6.3 用关系式表示变量之间的关系 教案-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

6.3 用关系式表示变量之间的关系 教学设计 课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 用关系式表示的变量间关系》是北师大版（2024）七年级下册第六章《变量之间的关系》的第三节。《变量之间的关系》是初中数学的重要内容之一，它将为后面函数知识打下基础。 学习者分析 1、在上学期的代数式求值、探索规律等课程中，学生已经开始接受了变化思想的渗透，初步感受了一个量随着另一个量的变化而变化。在本节课中，学生将在以前认知的基础以及上节课所掌握的相关概念和方法上，进一步的了解掌握表示变量间的另一种方法——关系式，从而让学生逐步的由常量的世界走向变量的世界，为以后的函数学习打下坚实的基础。 2、 本节课内容抽象，本节课设计学生小组合作交流的学习主要模式。完成本节课的学习任务。 教学目标 1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。并能用关系式表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系。给定自变量能求出因变量。 2.将生活中的实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际生活中的问题。 3.培养学生动手的能力，探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力。通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法。 教学重点 1、找问题中的自变量和因变量。 2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系 教学难点 根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：复习引入 教师活动1： 1．在某一变化过程中，发生 变化 的量叫变量；如测量小车从不同高度下滑的时间的问题中，支撑物体的高度h和小车下滑的时间t都是变量．其中t随h的变化而变化，h是 自变量 ，t是 因变量 . 2．借用 表格 可以表示自变量和因变量的变化情况 3. 填一填 （1）如果正方形的边长为a，则正方形的周长C=________;面积S=________； （2）圆的半径为r,则圆的面积S=________; （3）三角形的一边为a，这边上的高为h，则三角形的面积S=________； （4）梯形的上底、下底分别为a、b,高为h，则梯形的面积S=________; （5）圆锥的底面的半径为r,高为h，则圆锥的体积V=________; （6）圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积V=________. 学生活动1： 1、 回顾旧知。 2、 填写几何形体的有关公式。 活动意图说明： 复习旧知识，填写本节课要用到的相关知识，特别注意关系式的格式，为下面的探究打下铺垫 环节二：探究新知 教师活动2： 1、 情景引入 请同学们观察表格，已知三角形的底边BC上的高为6cm时，三角形的面积y(cm)与三角形底边BC(cm)有如下的关系： (1)表格反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)通过表格，你发现了什么规律？如何表示呢？ 2、探究新知 (1）决定一个三角形的面积的因素有哪些？ （2）若△ABC底边BC上的高是6厘米，三角形的顶点C沿底边BC 所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？ BC逐渐减小，面积也逐渐减小。 （3）这个过程中哪个量是自变量，哪个量是因变量？ 自变量是BC的长度，因变量是三角形的面积 （4）如果三角形的底边长为 x（厘米），那么三角形的面积y（厘米）可以表示为：y=3x （5）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从 36 厘米变化到9 厘米． 3、小结 y=3x 表示了 三角形面积 和 三角形的底 之间的关系 像这样用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示）数学式子（等式）叫做关系式。 它的基本特点是： （1）等式左边是因变量，等式右边是关于自变量的代数式； （2）等式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他量都是常量； （3）自变量可在允许的范围内任意取值。 4、练一练 根据三角形的底边长为 x（cm）和三角形的面积 y（cm）的关系式 y = 3x 填表： 通过填表、探究，你能说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？ 关系式是描述自变量、因变量之间关系的另一种较准确的方式，它不如表格直观，但比表格全面。我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值 学生活动2： 1、 填表并回答问题。 2、 探究用关系式表达变量之间的关系。 3、 小组活动，比较用表格法和关系式法表达变量之间的关系的优劣点。 活动意图说明： 通过填表，学生了解了表示变量之间关系的另一种方法：关系式，同时体会了这种表示方法的特点：根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。 环节三：典例精析 教师活动3： 例题1：如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。4厘米 （1）在这个变化过程中， 自变量、因变量各是什么？ 圆锥的底面半径的长度是自变量，圆锥的体积是因变量 （2）如果圆锥底面半径为 r（厘米），那么圆锥的体积v（厘米3）与r的关系式为 3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由【】 厘米变化到　【】厘米 例题2：你知道什么是“低碳生活吗”？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式。 （1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为 y = 0.785x，其中的字母表示：耗电量（x）和二氧化碳排放量（y） 当x=110KW.h时 y= 0.785×110=86.35（Kg) （2）用字母表示开私家车的二氧化碳排放量的公式为 y = 2.7x，其中的字母表示：耗油量（x）和二氧化碳排放量（y） 当x=75L时 y= 2.7×75=202.5（Kg) （3）用字母表示家用天然气的二氧化碳排放量的公式为 y = 0.19x，其中的字母表示：天然气立方米数（x）和二氧化碳排放量（y） 当x=20立方米时 y= 0.19×30=3.8（Kg) （4）用字母表示家用自来水的二氧化碳排放量的公式为 y = 0.91x，其中的字母表示；自来水的吨数（x）和二氧化碳排放量（y） 当x=5吨时 y= 0.91×5=4.55（Kg) 学生活动3 自学例题，提出质疑。 活动意图说明： 对新学知识进行巩固，并培养学生应用数学知识的能力。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、变量m、n之间的关系式是m=2n-1,当自变量n=2时，因变量m的值是（ B ） A、2 B、3 C、-3 D、5 2．某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，邮箱中的汽油大约消耗了，如果加满后汽车的行驶路程为x千米，邮箱中剩余油量为y升，则y与x之间的关系式是（  D     ） A．y=0.12x B．y=60+0.12x C．y=-60+0.12x D．y=60-0.12x 3．用m元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n本书共需费用y元，则可列出关系式（    A   ） A．y=n(+0.6) B．y=n()+0.6 C．y=n(+0.6) D．y=n()+0.6 4．佳佳花3000元买台空调，耗电0.7度/小时，电费1.5元/度．持续开x小时后，产生电费y（元）与时间（小时）之间的关系式是（ A ） A． B． C． D． 5.张老师带领 x 名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则 y = 5x+10 6．三角形的底边是12厘米，当底边上的高h（厘米）变化时，三角形的面积S（平方厘米）也随着高的变化而变化，可用式子表示成S= 6h ． 7．校园里栽下一棵小树高1.8m，以后每年长0.4m，则n年后的树高L与年数n之间的关系式为:L=0.4n+1.8． 选做题： 8.已知三峡大坝泄洪时每孔水流量为1500立方米/秒，上游水位为40米，水位每降低1米，下游水位升高0.2米。 1）你能说出这个变化过程中的自变量和因变量是什么吗？ （2）如果下游水位升高G米，泄洪后上游水位高度为h米，试列出G和h的关系式. 解 :（1）自变量是上游水位下降情况，因变量是下游水位升高高度. （2）关系式: 【综合拓展类作业】 9.（中考链接）某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内所挂的物体的重量x 每增加1 kg ，弹簧长度y增加0.5cm。 （1）依据上表数据，写出y与x之间的关系式。 解：y = 3+0.5x （2） 当物体的质量为6kg时，根据（1）的关 系式求出弹簧的长度。 解：将x=6代入y=3+0.5×6，得y=3+3=6. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是60km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的关系式为（ A   ）． A．S=120-60t B．S=120+60t C．S=60t D．S=120t 2．某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费6元，超过3千米后，每超1千米就加收1元．若某人乘出租车行驶的距离为x(x＞3）千米，则需付费用为y元与x（千米）之间的关系式是（ B   ） A．Y=6+x B．Y=3+x C．Y=6-x D．Y=9+x 3．已知△BAC的底边BC上的高为8cm，当底边BC从16 cm变化到5 cm时，△BAC的面积 (  D  ) A．从20 cm2变化到64 cm2 B．从40 cm2变化到128 cm2 C．从128 cm2变化到40 cm2 D．从64 cm2变化到20 cm2 4.小明现已存款500元，为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的关系式是（ C   ） A．Y=20x B．Y=500x C．y=500+20x D．Y=500-20x 5.梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8。 （1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？ 解： y=4x+60 （2）用表格表示当 x 从 2 变到 6 时（每次增加1），y 的值； （3）当 x 每增加 1 时，y如何变化？说说你的理由。 解：x 每增加1，y增加4，由上面表格可知 （4）当 x ＝0时，y 等于什么？此时它表示的什么？ 解：X=0时，y=60,此时它代表三角形的面积 6． 在地球某地，温度 T（℃）与高度 d（m）的关系可以近似地用 来表示．根据这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000 时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果． 参考答案： 选做题： 7.如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为.8cm． （1）观察图形，填写下表： 链条的节数/节 2 3 4 5 链条的长度/cm 5 （2）如果x节链条的长度是y，那么y与x之间的关系式是什么？ （3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？ 本题参考答案：（）；；；9.3；（）；（）102cm 【综合拓展类作业】 8．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：①每户每月的用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；②超过10立方米时，超出部分按每立方米3.8元收费，该市每户居民6月份用水X立方米(X＞10），应交水费y元，则y与x的关系式为Y=3.8X-16． 9.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，点D在斜边AB上，将ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在射线BC上的点处，连接并延长，交射线AC于E． （1）当点与点C重合时，求BD的长． （2）当点E在 AC的延长线上时，设BD为x，CE为y， 求y关于x函数关系式，并写X的取值范围． （3）连接，当△AD是直角三角形时，请直接写出BD的长． 参考答案：（1）BD=1；（2）；（3）或． 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$