2025年中考数学二轮专题训练：三角形重心问题

2025年中考数学二轮专题训练： 三角形重心 一．选择题 1．已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高 C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的中垂线 2．在△ABC中，已知∠A＝60°，下列判断中错误的是（　　） A．若G为重心，则∠BGC≥120° B．若O为外心，则∠BOC＝120° C．若I为内心，则∠BIC＝120° D．若H为垂心，则∠BHC＝120° 3．已知点F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于G点，过点F作直线分别交AB、AC于D点、E点，则下列说法正确的是（　　） A．BG＝CG B．∠BAG＝∠CAG C．DF＝EF D．BD＝CE 4．如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，连接DE．下列结论成立的是（　　） A．B． C． D． 5．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图．由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的重心．若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（　　） A．4π B．2π C． D． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点E为此三角形的重心，连接BE并延长交AC于点D，过点E作EF⊥AB于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，点P是△ABC的重心，AB＝6，连接AP，BP并延长，分别交BC，AC于点D，E，连接DE，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC的重心，连接BD并延长交AC于点E，连接CD并延长交AB于点F，连接EF．若AE＝3，CF＝5，则EF＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图，△ABC的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧在△ABC的内部交于点P；作射线BP．给出下列结论： ①射线BP一定过点O； ②点O是△DEF三条中线的交点； ③点O是△ABC三条边的垂直平分线的交点； ④点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，斜边上的高AH＝3，矩形DEFG的边DE在边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果GF恰好经过△ABC的重心，那么BD的长为（　　） A．1 B． C． D．2 二．填空题 11．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，连接CD，BE是△BCD的中线．若AD+BC＝AB，AD＝6，BE＝4，则点C到AB的距离为 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，EF∥BC，重心G在EF上，若S△AEF＝8cm2，则四边形EBCF的面积为 　 　 cm2． 13．如图，在△ABC中，点G是△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点E，过点G作GF∥AB交BC于点F，如果EF＝2，那么CE＝ 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是斜边AB上的中线，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH＝　 　 ． 15．如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥AC，交BC于点D，联结CG，如果S△GCD＝2，那么S△ABC＝ 　 　 ． 16．如图，△ABC的两条中线AE，BD相交于点M，过点D作HD∥BC交AE于点H，则的值为 　 　 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好为△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，则DE：EC的值为 　 　 ． 三．解答题 18．在学习完三角形的边角关系后，某数学兴趣小组进行了有关内容的探究学习． 资料1 垂线段最短 资料2 三角形三条中线交于一点，交点称为三角形的重心． 资料3 重心到顶点距离是其到对边中点的距离的2倍，如图点F为△ABC的重心，则AF＝2FD． 资料4 三角形一条中线能将这个三角形的面积平分． 探究 已知△ABC的中线AD＝6，BE＝3，求△ABC面积的最大值． 19．如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，M、N分别为OB、OC的中点． （1）求证：MD和NE互相平分； （2）若BD⊥AC，OC2＝32，OD+CD＝8，求△OCB的面积． 20．如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点M． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作⊙O，使得⊙O经过点B，且与AM相切于点G；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设AB与半径OG相交于点D，⊙O交BC于点E，连接GE．若DG＝GM＝2，∠GEM＝45°，则弓形BEG的面积为 　 　 ．（如需画草图，请使用图2） 21．（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到∠ACB的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为△ABC的重心，△ABC的面积为12cm2，连接BD并延长交AC于点F，求△BCF面积． 22．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2，如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证： 证明：连结ED． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结合应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F． （1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为 　 　 ． （2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为 　 　 ． 23．如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，称△ABC这样的三角形为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　 　 ，b＝　 　 ； 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　 　 ，b＝　 　 ． 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对a2，b2，c2三者之间关系的猜想，并利用图3证明a2，b2，c2三者之间的关系． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C A B B B C C 一．选择题 1．解：∵点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D， ∴AD是BC边上的中线． 故选：C． 2．解：若G是△ABC的重心，即G是△ABC三条中线的交点． 当△ABC是等边三角形时，∠BGC＝120°； 当△ABC是非等边三角形时，∠BGC＞120°； ∴∠BOC＝2∠A＝120°，故选项B正确； 若O是△ABC的外心，即O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠A＝120°，故选项B正确； 若I是△ABC的内心，即I是△ABC内切圆的圆心， ∴∠BIC＝180°（180°﹣∠A）＝120°，故选项C正确； 若H是△ABC的垂线，即H是△ABC三条垂线的交点． 当△ABC是直角三角形是，H与直角顶点重合， ∴∠BHC≠120°，故选项D错误． 故选：D． 3．解：∵点F是△ABC的重心， ∴AG是△ABC的中线， ∴BG＝CG， 故选：A． 4．解：AD，BE是△ABC的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB， ∴△DEG∽△ABG， ∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，， ∴DGAG， ∵BG：EG＝AB：DE＝2：1， ∴GB：BE＝2：3， ∴S△AGB：S△AEB＝2：3， ∵AE＝EC， ∴S△AEBS△ABC， ∴S△AGBS△ABC， ∵△CDE∽△CBA， ∴， ∴S△CDES△ABC， ∴， 结论成立的是， 故选：C． 5．解：连接OC，并延长OC交AB于点D，如图所示： ∵图中六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， ∴OA＝OB，∠AOB＝360°÷6＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB， ∵点C是△ABC的重心， ∴OD⊥AB，AD＝BDAB，∠CAD＝∠CBD＝30°， ∴∠ACD＝∠BCD＝60°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝120°， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD， 由勾股定理得：ADCD， ∴CDAD， ∴AC＝2CD＝1， ∴弧AB的长为：， ∴花窗的周长为：4π． 故选：A． 6．解：过点D作AB的垂线，垂足为M， ∵点E为△ABC的重心， ∴点D为AC的中点，， ∴AD． 又∵∠C＝90°， ∴AB， ∴， ∴DM． 又∵EF∥DM， ∴△BEF∽△BDM， ∴， ∴EF． 故选：B． 7．解：由题知， 因为点P是△ABC的重心， 则AD，BE是△ABC的两条中线， 所以E点为AC的中点，D为BC的中点， 所以DE是△ABC的中位线， 又因为AB＝6， 所以， 故选：B． 8．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC的重心， ∴点E是AC的中点，点F是AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴， ∵CF＝5， ∴AB＝2CF＝10， ∵AE＝3，点E是AC的中点， ∴AC＝2AE＝6， ∴， ∴， 故选：B． 9．解：由作图知，射线BP是∠ABC的角平分线， ∵△ABC的内切圆圆心是△ABC三内角角平分线的交点， ∴射线BP一定过点O， 故①正确，③错误； ∵⊙O是△DEF的外接圆，而三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心， 故④正确，②错误； ∴正确的是有2个，是①与④正确； 故选：C． 10．解：设△ABC的重心是O，连接AO，延长AO交BC于M， ∴AO＝2OM， ∵四边形DEFG是矩形， ∴GF∥DE，∠GDE＝∠FED＝90°， ∴AK：KH＝AO：OM＝AG：BG， ∴AK＝2KH，AG＝2BG， ∵AH＝3，AB＝5， ∴，， ∵GD⊥BD， ∴． 故选：C． 二．填空题（共7小题） 11．解：过C作CH⊥AB于H， ∵D在AC的垂直平分线上， ∴AD＝CD＝6， ∵BE是△BCD的中线， ∴DECD＝3， ∵AD+BC＝AB，AD+DB＝AB， ∴BC＝BD， ∵BE是△BCD的中线， ∴BE⊥CD， ∵BE＝4， ∴BD5， ∵△BCD的面积BD•CHCD•BE， ∴5×CH＝6×4， ∴CH， ∴点C到AB的距离为． 故答案为：． 12．解：连接AG并延长，交BC于点M， ∵点G是△ABC的重心， ∴． ∵EF∥BC， ∴，△AEF∽△ABC， ∴． ∵S△AEF＝8cm2， ∴S△ABC＝18cm2， ∴四边形EBCF的面积为：18﹣8＝10（cm2）． 故答案为：10． 13．解：∵点G是△ABC的重心， ∴CE＝BE，EG：AE＝1：3． ∵GF∥AB， ∴EF：BE＝EG：AE＝1：3． 又∵EF＝2， ∴BE＝6， ∴CE＝BE＝6． 故答案为：6． 14．解：过C点作CE⊥AB于E，如图， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵CE•ABAC•BC， ∴CE， ∵G是△ABC的重心， ∴DGCG， ∴DGCD， ∵CE⊥AB，GH⊥AB， ∴GH∥CE， ∴△DHG∽△DEC， ∴， ∴GHCE． 故答案为． 15．解：连接BG并延长，交AC于点M， ∵点G是△ABC的重心， ∴点M为AC的中点，且BG：GM＝2：1． ∵GD∥AC， ∴BD：CD＝BG：GM＝2：1． ∵S△GCD＝2， ∴S△BGD＝4， ∴S△BCG＝4+2＝6， ∴， ∴S△BCM＝6+3＝9， ∴S△ABC＝2S△BCM＝18． 故答案为：18． 16．解：∵HD∥BC， ∴△HDM∽△EBM， ∴． ∵BD是△ABC的中线， ∴点D是AC的中点， ∴DH是△AEC的中位线， ∴． ∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．解：∵点A'为△ABC的重心， ∴AD为BC边上的中线，AA'＝2DA'， ∴DA'AD， ∵∠BAC＝90°， ∴AD＝BD＝CD， ∴DA'BDBCB′C， ∵DA＝DC， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴CA＝CA′， ∴∠CAA′＝∠AA′C， ∵∠ACD＝∠B′CA′， ∴∠B'CA'＝∠CA'A， ∴AD∥B'C， ∴△A′ED∽△B′EC， ∴DE：CE＝A′D：B′C． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 18．解：∵△ABC的中线AD＝6，BE＝3， ∴S△ABD＝S△ACD，F是△ABC的重心， ∴， ∴DF＝6﹣4＝2． 作AH⊥BE于点H， 则， ∵AH≤AF， ∴当AH＝AF＝4时，S△ABF取得最大值为， ∴S△BDF的最大值为， ∴S△ABD的最大值为2+4＝6， S△ABC的最大值为2×6＝12． 19．（1）证明：如图，连接OA，DE，MN， ∵CE是△ABC的中线，点M是OB的中点， ∴ME是△ABO的中位线， ∴，ME∥OA， 同理可得：，DN∥OA， ∴ME＝DN，ME∥DN， ∴四边形DEMN是平行四边形， ∴MD和NE互相平分； （2）解：由（1）知，MD和NE互相平分， ∴OM＝OD， ∵点M是OB的中点， ∴OB＝2OM， ∴OB＝2OD， ∵BD⊥AC，OC2＝32， ∴CD2+OD2＝OC2＝32， 又∵OD+CD＝8， ∴2OD•CD＝（OD+CD）2﹣（OD2+CD2）＝64﹣32＝32， ∴△OCB的面积为． 20．解：（1）如图，以G为圆心、以GM为半径画弧交AG于点K，分别以M、K为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于L、H，作直线LH；分别以B、G为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于P、Q，作直线PQ交直线LH于点O，以O为圆心、以OG的长为半径作⊙O，则⊙O即为所求； （2）如图，设直线OG交⊙O于点T，连接BT、BO， 则∠BTG＝∠GEM， ∵∠GEM＝45°， ∴∠BTG＝45°， ∴∠BOG＝2∠BTG＝90°， ∵⊙O与AM相切于G， ∴AM⊥OG， ∴BO∥AM， ∴△ADG∽△BDO， ∴， ∵G是△ABC的重心，DG＝GM＝2， ∴AG＝2GM＝2×2＝4， 设⊙O的半径为r，则OD＝OG﹣DG＝r﹣2， 解得：r＝4， ∴， ∴， ∴S弓形BEG＝S扇形OBEG﹣S△OBG＝4π﹣8． 21．（1）如图，点P即为所求作的点， （2）如图：点D为△ABC的重心， ∴（cm2）． 22．教材呈现： 证明：在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点， ∴DE∥AC，DEAC， ∴△DEG∽△ACG， ∴2， ∴3， ∴； 结论应用： （1）解：∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O， ∴AD∥BC，BEBCAD，BOBD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴BFDF， ∴BFBD． ∵BOBD， ∴OF＝OB﹣BFBDBDBD． ∵正方形ABCD中，AB＝6， ∴BD＝6， ∴OF． 故答案为：； （2）解：如图③，连接OE． 由（1）知，BFBD，OFBD， ∴2． ∵△BEF与△OEF的高相同， ∴S△BEF：S△OEF2， 同理，△CEG与△OEG的面积比＝2， ∴S△CEG+S△BEF＝2（S△OEG+S△OEF）＝21， ∴S△BOC， ∴S▱ABCD＝46． 故答案为：6． 23．解：（1）如图1．连接EF， ∵AF，BE是△ABC的中线， ∴AF⊥BE， ∴∠APB＝∠APE＝90°， 当∠ABE＝45°，c＝2时，AP＝PB＝2， ∵AF，BE是△ABC的中线， ∴EF∥AB，EFAB， ∴， ∴PE＝PF＝1， 由勾股定理得：AE， BF， ∴b＝2AE＝2，a＝2BF＝2； 如图2，连接EF， 当∠ABE＝30°，c＝4时， 在Rt△APB中，AB＝c＝4，∠ABE＝30°， ∴APAB＝2，PB＝2， ∵EF∥BC， ∴， ∴PE，PF＝1， 由勾股定理得：AE， BF， ∴b＝2AE＝2，a＝2BF＝2； 故答案为：2，2，2，2； （2）猜想：a2+b2＝5c2，理由如下： 如图3，连接EF， ∵AF，BE是△ABC的中线， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，且EFABc， ∴， 设PF＝m，PE＝n， ∴AP＝2m，PB＝2n， 在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝c2， 在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（b）2， 在Rt△FPB中，m2+（2n）2＝（a）2， ∴a2+b2＝5c2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/28 16:21:53；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$