中考数学模拟卷（四川乐山专用）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

2025年中考数学模拟卷（乐山专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考试务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码是否粘贴正确。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．计算的结果等于（   ） A． B．1 C． D．11 2．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．2023年，乐山市经济发展良好，实现地区生产总值(GDP)2447.5亿元， 比上年增长．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 4．打水漂源自民间传统游戏，又名轻功水上漂，七点漂，漂瓦．它能够锻炼玩家的手眼协调能力和投掷技巧．长沙少年小明连续打水漂8次的成绩如下表所示： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/下 8 9 8 8 7 9 16 8 则小明连续打水漂8次成绩的众数和中位数分别是（　　） A．8，8 B．8， C．9，8 D．8，9 5．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 6．甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的3倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共120分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 11．分解因式： ． 12．若多项式可化为的形式，则的值为 13．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 14．已知有正a边形和正b边形，且，正边形和正边形的内角和之差为，则b为 15．如图，在中，，点在上，已知，．则 ． 16．在一边长固定的正方形纸片上（包括边界上）作一正六边形，正六边形的顶点可以在正方形内也可以在正方形边上（如图），正六边形与正方形边所在直线夹角是 时，正六边形面积最大．    三、解答题（本大题共10个小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．如图，△ABC中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 19．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 20．先化简，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 21．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)______，E所对应的扇形圆心角是______； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”； (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 22．如图，等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限内，已知点的坐标是，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴向左平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，设平移的距离为，求的值． 23．2025年3月2日重庆马拉松顺利举行，据悉有35000名选手以矫健的步伐丈量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市出发，临行前小陶决定先到在超市北偏东方向上的图书馆还书后，再到体育馆；小乐则按原计划沿正东方向的街道行走400米至报亭后，再沿北偏东方向走到体育馆，已知体育馆分别在超市的北偏东方向上和图书馆的南偏东方向上． (1)求报亭与体育馆之间的距离；（结果保留根号） (2)若小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到达体育馆．（参考数据：，，结果精确到0.1） 24．如图，、是的切线，A、B是切点，是的直径，连接，交于点D，交于点E． (1)若E恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； (2)若，且，求切线的长． 25．综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形△ABC边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为（并写出自变量的取值范围）． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 26．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． (1)初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； (2)深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟卷（乐山专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考试务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码是否粘贴正确。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．计算的结果等于（   ） A． B．1 C． D．11 【答案】C 【详解】解：原式； 故选C． 2．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意； C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意； D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意． 故选：B． 3．2023年，乐山市经济发展良好，实现地区生产总值(GDP)2447.5亿元， 比上年增长．将数据用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：数据用科学记数法表示应为， 故选：B． 4．打水漂源自民间传统游戏，又名轻功水上漂，七点漂，漂瓦．它能够锻炼玩家的手眼协调能力和投掷技巧．长沙少年小明连续打水漂8次的成绩如下表所示： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/下 8 9 8 8 7 9 16 8 则小明连续打水漂8次成绩的众数和中位数分别是（　　） A．8，8 B．8， C．9，8 D．8，9 【答案】A 【详解】解：由表中数据可知，小明连续打水漂8次成绩的最多的是8，故众数是8， 将成绩按照由小到大的顺序排列：7，8，8，8，8，9，9，16， 则小明连续打水漂8次成绩的中位数是8， 故选：A． 5．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A． B．AB＝AD C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 6．甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的3倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，根据题意得 ， 故选：A． 7．关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：有两个实数根， ∴， 即， 解得； 、是的两个实数根， ，， 则 ， 令， 则开口向上，对称轴为直线， 当时，的值随k的增大而增大， 时，的值最小为． 故选：C． 8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作轴于点， 四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 故选：C． 9．如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意，令， 解得， ∴， 令， 解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴、、共线， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，作于， 设， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选： B． 第Ⅱ卷（非选择题，共120分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 11．分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12．若多项式可化为的形式，则的值为 【答案】2 【详解】解：∵多项式可化为的形式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴当时，；当时，， ∴或， 故答案为：2． 13．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 【答案】 【详解】解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：， 故答案为：． 14．已知有正a边形和正b边形，且，正边形和正边形的内角和之差为，则b为 【答案】 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． 15．如图，在中，，点在上，已知，．则 ． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16．在一边长固定的正方形纸片上（包括边界上）作一正六边形，正六边形的顶点可以在正方形内也可以在正方形边上（如图），正六边形与正方形边所在直线夹角是 时，正六边形面积最大．    【答案】15 【详解】解：∵正六边形可以看做是由六个全等的等边三角形组成的（等边三角形的边长为正六边形的边长）， ∴正六边形的面积等于这六个等边三角形的面积， ∵等边三角形的面积等于乘以其边长的平方， ∴正六边形的面积等于乘以其边长的平方，再乘以6， ∴正六边形的边长越大，其面积越大； 设点O为正方形的中心，假设中心为的正六边形在正方形内（包括边界），与关于O对称，则以为中心的正六边形也在正方形内（包括边界）， ∴当与以为中心的正六边形全等的正六边形中心在线段上移动时，该正六边形都在正方形内（包括边界）， ∴一定存在以点O为中心的正六边形满足是正方形内（包括边界）最大面积的正六边形， 设分别是的中点， 当正六边形的一个顶点E在上时，可能存在最大值，即存在最大值， 由正六边形的性质可得， 设过点F且垂直于直线的直线为l，点O到直线l的距离为h，则， ∵， ∴， ∴当，时有，即此时有， ∴此时点F在正方形外，不符合题意； 当时，∵， ∴当增大时，减小，则此时增大， ∴当时，有最大值，即此时正六边形面积有最大值， ∴此时正六边形与正方形边所在直线夹角为， 故答案为：15．    三、解答题（本大题共10个小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 18．如图，△ABC中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 【答案】(1)见解析(2)7 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∴． 19．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示： ． 20．先化简，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵，，， ∴可以取整数， 当时，原式． 21．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)______，E所对应的扇形圆心角是______； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”； (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】(1)50，72(2)120(3) 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， 选择C的学生人数为（人）， 故； E所对应的扇形圆心角是， 故答案为：50，； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”； （3）解：列表如下： A B C D E A B C D E 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种， ∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 22．如图，等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限内，已知点的坐标是，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴向左平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，设平移的距离为，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， 为等边三角形，点的坐标为， ， ， 点的坐标为， 点为的中点， 点， 把点代入， 得， 反比例函数的表达式是； （2）解：由题意，得点的坐标为， 把点代入， 得， 解得：， 的值为． 23．2025年3月2日重庆马拉松顺利举行，据悉有35000名选手以矫健的步伐丈量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市出发，临行前小陶决定先到在超市北偏东方向上的图书馆还书后，再到体育馆；小乐则按原计划沿正东方向的街道行走400米至报亭后，再沿北偏东方向走到体育馆，已知体育馆分别在超市的北偏东方向上和图书馆的南偏东方向上． (1)求报亭与体育馆之间的距离；（结果保留根号） (2)若小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到达体育馆．（参考数据：，，结果精确到0.1） 【答案】(1)报亭与体育馆之间的距离米 (2)小陶先到达体育馆 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵体育馆分别在超市的北偏东方向上和图书馆的南偏东方向上． ∴， 依题意，米， ∴， 在中，（米），， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴报亭与体育馆之间的距离米； （2）解：由（1）得，米， 在中， ， 故（米）， 则（米）， ∵ ∴， 在中，（米）， 在中，， ∴（米）， 则（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∵小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分， ∴（分钟），（分钟）， ∵ ∴小陶先到达体育馆． 24．如图，、是的切线，A、B是切点，是的直径，连接，交于点D，交于点E． (1)若E恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； (2)若，且，求切线的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵E恰好是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 设，则，，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴设，则，，， 在中，， ∴， ∴或（舍弃）， ∴，，， ∵是切线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 25．综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形△ABC边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为（并写出自变量的取值范围）． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 【答案】（1）①；②；（2），9；（3）①，② 【详解】解：（1）∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， 如图，过作于，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵此时最大面积为：， ∴， 解得：（舍去）， ∴； （2）由图象可得：二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数为：，代入， ∴， 解得：， ∴二次函数为：；即； 当时，， 解得：，（舍去）， ∴； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等， ∴， ∵， ∴； ②∵的对称轴为直线：； ∴， ∵，， ∴， ∴. 26．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． (1)初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； (2)深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，见解析；②存在，或1 【详解】（1）解：沿翻折得到， ． ，且与重合， ． 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形． ． （2）解：①，证明如下： 证明：沿直线翻折得到， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ， ②如图：当点E在上时， 由题意可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过F作交延长线于N，连接交于O，则， ∴， ∴， 又∵， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图：当F在上时，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图：作于N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴与O重合， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，存在两种四边形面积是菱形面积的情形，此时的正切值为或1． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$