教材+真题特色微专题（16）立体几何中的折叠问题 讲义-2025届高三数学二轮复习

2025届高三二轮数学复习——教材+真题特色微专题（16）——立体几何中的折叠问题 专题介绍;本专题的指导思想是立足教材典题、研做高考真题，认真落实考教衔接.每个专题分四部分：回归教材、知识梳理、研做高考、跟踪练习”。 【回归教材】 1．人教A版2019年数学选择性必修一P49页第13题：如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后的大小. 【答案】 【详解】折起后的图形如下所示，连接，，则，；又平面平面，平面平面；平面；，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标：，0，，，，，，0，，，，0，，，1，，；；；；． 2．人教B版2020年数学必修四P125页习题11-4C第2题：如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直,连接. （1）求与平面所成的角的余弦值；（2）求点到面的距离. 【详解】（1）取中点,连接,.面面, 面,即为与平面所成的角.为等腰直角三角形且, .. 与平面所成的角的余弦值为. （2）,面面,面,面,.面. 面,面面.过作,则面, 的长即为点到面的距离.在中,, ,在中,,. 点到面的距离为. 【知识梳理】 折叠问题处理策略： 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 【研做高考】 1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面，故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得，所以， 所以，设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 2．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B−CG−A的大小. 【答案】(1)见详解；(2) . 【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.，A，C，G，D四点共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证. (2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以，而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以. 而在中,，即二面角的度数为. 3．（2018·全国·高考真题）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由已知可得，，，又，所以平面. 又平面，所以平面平面； （2）[方法一]：向量法 作，垂足为.由（1）得，平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，设，建立如图所示的空间直角坐标系. 由（1）可得，.又，，所以.又，，故，可得.则 为平面的法向量.设与平面所成角为，则. 所以与平面所成角的正弦值为. [方法2]：向量法 如图3所示以E为原点建系．设正方形边长为2，由（1）知，平面，则平面，故．易求，则点P到直线的距离为，从而． 又，故，而平面的一个法向量，故与平面所成角的正弦值． [方法3]：【最优解】定义法 如图4，作，垂足为H，联结． 由（1）知，平面,因此为与平面所成的角．设正方形的边长为2，则，在中，．又因为，由知，．又因为，所以在中，．所以与平面所成角的正弦值为． [方法4]：等积法 不妨设，则．，又，所以平面．设点P到平面的距离为d，根据，即，解得．于是与平面所成角的正弦值为． 4．（2016·全国·高考真题）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【详解】(1)由已知得，,又由得，故∥，因此     ，从而⊥.由得. 由∥得.所以,. 于是,故.又,而,    所以平面. 如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，， . 设是平面的法向量，     则，即，可取.   设是平面的法向量，  则，即，可取，于是， 设二面角的大小为，.因此二面角的正弦值是. 5．（2015·陕西·高考真题）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（Ⅰ）在图1中，因为，，是的中点，，所以 即在图2中，，从而平面又，所以平面． （Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，， 所以为二面角的平面角，所以．如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，，所以 得，．设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取， ，得，取，从而， 即平面与平面夹角的余弦值为． 【跟踪练习】 1．与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，设正与的中心分别为，， 根据外接球的性质有平面，平面， 又二面角的大小为，故，又正与的边长均为2， 故，故，，， 故，故，又，故球的半径， 故球的表面积为．故选：C． 2．已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在矩形中，，，，由可得， 由可得，则，即， 可知折起后，必有，，，，平面， 故平面，因为是确定的直线，故对任意点，，，都在同一个确定的平面内， 因为，可知点在以点为圆心，半径为的圆上（如图）， 由图知，当且仅当与该圆相切时，取到最大值，则也取到最大值， 此时，，则的最大值为. 3．已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为异面直线所成角的范围是，故当时，与AD所成角最大， 因为四边形是矩形，所以，而平面，所以平面， 因为平面，所以，在直角三角形中，， 而，所以，所以.故选：A 4．我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪.小明仿制“羡除”裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形中，，，在等腰梯形中，.将等腰梯形沿折起，使平面平面，则五面体中异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点作的垂线，垂足为，连接，，根据已知得出四边形为菱形，即可得出，再根据面面垂直的性质证明，即可根据线面垂直的判定得出平面，即可根据线面垂直的性质得出，即可得出答案. 【解析】过点作的垂线，垂足为，连接，， 四边形为等腰梯形， , 四边形为等腰梯形，,, 四边形为菱形，， ，平面平面，平面平面，平面ABEF， 平面，平面，, 平面，平面，,平面， 平面，，异面直线与所成角的大小为.故选：D. 5．（多选）如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得 B．面积的最大值为 C．当为锐角时，存在某个位置，使得 D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】A选项，作出辅助线，证明，又与不垂直，可得结论，A错误；B选项， A选项，取的中点，连接，因为是的中点，所以且， 因为为中点，，所以，且，故四边形为平行四边形，所以， 又与不垂直，所以不存在某个位置，使得，A错误； B选项，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； C选项，过点作平面于点，作于点，连接，则是的平面角，即，是直线与平面所成角，即， 所以，，故为定值， 故当为锐角时，不存在某个位置，使得，C错误； D选项，当三棱锥体积最大时，⊥平面，取的中点，连接，则⊥，由勾股定理得，又，故点即为三棱锥的外接球的球心，半径为2，表面积为，D正确. 故选：BD 6．如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使⊥平面，则五棱锥体积的最大值为 .      【答案】/ 【进解析】设，因为，点为的中点，所以， 且，底面的面积为，所以五棱锥的体积为.则，令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 7、如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示. (1)求的长度； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用垂直关系得，再结合勾股定理，即可求解； （2）分别求平面和的法向量，根据二面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，得， 在矩形中，由，，知， 设，则，，故，， 由勾股定理：，解得：， 的长度为1； （2）因为，，，且平面，所以平面， 结合知，两两互相垂直，故以点为原点，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，所以，，，，，， 所以，，，， 设为平面的一个法向量，所以， 取，则，设为平面的一个法向量，所以， 取，则，记所求二面角大小为，为钝角，则， 所求二面角的大小为. 8、如图，四边形中，是等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向一方折叠到的位置，使D点在平面内的射影在上，再将向另一方折叠到的位置，使平面平面，形成几何体. （1）若点F为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）设点在平面内的射影为，连接，，又的中点为，易得平面.取的中点，连接，由平面平面，得到平面，又平面，则，则平面，然后由面面平行的判定定理证明； （2）连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，由求解． 【详解】解：（1）如图，设D点在平面内的射影为O，连接，连接. ∵，∴，∴在等腰中，O为的中点. ∵F为中点，∴.又平面，平面， ∴平面.取的中点H，连接，则易知，又平面平面， 平面平面，∴平面，又平面， ∴，又平面，平面，∴平面， 又.∴平面平面.又平面，∴平面. （2）连接，由（1）可知两两垂直，以O为坐标原点所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 从而. 设平面的一个法向量为，则，即， 得，取，则.设平面的一个法向量为， 则，即，得，取，则， 从而.∴， ∴平面与平面所成角的正弦值为． 9、如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱． (1)若点在棱上，且，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）在图乙中，过作，交于，连接，证明四边形为平行四边形，然后得到即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用两个法向量所成角的余弦值求得结果. 【详解】（1）证明：在图乙中，过作，交于，连接， 则，∴共面且平面交平面于，图甲中，∵，， ∴，又为正方形，，，由，有， ∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面， ∴平面． （2）由（1），，∴． 由题图知，，，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为， 则令，得，则，，， 设平面的法向量为，则令，得， ，平面与平面夹角的余弦值为． 10、在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．    (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明； （2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可． 【详解】（1）证明：连接OB， 因为为等腰直角三角形，，，所以， 因为O为AC边的中点，所以， 在等边三角形中，，因为O为AC边的中点， 所以，则，又，所以，即， 因为，平面，平面，所以平面．    （2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点， 所以， 由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，    则，，，所以，， 设平面的法向量为，由，得，令，得， 易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为θ， 则，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 方法二： 作，垂足为M，作，垂足为N，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，所以二面角的平面角为， 因为，所以，所以，， 在中，，， 所以，所以， 所以，即二面角的余弦值为．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三二轮数学复习——教材+真题特色微专题（16）——立体几何中的折叠问题 专题介绍;本专题的指导思想是立足教材典题、研做高考真题，认真落实考教衔接.每个专题分四部分：回归教材、知识梳理、研做高考、跟踪练习”。 【回归教材】 1．人教A版2019年数学选择性必修一P49页第13题：如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后的大小. 2．人教B版2020年数学必修四P125页习题11-4C第2题：如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直,连接. （1）求与平面所成的角的余弦值；（2）求点到面的距离. 【知识梳理】 折叠问题处理策略： 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 【研做高考】 1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 2．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B−CG−A的大小. 3．（2018·全国·高考真题）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值. 4．（2016·全国·高考真题）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 5．（2015·陕西·高考真题）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【跟踪练习】 1．与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿棱折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 4．我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪.小明仿制“羡除”裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形中，，，在等腰梯形中，.将等腰梯形沿折起，使平面平面，则五面体中异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得 B．面积的最大值为 C．当为锐角时，存在某个位置，使得 D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 6．如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使⊥平面，则五棱锥体积的最大值为 . 7、如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示. (1)求的长度； (2)求二面角的大小. 8、如图，四边形中，是等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向一方折叠到的位置，使D点在平面内的射影在上，再将向另一方折叠到的位置，使平面平面，形成几何体. （1）若点F为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 9、如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱． (1)若点在棱上，且，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 10、在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．    (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$