精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年八年级下学期质量检测一数学试题（A卷）

丰城九中第一次质量监测考试八年级数学A卷 （总分：120分；考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，符合题意； C、图案不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可求解．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、2次项系数可能为0，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有一个未知数，最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有一个未知数，未知数的最高次数为2，等号两边都是整式，是一元二次方程，符合题意；  故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0， 解得k＜1且k≠0． ∴k的取值范围为k＜1且k≠0． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是(　　) A. 和3 B. 和5 C. 和3 D. 和4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式是关键；将关于x的一元二次方程a变形为由方程的解为，，即可得出或，由此解答问题． 【详解】解：因为抛物线经过点、 所以方程的解为，， ∵整理变形为， ∴或， 解得或 所以一元二方程的解为，． 故选：B． 5. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．本题可先由二次函数的图象得到字母系数a、b的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负，相比是否一致． 【详解】解：A、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． B、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． C、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项符合题意． D、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 当________时，是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 8. 已知点A（a，b）绕着（0，1）旋转180°得到B（4，﹣1），则A点坐标为______． 【答案】（﹣4，3） 【解析】 【分析】利用旋转的性质得到点（0， 1）为AB的中点，利用线段中点坐标公式得到0= ，1=，然后求出a、b即可得到A点坐标． 【详解】∵点A(a,b) 绕着（0，1）旋转180°得到B（4，﹣1）， ∴点(0, 1)为AB的中点， ∴0=,1=，解得a=﹣4，b=3， ∴A点坐标为（﹣4，3）. 故答案为（﹣4，3）. 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质. 9. 如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 10. 已知抛物线（a，k，c均为常数，），且与x轴的交点为和，则方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由向左平移2个单位得到，结合抛物线与x轴的交点为和，得到与x轴的交点为和即和，根据抛物线与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程的根的关系解答即可． 本题考查了抛物线的平移，抛物线与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程的根的关系，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意由向左平移2个单位得到， ∵抛物线与x轴的交点为和， ∴与x轴的交点为和即和， ∴方程的根为． 故答案为：． 11. 已知实数满足，，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 12. 如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点A，点，则下列结论：①；②；③当时，；④（的实数）⑤若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有_________________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，根据二次函数的开口方向、对称轴，与y轴交点在正半轴，可判断①；由点B坐标可判断②；由抛物线的对称性求得点A坐标，结合图象可判断③；由抛物线的最高点可判断④；由两个点与对称轴的距离，距离越远，函数值越小可判断⑤；进而可得答案． 【详解】解：∵图象开口向下，与y轴正半轴相交， ∴，， ∵图象的对称轴为直线， ∴，则， ∴，故①正确； ∵函数图象与轴交于点， ∴，故②不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线，点， ∴图象与轴另一个交点A的坐标为， 由图象得：当时，，故③正确； ∵图象的对称轴为直线， ∴当时，y取得最大值， ∴（的实数）， 即（的实数），故④正确； ∵， ∴点B离对称轴比点C远一点， ∴，故⑤不正确； 综上，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2） ，； 【解析】 【分析】（1）将原方程因式分解直接求解即可得到答案； （2）将原方程移项后因式分解直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：原方程因式分解得， ， 即：，， 解得：，； 【小问2详解】 解：原方程因式分解得， ， 即：，， 解得 ，； 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一定要使方程的一边为0及正确的因式分解． 14. 关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值． 嘉佳的解题过程如下： 【解】， ， 整理，得， 解得． 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答． 【详解】解：嘉佳的解题过程漏了考虑这一条件．正确的解题过程如下： 根据题意得，解得． ，， 整理得，解得（舍去）， 的值为． 【点睛】本题中忽略这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“”，才能得出正确结果． 15. 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求的长度． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，于是可证得是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）可知是等腰直角三角形，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解∵是旋转得到的，，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 由（1）可知，，，，是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识点，由旋转的性质得出是等腰直角三角形并证明是直角三角形是解题的关键． 16. 已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，求m的值． 【答案】m的值为－或. 【解析】 【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可． 【详解】y＝x2－2mx＝(x－m)2－m2， ①若m＜－1，当x＝－1时，y＝1＋2m＝－2，解得m＝－； ②若m＞2，当x＝2时，y＝4－4m＝－2，解得m＝＜2(舍去)， ③若－1≤m≤2，当x＝m时，y＝－m2＝－2，解得m＝或m＝－ (舍去)， ∴m的值为－或. 【点睛】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 17. 探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： （1）应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 （2）应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2） 如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 将抛物线： 绕点旋转得到抛物线，若抛物线的顶点在抛物线上，同时抛物线的顶点在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】 或 【解析】 【分析】先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式，再把抛物线C1的顶点坐标代入抛物线解析式，最后进行检验即可求解． 【详解】解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕点旋转180°得到抛物线， ∴抛物线顶点的对应点为抛物线顶点， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线C2的解析式为或． 当抛物线C2的解析式为-时，顶点坐标为，在抛物线的图象上， 当抛物线C2的解析式为-时，点坐标为，在抛物线的图象上， 综上所述，抛物线C2的解析式为或． 【点睛】本题考查抛物线的旋转，熟知抛物线旋转规律，正确求出抛物线绕点旋转得到抛物线的顶点是解题关键． 19. 某网商平台国庆期间从某公司以元一盆的价格采购了一批盆栽，以每盆元的价格售出，第一天销售了盆．该商品十分畅销，在售价不变的基础上，第三天销售量就达到了盆． （1）求第二、三两天每天销售量的平均增长率． （2）国庆假期临近结束时，盆栽还有较多剩余，为了尽快减少库存，网商平台打算降价销售．经调查发现，每降价元，在第三天销售量的基础上每天可以多售出盆，降价多少元时，每天可获得的利润为元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设第二、三两天每天销售量的平均增长率为，利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1＋第二、三两天每天销售量的平均增长率）2，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每盆降价元，则每盆的销售利润为元，第三天的销售量为件，利用总利润＝每件的销售利润×每天销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设第二、三两天每天销售量的平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：第二、三两天每天销售量的平均增长率为； 【小问2详解】 设每盆降价元， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：，， ∵为了尽快减少库存， ∴降价越多，则库存减少的速度最快， ∴降价元可以尽快减少库存且每天可获得的利润为元． 20. 2024年7月31日，巴黎奥运会跳水项目女子双人10米台决赛结束，中国组合陈宇汐/全红婵以359.10分领先第二名43.20分的巨大优势夺冠，获得中国代表团奥运会第7金．跳水运动员起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，跳水运动员甲从起跳到入水的过程中，她到水面的垂直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系． （1）如图2，在完成一次跳水动作的过程中，运动员甲的水平距离与到水面的垂直高度的几组数据记录如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 垂直高度 10 10 10 6.25 ①根据上述数据，直接写出该函数图象的对称轴______； ②直接写出该函数的解析式______； （2）某次跳水过程中，运动员乙到水面的垂直高度与水平距离近似满足函数关系，记她的入水点的水平距离为．若运动员甲的入水点的水平距离为，则______；（填“>”“=”或“<”） （3）在（2）的情况下，运动员乙某次起跳后到达最高点开始计时，若点到水面的垂直高度为，则她到水面的垂直高度与时间之间近似满足，如果运动员乙在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成跳水动作．请通过计算说明，她此次跳水能否成功完成此动作？ 【答案】（1）直线，； （2）<； （3）她不能成功完成此动作， ， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴她不能成功完成此动作． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格可求函数对称轴，然后再从表格中代入三个点的坐标进行求解函数解析式即可； （2）由题意易得米，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后把代入进行求解即可 【小问1详解】 解：由表格可知，图象过点，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：直线，； 【小问2详解】 解：∵， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴米； ∵， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故答案为：<； 【小问3详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点：已知关于x的一元二次方程为 （1）求衍生点M的轨迹的解析式； （2）直线与x轴交于点A，直线过点，且，与相交于点，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解方程，一次函数的综合应用： （1）因式分解法解一元二次方程得到方程的两根，从而得到该方程衍生点，令，，知点M在直线上； （2）由直线与的边交于点，交于点得到，从而得到m的范围． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：，， ∴， ∴方程的衍生点为． ∴， ∴， 整理得：； ∴衍生点M的轨迹的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，∵直线与x轴交于点A， ∴， 由（1）得， ， ∴点M在直线上，刚好和的边交于点， 令，则， ∴， ∵点M在的内部， ∴； ∴； ； 22. 如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． （3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）时，有最大值，最大值为，点的坐标为 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见解析），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解； （3）根据平行四边形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴，解得，， ∴该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，过点作轴交于点， 设所在直线的解析式为：，过点， ∴，即所在直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：抛物线的表达式为，点的横坐标为， ∴，即，且， ①如图所示，四边形为平行四边形， ∴，且， ∴点的纵坐标为，，解得，，， ∴点的坐标为， ∴， 设点， ∵， ∴，则，即； ②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于， ∴，，， ∴， ∴，且,设，， ∴，解得，，， 当时，，即，则；当时，，即，则， ∴点的坐标为或； ③如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴设，则， ∴，即点的坐标为； 综上所示，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 在中，，，点D在线段上，点E在射线上，． 【探究发现】 （1）如图1，当点E在线段上时，猜想线段的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】 （2）如图2，若点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，点D，E在边上，，，，求的面积． 【答案】（1）（2）（1）中的结论成立，（3） 【解析】 【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】（1）． 证明：如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， 由（1）可知：， （3）∵， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中第一次质量监测考试八年级数学A卷 （总分：120分；考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0 4. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是(　　) A. 和3 B. 和5 C. 和3 D. 和4 5. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 当________时，是二次函数． 8. 已知点A（a，b）绕着（0，1）旋转180°得到B（4，﹣1），则A点坐标为______． 9. 如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______． 10. 已知抛物线（a，k，c均为常数，），且与x轴的交点为和，则方程的根为_______． 11. 已知实数满足，，则的值为______ 12. 如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点A，点，则下列结论：①；②；③当时，；④（的实数）⑤若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有_________________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值． 嘉佳的解题过程如下： 【解】， ， 整理，得， 解得． 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 15. 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求的长度． （2）求的面积． 16. 已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，求m的值． 17. 探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： （1）应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 （2）应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 将抛物线： 绕点旋转得到抛物线，若抛物线的顶点在抛物线上，同时抛物线的顶点在抛物线上，求抛物线的解析式． 19. 某网商平台国庆期间从某公司以元一盆的价格采购了一批盆栽，以每盆元的价格售出，第一天销售了盆．该商品十分畅销，在售价不变的基础上，第三天销售量就达到了盆． （1）求第二、三两天每天销售量的平均增长率． （2）国庆假期临近结束时，盆栽还有较多剩余，为了尽快减少库存，网商平台打算降价销售．经调查发现，每降价元，在第三天销售量的基础上每天可以多售出盆，降价多少元时，每天可获得的利润为元？ 20. 2024年7月31日，巴黎奥运会跳水项目女子双人10米台决赛结束，中国组合陈宇汐/全红婵以359.10分领先第二名43.20分的巨大优势夺冠，获得中国代表团奥运会第7金．跳水运动员起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，跳水运动员甲从起跳到入水的过程中，她到水面的垂直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系． （1）如图2，在完成一次跳水动作的过程中，运动员甲的水平距离与到水面的垂直高度的几组数据记录如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 垂直高度 10 10 10 6.25 ①根据上述数据，直接写出该函数图象的对称轴______； ②直接写出该函数的解析式______； （2）某次跳水过程中，运动员乙到水面的垂直高度与水平距离近似满足函数关系，记她的入水点的水平距离为．若运动员甲的入水点的水平距离为，则______；（填“>”“=”或“<”） （3）在（2）的情况下，运动员乙某次起跳后到达最高点开始计时，若点到水面的垂直高度为，则她到水面的垂直高度与时间之间近似满足，如果运动员乙在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成跳水动作．请通过计算说明，她此次跳水能否成功完成此动作？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点：已知关于x的一元二次方程为 （1）求衍生点M的轨迹的解析式； （2）直线与x轴交于点A，直线过点，且，与相交于点，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； 22. 如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． （3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 在中，，，点D在线段上，点E在射线上，． 【探究发现】 （1）如图1，当点E在线段上时，猜想线段的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】 （2）如图2，若点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，点D，E在边上，，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $