人教八年级数学期中试卷01（考试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（

2024-2025学年度人教八年级数学期中试卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为（　　） A．17 B．16 C．13 D．20 2．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（23-24八年级下·河北张家口·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．x为实数，且，则 C．的平方根是 D． 4．（本题3分）（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）设，则下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O， ，点E是的中点，连接，则的长是(   ) A． B．2 C． D．4 6．（本题3分）（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 9．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）（24-25八年级上·河南驻马店·期中）二次根式有意义的条件是 ． 12．（本题3分）（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，不能与合并的是 ． 13．（本题3分）（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 ． 14．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 15．（本题3分）（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 16．（本题3分）（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点A处距离点O处如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 s． 17．（本题3分）（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 18．（本题3分）（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1所示，在边长为4的正方形中，点分别为的中点，和相交于点；如图2所示，将图1中边长为4的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：图1中：①；②；③；图2中：④．其中正确的结论有： ．（填序号） 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）（1）计算：； （2）化简：． 20．（本题8分）（22-23八年级下·四川成都·期中）计算 (1)； (2)解不等式组：； (3)． 21．（本题8分）（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 22．（本题8分）（22-23八年级下·河南漯河·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 23．（本题8分）（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：． 解决问题： (1)根据上述思路，试将予以化简； (2)根据上述思路，化简并求出的值； (3)当时，化简． 24．（本题8分）（23-24八年级下·广东河源·期中）（1）如图1，中，，分别是，上的高，M，N分别是，的中点，求证：． 拓展： （2）如图2，中，，，点E是上的点，于点D，点M是的中点，探索与的数量关系与位置关系． （3）如图3，将（2）中的绕点B逆时针转小于的角，（2）中的结论是否还成立？成立，请说明理由．    25．（本题10分）（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． (3)连接，若，，，求的面积． 26．（本题10分）（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，四边形中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿线段的方向向点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长的速度沿射线的方向运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒． (1)当时，的面积为______； (2)若四边形为平行四边形，求运动时间t； (3)是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度人教八年级数学期中试卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为（　　） A．17 B．16 C．13 D．20 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长为12和5， ∴该三角形的斜边长为， 故选：C． 2．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、中，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．（本题3分）（23-24八年级下·河北张家口·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．x为实数，且，则 C．的平方根是 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根、利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题主要考查平方根、二次根式除法、二次根式性质，熟悉相关性质是解题的关键．结合平方根、二次根式性质、二次根式除法的知识点依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原说法错误，本选项不符合题意； B、x为实数，且，则，原说法错误，本选项不符合题意； C、的平方根是，正确，本选项符合题意； D、，原说法错误，本选项不符合题意． 故选：C． 4．（本题3分）（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）设，则下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质， 根据二次根式的运算法则计算判断即可． 【详解】解：因为，所以A正确； 因为，所以B错误，符合题意； 因为，所以C正确； 因为，所以D正确． 故选：B． 5．（本题3分）（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O， ，点E是的中点，连接，则的长是(   ) A． B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，根据矩形的性质，推出为的中位线，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两条对角线相交于点O， ∴， ∵点E是的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选A． 6．（本题3分）（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由勾股定理可得，结合菱形的性质可得，，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故选：C． 7．（本题3分）（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、根据正方形的性质证明 【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 8．（本题3分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 9．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，推出，利用等面积法得到，由，，推出，得到，结合，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， , 故选：B． 10．（本题3分）（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，得到的长度，即可得到点在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵，，， ， ， 点在数轴上所对应的数是， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）（24-25八年级上·河南驻马店·期中）二次根式有意义的条件是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义则被开方数必须大于等于零． 根据题意得出，得到． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为： ． 12．（本题3分）（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，不能与合并的是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简与合并，掌握二次根式的化简方法是解题关键．将所给的二次根式进行化简即可得到答案． 【详解】解∶，，，， 则不能与合并的是， 故答案为∶． 13．（本题3分）（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设梯子底端应再远离墙，根据勾股定理列方程得，解方程即可． 【详解】解：设梯子底端应再远离墙， 根据题意列方程得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 梯子底端应再远离墙， 故答案为：． 14．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 15．（本题3分）（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 【答案】// 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理与折叠问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理的逆定理即勾股定理的应用，连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中， ， , ， 故答案为：． 16．（本题3分）（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点A处距离点O处如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 s． 【答案】16 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，过点A作，利用锐角三角函数的定义求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点A作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：过点A作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时， ∵，， ∴由勾股定理得：，，即， ∵火车在铁路上沿方向以的速度行驶， ∴影响时间应是：． 故A处受噪音影响的时间是． 故答案为：16． 17．（本题3分）（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 18．（本题3分）（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1所示，在边长为4的正方形中，点分别为的中点，和相交于点；如图2所示，将图1中边长为4的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：图1中：①；②；③；图2中：④．其中正确的结论有： ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】结合正方形的性质证明，由全等三角性质的性质可得，，即可判断结论①；证明，易得，即可判断结论②；利用面积法解得的长度，即可判断结论③；图2中，过点作于点，连接交于，证明，由全等三角性质的性质可得，利用勾股定理解得的值，即可判断结论④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴，故结论③错误； 图2中，过点作于点，连接交于，如下图， 由题意可知， 由折叠可知，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质并灵活运用是解题关键． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2）． 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、二次根式的乘法 【分析】（1）根据有理数的乘方的混合运算法则计算即可； （2）根据通分，约分，因式分解等化简即可． 本题考查了有理数的混合运算，分式的化简，熟练掌握运算法则，化简步骤是解题的关键． 【详解】解：（1） ． （2） ． 20．（本题8分）（22-23八年级下·四川成都·期中）计算 (1)； (2)解不等式组：； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简、求不等式组的解集 【分析】（1）根据二次根式的性质，零指数幂，绝对值化简即可； （2）根据解不等式组的基本步骤解答即可； （3）根据分式的化简运算解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，绝对值化简，解不等式组，分式的化简运算，熟练掌握解题基本步骤是解题的关键． 21．（本题8分）（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 【答案】美化这块区域所需的费用为17280元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据四边形的面积求出面积，最后再算美化这块区域所需的费用即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积， （元）． ∴美化这块区域所需的费用为17280元． 22．（本题8分）（22-23八年级下·河南漯河·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析 (2)小时 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、三线合一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． （1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于就是所求的线段．在直角三角形中，求出再比较即可． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过作于． 在直角中， ， ， ， ∴该城市会受到这次台风的影响； （2）解：如图以为圆心，为半径作交于、． 则． ∴台风影响该市持续的路程为：． ∴台风影响该市的持续时间小时， ∴台风影响该城市的持续时间有小时． 23．（本题8分）（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：． 解决问题： (1)根据上述思路，试将予以化简； (2)根据上述思路，化简并求出的值； (3)当时，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据，计算求解即可； 【详解】（1）解： ． ； （2）解：原式 ． ； （3）解：， . 24．（本题8分）（23-24八年级下·广东河源·期中）（1）如图1，中，，分别是，上的高，M，N分别是，的中点，求证：． 拓展： （2）如图2，中，，，点E是上的点，于点D，点M是的中点，探索与的数量关系与位置关系． （3）如图3，将（2）中的绕点B逆时针转小于的角，（2）中的结论是否还成立？成立，请说明理由．    【答案】（1）见解析；（2），，见解析；（3）结论成立．证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）连接，，利用直角三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； （2）利用直角三角形的性质可得出，，利用等边对等角得出，，利用等腰直角三角形的性质可求出，则，然后利用四边形内角和为即可判断； （3）延长到F，使得，连接，，，证明，得出，，利用三角形的内角和定理可得出，证明，得出，，进而得出，则是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，，    ∵，分别是，上的高，M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵N为中点， ∴； （2）解：如图2，，．    ∵，点M是的点， ∴， ∴， ∵，点M是的点， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （3）结论成立． 如图3，当绕点B逆时针转小于的角时，仍是等腰直角三角形，延长到F，使得，连接，，．    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 25．（本题10分）（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． (3)连接，若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）证明即可； （2）连接交于点P，得到，则，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即； （3）设，由勾股定理得，由，结合菱形性质得到，那么，则，则，而，则，化简得到，而，则，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是菱形，是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：在菱形中，连接交于点P，则， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图： 设 ∵， ∴， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴，而 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是合理利用菱形的性质． 26．（本题10分）（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，四边形中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿线段的方向向点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长的速度沿射线的方向运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒． (1)当时，的面积为______； (2)若四边形为平行四边形，求运动时间t； (3)是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，列出方程求解． （1）作，，证明，从而求得，进而求得和的长，进一步求得结果； （2）由列出方程求得结果； （3）作于，于，以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，即， 据此求解即可． 【详解】（1）如图1， 作于，作于， ， ， ， ，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 故答案为：； （2）， 当时，四边形是平行四边形， ， ； （3）如图，作于，于， 以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，即， ，， ， ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$