信息必刷卷01（北京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（北京专用） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠EOD=25°，则∠BOC的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上有点A，B，C，D，其中绝对值最大的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程没有实数根，则点P（    ） A．在的内部 B．在的外部 C．在上 D．在上或在的内部 5．小红想在2个“冰墩墩”和2个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（    ） A． B． C． D． 6．根据国家统计局数据，2024年1至8月，我国集成电路芯片的产量达到了284 510 000 000颗，同比增长．将284 510 000 000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，是（　　）    A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧 C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧 8．如图，已知四边形是边长为1的正方形，点E、点F分别在边、上，，连接，连接分别交、于点G、点H．下列结论： ①； ②； ③； ④的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是​（　　）​ A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 . 10．因式分解： 11．方程的解是 ． 12．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图像上，则的值为 ． 13．小张所在的公司共有600名员工，他为了解公司员工所使用的手机品牌情况，随机调查了部分员工，并将调查得到的数据绘制成如图所示的统计图，那么小张所在公司使用“华为”品牌手机的人数约是 人． 14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，若，则∠ACB＝ °． 15．如图，在正方形中，E为边的中点，G、F分别为，边上的点，若，，，则的长为 ．    16．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下： 大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个） 1 5 4 10 2 3 3 8 3 1 4 8 4 2 5 11 5 1 3 9 3 4 5 12 该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 （写出要购买的大礼包编号） 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题5分）计算：． 18．（本题5分）解不等式组：． 19．（本题5分）先化简，再求值 其中m=3， 20．（本题6分）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，．CD的中点为F，的中点为G，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，，求的长． 21．（本题6分）举世瞩目的2019年中国北京世界园艺博览会在长城脚下的北京延庆开园，它给人们提供了看山、看水、看风景的机会.一天小龙和朋友几家去延庆世园会游玩，他们购买普通票比购买优惠票的数量少5张，买票共花费了1400元，符合他们购票的条件如下表，请问他们买了多少张优惠票？ 平 日 普通票 •适用所有人 •除指定日外任一平日参观 120 优惠票 •适用残疾人士、60周岁以上老年人、学生、中国现役军 人（具体人群规则同指定日优惠票） •购票及入园时需出示相关有效证件 •除指定日外任一平日参观 80 22．（本题5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23．（本题5分）种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．20块试验田每公顷产量的频数分布表如下： 每公顷产量 频数 3 2 6 5 b．试验田每公顷产量在这一组的是：7.55  7.55  7.57  7.58  7.59  7.59 c． 20 块试验田每公顷产量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为______． (3)下列推断合理的是______（填序号）； ①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占试验田总数的； ②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名． (4)号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为及，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填“甲”或“乙”）． 24．（本题6分）在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 25．（本题5分）乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 26．（本题6分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 27．（本题7分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G． （1）写出与BG相等的线段，并证明． （2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE． （3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系． 28．（本题7分）在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形． 例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．已知点， (1)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 　 　（填序号） ①，②，③ (2)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围； (3)若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（北京专用） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是轴对称图形，不符合题意， B选项图形不是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是轴对称图形，符合题意， D选项图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选C. 【点睛】轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 2．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠EOD=25°，则∠BOC的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对顶角和互余的角的关系进行计算即可． 【详解】解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°， 即∠AOD+∠DOE=90°， ∵∠EOD=25°， ∴∠AOD=65°， ∴∠BOC=∠AOD=65°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是余角的定义，对顶角的定义，解题的关键就是要找准对顶角的位置，互余的两个角的和为90°． 3．如图，在数轴上有点A，B，C，D，其中绝对值最大的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义和数轴的定义，即可得到答案． 【详解】解：绝对值最大的数就是离原点最远的数， 根据A、B、C、D四个点在数轴上的位置，可得点A所表示的数是绝对值最大的， 故选：A． 【点睛】考查数轴表示数、绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提． 4．已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程没有实数根，则点P（    ） A．在的内部 B．在的外部 C．在上 D．在上或在的内部 【答案】B 【分析】根据一元二次方程没有实数根列根的判别式，求出，再根据点与圆心的距离判断点的位置关系． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴∆，即， 解得， ∵的半径为1，点P到圆心O的距离为d， ∴d大于圆的半径， ∴点P在的外部， 故选：B． 【点睛】此题考查点与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的三种情况是解题的关键． 5．小红想在2个“冰墩墩”和2个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：2个“冰墩墩”用A、B表示，2个“雪容融”分别用C、D表示， 根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有8种， 则小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是； 故选：C． 【点睛】本题考查了用列举法求解概率的知识，熟练掌握列举法的基本原理，列出所有可能的结果是解答本题的关键． 6．根据国家统计局数据，2024年1至8月，我国集成电路芯片的产量达到了284 510 000 000颗，同比增长．将284 510 000 000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式是，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故选：A． 7．如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，是（　　）    A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧 C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧 【答案】C 【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断． 【详解】解：由作图可知作图步骤为： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D． ②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E． ③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N． ④过点N作射线CP． 根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB． 故选C． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图，已知四边形是边长为1的正方形，点E、点F分别在边、上，，连接，连接分别交、于点G、点H．下列结论： ①； ②； ③； ④的面积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是​（　　）​ A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】C 【分析】证，可得，，证明，可得，可得，故①正确；由勾股定理可求，可得，故③正确；先求出的最小值，可求的面积的最大值为，故④正确，即可求解． 【详解】解：①延长到点M，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②将绕点A顺时针旋转，得到，连接，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，，，过点O作于点H， 设， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∴的面积的最大值为．故④正确， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 . 【答案】x≥-5 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质． 概念：式子（a≥0）叫二次根式． 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 10．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式和公式法分解因式，先提公因式，然后再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 11．方程的解是 ． 【答案】 【分析】解分式方程即可得出答案． 【详解】方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像与性质，将，代入函数表达式得到关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：点，在反比例函数的图像上， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，理解函数图像上的点的坐标特征是解决问题的关键． 13．小张所在的公司共有600名员工，他为了解公司员工所使用的手机品牌情况，随机调查了部分员工，并将调查得到的数据绘制成如图所示的统计图，那么小张所在公司使用“华为”品牌手机的人数约是 人． 【答案】210 【分析】用样本中使用华为品牌的人数所占比例乘以总人数即可得出答案． 【详解】解：小张所在公司使用“华为”品牌手机的人数约是600×＝210（人）， 故答案为：210． 【点睛】本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，若，则∠ACB＝ °． 【答案】60 【分析】先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键． 15．如图，在正方形中，E为边的中点，G、F分别为，边上的点，若，，，则的长为 ．    【答案】5 【分析】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确利用相似求出是解题的关键．利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等，可得，进而可得，利用相似三角形的性质，求出，再利用勾股定理求出的长． 【详解】∵四边形为正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵E为边的中点， ∴， ∴ ∴或（舍去） ∴，， ∴ 故答案为：5． 16．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下： 大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个） 1 5 4 10 2 3 3 8 3 1 4 8 4 2 5 11 5 1 3 9 3 4 5 12 该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 （写出要购买的大礼包编号） 【答案】各买一个（答案不唯一） 【分析】根据该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，进行判断即可． 【详解】解：当购买各一个时： 一等奖的个数为：，，满足题意； 二等奖的个数为：，，满足题意； 三等奖的个数为：，，满足题意； 奖品总个数为：，满足题意； 故答案为：各买一个（答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的加法的实际应用．解题的关键是根据题意，列出算式，进行求解． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题5分）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方、绝对值、化简二次根式，再算加减法，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算以及负整数指数幂，掌握实数的运算法则，是解题的关键． 18．（本题5分）解不等式组：． 【答案】 【详解】试题分析：先分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可. 试题解析：， 解不等式①得 ， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19．（本题5分）先化简，再求值 其中m=3， 【答案】；代数式的值为： 【分析】先计算括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法，约分后可得化简的结果，把代入可得答案． 【详解】解： 当时， 上式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加减乘除混合运算是解题的关键． 20．（本题6分）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，．CD的中点为F，的中点为G，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由题意可知．    由三角形中位线性质可知，即证明．再由即可证明，即四边形为平行四边形．最后由点F为DC中点，点G为DE中点，，即可推出，即证明四边形为菱形． （2）连接AG，设与的交点为O．由菱形的性质可知，再根据题意即可求出．设，则．即，解出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，点E在的延长线上， ∴． ∵的中点为F，的中点为G， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵． ∴． ∴四边形为菱形． （2）如图，连接AG，设与的交点为O． ∵四边形为菱形， ∴． ∵四边形为平行四边形，， ∴， 在中，． 设，则， ∴． 解得． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、菱形的判定和性质、解直角三角形以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 21．（本题6分）举世瞩目的2019年中国北京世界园艺博览会在长城脚下的北京延庆开园，它给人们提供了看山、看水、看风景的机会.一天小龙和朋友几家去延庆世园会游玩，他们购买普通票比购买优惠票的数量少5张，买票共花费了1400元，符合他们购票的条件如下表，请问他们买了多少张优惠票？ 平 日 普通票 •适用所有人 •除指定日外任一平日参观 120 优惠票 •适用残疾人士、60周岁以上老年人、学生、中国现役军 人（具体人群规则同指定日优惠票） •购票及入园时需出示相关有效证件 •除指定日外任一平日参观 80 【答案】10 【分析】根据题意，找出等量关系，设小龙和几个朋友购买了x张优惠票，可得普通票购买了(x-5)张，根据优惠票每张80元，普通票每张120元可列出方程： 80x+120(x-5)＝1400，解出方程即可得出答案. 【详解】解： 设小龙和几个朋友购买了x张优惠票，则普通票购买了(x-5)张， 根据题意列方程，得： 80x+120(x-5)＝1400 80 x +120x-600＝1400 200 x＝2000 x＝10 答：小龙和几个朋友购买了10张优惠票. 【点睛】本题考查一元一次方程与实际问题，找到等量关系是此类问题解题关键，比较简单，注意解出方程后再进行验算，保证正确率. 22．（本题5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）当时，，根据点即可求得． 【详解】（1）解：由图象的平移可知，， 将代入得，， 解得，， ∴这个一次函数的解析式为； （2）当时，， 把点代入， 得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 23．（本题5分）种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．20块试验田每公顷产量的频数分布表如下： 每公顷产量 频数 3 2 6 5 b．试验田每公顷产量在这一组的是：7.55  7.55  7.57  7.58  7.59  7.59 c． 20 块试验田每公顷产量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为______． (3)下列推断合理的是______（填序号）； ①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占试验田总数的； ②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名． (4)号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为及，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】(1)4 (2)7.55 (3)① (4)乙 【分析】本题考查了频数分布表，求中位数，根据方差判断稳定性： （1）运用频数总数减去已知频数即可得出m； （2）根据中位数的定义可求解； （3）从统计图中可得每公顷产量低于的试验田数量有5块，可判断①；3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第4名可判断②． （4）根据图象判断稳定性即可得出结果． 【详解】（1）解： （2）解：随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数是这一组的第1个和第2个数据，即：7.55和7.55， 故中位数为：， 故答案为：7.55； （3）解：20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量有5块， 所以，占试验田总数的百分数为，故①正确； 3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第4名，故②错误， 故答案为：① （4）解：从20 块试验田每公顷产量的统计图中可看出甲种种子每公顷产量波动大，乙种种子每公顷产量波动小，据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是乙； 故答案为：乙 24．（本题6分）在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂径定理推论得到，再根据圆周角定理可求，由切线的性质得到，即可求解； （2）连接，过点M作，垂足为点H，解得出，，然后通过以及对运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：连接，过点M作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25．（本题5分）乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3)乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由见解析 【分析】（1）依据题意，根据描点法描出各点并画出函数图象即可； （2）依据题意，根据二次函数图象的对称性可求得对称轴以及顶点坐标，根据表格数据可得当时，于是得解； （3）先用待定系数法求出二次函数解析式，然后求抛物线与轴的交点坐标，即可求出乒乓球再次落下时的落点坐标，然后将其与乒乓球台的长度相比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：描出各点，并画出图象如下： （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， 当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：，； （3）解：乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由如下： 将代入函数关系式，得： ， 解得：或（因对称轴，故舍去）， 乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 令，则有： ， 解得：或（此为乒乓球第一次落到球桌时的落点坐标，故舍去）， ， 乒乓球再次落下时仍落在球台上． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数，用描点法画函数图象，从表格中获取信息，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，直接开平方法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，有理数大小比较等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及用待定系数法求二次函数解析式并运用数形结合思想是解题的关键． 26．（本题6分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键． （1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得； （2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． （2）解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 27．（本题7分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G． （1）写出与BG相等的线段，并证明． （2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE． （3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系． 【答案】（1）与BG相等的线段为CD，证明见解析；（2）补全图形，证明见解析；（3）线段CE，DE，AD三者之间的数量关系为． 【分析】（1）证明，可得． （2）证明，推出，由，推出，可得． （3）结论：．如图3中，在上取一点，使得，连接，过点作于，于．想办法证明，，再利用全等三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）如图2示，点D为线段BC的中点，连接DF， 证明：是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （3）解：结论：． 理由：如图3中，在上取一点，使得，连接，过点作于，于． ，关于对称， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 28．（本题7分）在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形． 例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．已知点， (1)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 　 　（填序号） ①，②，③ (2)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围； (3)若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)或 (3) 【分析】（1）当绕点旋转时有最小值，求出此时，当绕中点旋转时，有最大值为，根据的取值判断即可； （2）求出直线与轴和轴的交点和，连接，由勾股定理得出，且，要使直线是线段的联络图形，则，即可求出的取值范围； （3）当点在轴和轴上时分别求出的临界值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，将线段绕点逆时针旋转，使点落到直线上的点，过点作于， ，， ，， ， 在中，， 即若直线是线段的联络图形，最小取值为， 如图，将线段绕中点顺时针旋转， 此时点刚好落到直线上的点， 即若直线是线段的联络图形，最大取值为， ， 故答案为：②③； （2）设直线与轴和轴的交点分别为点和点， 在直线中，当时，，当时，， ，， ，， 在中，， ， ①若点在点左侧，连接，如图， ， ， 在中，， ，， ， 故， 直线是线段的联络图形， ， 即， ； ②若点在点右侧，在上取一点，使，如图， 由①知， ， ， 直线是线段的联络图形， ， 即， ， 综上，的取值范围为或； （3）由题知，点在以为圆心半径为2的圆上，且在第一象限， 当点在轴上时，绕点旋转顺时针旋转得到，交于点， ，， ， ； 当点在轴上时，如图， 绕点旋转顺时针旋转得到，交于点，延长交轴于， 在中，， ， ， ，， ， ， ， 即此时， 点在第一象限， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，特殊角三角函数等知识，熟练掌握一次函数的性质，特殊角三角函数及正确理解线段的联络图形这一新定义是解题的关键． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷01（北京专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A B C A C C 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，请把答案直接填写在横线上 9． x≥-5 10． 11． 12． 13．210 14．60 15．5 16．各买一个（答案不唯一） 三、解答题:本大题有8个小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本题5分） 【详解】解： ． 18． （本题5分） 【详解】， 解不等式①得 ， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19． （本题5分） 【详解】解： 当时， 上式 20． （本题6分） 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，点E在的延长线上， ∴． ∵的中点为F，的中点为G， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵． ∴． ∴四边形为菱形． （2）如图，连接AG，设与的交点为O． ∵四边形为菱形， ∴． ∵四边形为平行四边形，， ∴， 在中，． 设，则， ∴． 解得． ∴． 21．（本题6分） 【详解】解： 设小龙和几个朋友购买了x张优惠票，则普通票购买了(x-5)张， 根据题意列方程，得： 80x+120(x-5)＝1400 80 x +120x-600＝1400 200 x＝2000 x＝10 答：小龙和几个朋友购买了10张优惠票. 21． （本题5分） 【详解】（1）解：由图象的平移可知，， 将代入得，， 解得，， ∴这个一次函数的解析式为； （2）当时，， 把点代入， 得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 23．（本题5分） 【详解】（1）解： （2）解：随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数是这一组的第1个和第2个数据，即：7.55和7.55， 故中位数为：， 故答案为：7.55； （3）解：20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量有5块， 所以，占试验田总数的百分数为，故①正确； 3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第4名，故②错误， 故答案为：① （4）解：从20 块试验田每公顷产量的统计图中可看出甲种种子每公顷产量波动大，乙种种子每公顷产量波动小，据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是乙； 故答案为：乙 24． （本题6分） 【详解】（1）解：连接， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：连接，过点M作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 25．（本题5分） 【详解】（1）解：描出各点，并画出图象如下： （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， 当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：，； （3）解：乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由如下： 将代入函数关系式，得： ， 解得：或（因对称轴，故舍去）， 乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 令，则有： ， 解得：或（此为乒乓球第一次落到球桌时的落点坐标，故舍去）， ， 乒乓球再次落下时仍落在球台上． 26.（本题6分） 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． （2）解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 27.（本题7分） 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）如图2示，点D为线段BC的中点，连接DF， 证明：是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （3）解：结论：． 理由：如图3中，在上取一点，使得，连接，过点作于，于． ，关于对称， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 28.（本题7分） 【详解】（1）解：如图，将线段绕点逆时针旋转，使点落到直线上的点，过点作于， ，， ，， ， 在中，， 即若直线是线段的联络图形，最小取值为， 如图，将线段绕中点顺时针旋转， 此时点刚好落到直线上的点， 即若直线是线段的联络图形，最大取值为， ， 故答案为：②③； （2）设直线与轴和轴的交点分别为点和点， 在直线中，当时，，当时，， ，， ，， 在中，， ， ①若点在点左侧，连接，如图， ， ， 在中，， ，， ， 故， 直线是线段的联络图形， ， 即， ； ②若点在点右侧，在上取一点，使，如图， 由①知， ， ， 直线是线段的联络图形， ， 即， ， 综上，的取值范围为或； （3）由题知，点在以为圆心半径为2的圆上，且在第一象限， 当点在轴上时，绕点旋转顺时针旋转得到，交于点， ，， ， ； 当点在轴上时，如图， 绕点旋转顺时针旋转得到，交于点，延长交轴于， 在中，， ， ， ，， ， ， ， 即此时， 点在第一象限， 的取值范围为． 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$