差距（差值的绝对值）变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数，方差，中位数定义及变化情况的估计．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、该班的男生们身高普遍有明显增长，、 该班男生身高数据的平均数变大， A项一定正确，符合题意； B、该班的女生身高普遍没有明显增长，据此无法判断其方差是变大还是变小， B项不一定正确，不符合题意； C、当原有中位数身高不变，原小于中位数的身高普遍增长后仍低于原中位数的情况下，中位数可能不变， C项不一定正确； D、如果该班男生上一次的平均身高低于女生上一次的平均身高，则该班的男生身高普遍明显增长，女生身高普遍没有明显增长的情况下，该班男生平均身高和该班女生平均身高的差距（差值的绝对值）可能变小， D项不一定正确，不符合题意； 故选∶A． 11. 下列命题是假命题是（ ） A. 三个内角都是的三角形是等边三角形 B. 边长分别为1，1，的三角形为直角三角形 C. 边长依次分别为6，8，6，8，两条对角线长都为10的四边形为矩形 D. 对角线相互垂直且平分的四边形为正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查真假命题的定义，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，根据真假命题定义及等边三角形的性质，直角三角形的判定，矩形判定和菱形判定及正方形判定定理依次判断 【详解】解：A选项：三个内角是的三角形是等边三角形，所以此命题为真命题； B选项：，边长分别为1，1，的三角形为直角三角形，所以此命题为真命题； C选项：四边形边长依次分别为6，8，6，8，即两组对边分别相等，此四边形为平行四边形，又四边形中长度为6，8的两邻边与长度为10的对角线组成的三角形满足，此三角形为直角三角形，平行四边形有一内角为，此平行四边形为矩形，所以此命题为真命题； D选项：对角线相互垂直且平分的四边形为菱形，此命题为假命题． 故选D． 12. 某地盛产榴莲，现有甲、乙两种货车将一批榴莲运输到外地销售，甲货车单次运输量比乙货车单次运输量多2吨，甲货车运输20吨所需次数与乙货车运输15吨所需次数相同，设乙货车单次运输量为吨，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意设乙货车单次运输量为吨，则甲货车单次运输量吨，再根据题意列式即可． 【详解】解：∵乙货车单次运输量为吨，甲货车单次运输量比乙货车单次运输量多2吨， 甲货车单次运输量为吨， 甲货车运输20吨所需次数可表示为次，乙货车运输15吨所需次数可表示为次，甲货车运输20吨所需次数与乙货车运输15吨所需次数相同， 可列方程为． 故选：C． 13. 若圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了弧长公式、扇形面积、圆锥的侧面展开图等知识，熟知圆锥侧面展开图扇形的弧长底面圆的周长是解题的关键．根据圆锥侧面展开图扇形的弧长底面圆的周长求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出答案即可． 【详解】解：圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，即，， 圆锥侧面展开图扇形的弧长底面圆的周长，即． 设扇形半径为， 又， ， 解得扇形半径， 扇形的面积． 故选A． 14. 按一定规律排列的整式：1，，，32，…，则第个整式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有关的规律问题，根据，，，再据此找到规律即可． 【详解】解：，，，， 题中整式可排列为，，，，…， 第个整式为． 故选：C． 15. 如图，点是半圆上一点，是半圆的直径，分别过点，作，垂直于过点的直线，垂足分别为点，，点为的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查考查圆周角性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，连接，，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质，得到，再由中点的定义求即可． 【详解】解：连接，， 是半圆的直径， ， ，， ， ， ∴， ， ， 又点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为，因为函数的自变量的取值范围是，解不等式可得：． 【详解】解：分式的分母不能为， ， 函数的自变量的取值范围是． 故答案为：． 17. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 18. 如图，，与交于点，若，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，相似三角形的判定与性质，先根据比例的性质求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ，， ， ， ． 故答案为1． 19. 反比例函数与一次函数有一交点，点的横坐标为，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，首先根据点的横坐标为，并且点在一次函数，可得：，所以点的坐标为，把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出即可． 【详解】解：点的横坐标为， 把代入， 得到：， 反比例函数与一次函数有一交点， 把点代入， 得到：， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据负指数幂、零指数幂，可得：，，再根据平方、绝对值、立方根的定义计算出算式中的各部分，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，是的角平分线，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，根据可证． 【详解】证明：是的角平分线， ， 在和中，， ． 22. 《中国诗词大会》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，深受观众喜爱．受此启发，为了引导同学们赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美，某学校在校内也举办了一场校园诗词大赛，获得了广大同学的积极响应．赛后学校随机抽取了部分同学的比赛成绩（设为）进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题： 学生成绩统计表 组别 成绩（单位：分） 频数 6 13 10 3 （1）本次调查的样本容量为_______，学生成绩统计表中_______； （2）若成绩在90分及以上为成绩优秀，该学校共有1600名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名． 【答案】（1）50，18 （2）416名 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识； （1）频数分布表中的人数是13人，所占百分比是，由此可求出本次调查的样本容量，根据总体人数及组人数占的百分比，进而求得组人数； （2）根据样本所占百分比估算总体的方法即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为：， 学生成绩统计表中， 故答案为：50，18； 【小问2详解】 解：， （名）． 答：估计该校成绩优秀的学生大约有416名． 23. 暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． （1）判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； （2）丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 【答案】（1）相等 （2） 【解析】 【分析】本题考查概率定义，列表法求概率等． （1）根据题意利用等可能性可得答案； （2）先根据题意列表列出可能出现的情况，再找出符合题意得情况，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率相等， 故答案为：相等； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二个 第一个 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的结果有4种，即，，，， 所以小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 答：小东一家人前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率为． 24. 为振兴乡村经济，某公司计划和村民们合作，通过直播带货的方式来提高农产品销量．为此该公司准备从电脑专卖店采购一批用于直播的电脑，若采购2台型号电脑，3台型号电脑，则需34000元；若采购4台型号电脑，2台型号电脑，则需36000元． （1）求，两种型号电脑的单价； （2）该公司计划购进电脑共16台（两种型号均需购买），购买型号电脑数量不少于购买型号电脑数量的，为使采购总费用最低，应购买型号电脑和型号电脑各多少台？采购总费用最低是多少？ 【答案】（1），两种型号电脑单价分别为5000元/台，8000元/台 （2）为使采购费用最低，应购买型号电脑12台和型号电脑4台，采购总费用最低是92000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用等． （1）根据题意列出二元一次方程组，解出即可； （2）先根据题意设应购买型号电脑台，型号电脑台，采购总费用为元，再列出，再求出的取值范围，继而利用一次函数性质即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：设，两种型号电脑的单价分别为元/台，元/台， 由题意可知 解得 答：，两种型号电脑的单价分别为5000元/台，8000元/台． 【小问2详解】 解：设应购买型号电脑台，型号电脑台，采购总费用为元， 由题意可得：， 化简得，． 购买型号电脑数量不少于购买型号电脑数量的， ，解得． 在中，， 随的增大而减小， 当时，有最小值，（元）， 购买型号电脑的数量为（台）． 答：为使采购费用最低，应购买型号电脑12台和型号电脑4台，采购总费用最低是92000元． 25. 如图，菱形中，与相交于点，点是边延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求点与线段之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定及性质，菱形性质，勾股定理等． （1）根据菱形性质得，，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可； （2）利用平行四边形和菱形性质可得，再得到，再利用勾股定理得，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：证明：四边形是菱形， ，， ， 点是的中点． ， ， 又，即， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ． 由（1）知四边形是平行四边形， ， ， ， 点与线段之间的距离为线段的长度． 由（1）知点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． ∴点与线段之间的距离为． 26. 已知：如图，是⊙的直径，交于点，，是圆上的两点，是的中点，过点作，交的延长线于点． （1）判断直线和⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，求的值． 【答案】（1）相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据切线的判定定理得出结论； （2）延长与的延长线交于点，过点作，垂足为．由（1）知，得到，根据圆周角定理得到，得到 ，求得，得到．由（1）知，根据全等三角形的性质得到，得到 ，根据矩形的性质得到，，，根据直角三角形函数得到结论． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ． 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 与相切． 【小问2详解】 延长与的延长线交于点，过点作，垂足为． 由（1）知， ， 是的直径， ， ， ， ． 由（1）知， ，， ， ． 是的外角， ， ． ， ， ． 由（1）知， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 又， ． 在中，， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质圆周角定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形三角函数，正确地作出辅助线是解题的关键． 27. 设函数的图象为图象，已知点在该函数图象上，且点的横坐标，纵坐标为． （1）若图象的对称轴为直线，求其顶点坐标； （2）证明：若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点； （3）设为常数，当时，图象与轴无交点，结合函数图象，求的最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移， （1）先求出解析式，把代入即可求解顶点坐标； （2）先求出平移后图象解析式为，由，则图象最低点在轴上，或在轴下方，而图象开口向上，故将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点； （3）利用二次函数的性质结合图象分析即可． 【小问1详解】 解：∵图象的对称轴为直线，在中的二次项系数， ， ， 此时图象对应的解析式为， 把代入解析式，得， 顶点坐标为； 【小问2详解】 证明：． 将图象向下平移4个单位后得到图象， 图象的解析式为， 图象顶点纵坐标为，且， 图象最低点在轴上，或在轴下方． 又图象开口向上， 若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点． 【小问3详解】 解：∵在中的二次项系数， 对称轴为， 点横坐标， 点为图象对应的抛物线的顶点． ，， 抛物线开口向上， 当顶点的纵坐标时，图象与轴无交点． 点的横坐标，将其代入中， 得点的纵坐标，化简得． 是关于的二次函数，其图象是抛物线，记作图象，对称轴是纵轴，开口向下， 画图象如下： 令，得，解得，， 图象与轴的两个交点分别为，， 结合图象可知：当时，， 又， ， 的最大值为． 综上所述，当时，图象与轴无交点，则的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$