第7章 复数 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[满分：150分，时间：120分钟] 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设i是虚数单位，则复数i3－＝(　　) A．－i　　　　　　　 B．－3i C．i D．3i 解析　 i3－＝－i－＝－i－＝－i＋2i＝i. 答案　C 2．已知复数z＝2－i，则z·＝(　　) A．5 B. C．3 D. 解析　∵z＝2－i，∴＝2＋i， ∴z·＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5. 答案　A 3．复数z＝(i为虚数单位)的虚部为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 解析　因为z＝＝－1－i，所以复数z的虚部为－1. 答案　B 4．(2023·全国甲卷)若a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　因为＝a－a2i＋i＋a＝2a＋i＝2，所以解得a＝1. 答案　C 5．复数z＝的共轭复数是(　　) A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i 解析　 z＝＝＝ ＝－1＋i，所以其共轭复数为＝－1－i. 答案　D 6．在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为(　　) A. B．1 C.i D．i 解析　＝－i，＝＋i，故在复平面内对应的点A，B，故点C，对应的复数为. 答案　A 7．若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 解析　由＝＝－＋，故选C. 答案　C 8．设f(z)＝1－，z1＝2＋3i，z2＝5－i，则f(z1－z2)＝(　　) A．－4－4i B．4＋4i C．4－4i D．－4＋4i 解析　∵z1－z2＝2＋3i－(5－i)＝－3＋4i， ∴＝－3－4i， ∴f()＝1－(－3＋4i)＝4－4i. 答案　C 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知复数z＝＋(m＋)(m＋1)i(m∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝0，则z的共轭复数＝－1－i B．若复数z＝2，则m＝－ C．若复数z为纯虚数，则m＝±1 D．若m＝0，则4＋2z＋z2＝0 解析　对于A，m＝0时，z＝－1＋i，则＝－1－i，故A正确； 对于B，若复数z＝2，则满足 解得m＝－，故B正确； 对于C，若复数z为纯虚数，则满足 解得m＝1，故C错误； 对于D，若m＝0，则z＝－1＋i， 4＋2z＋z2＝4＋2＋2＝4－2＋2i＋1－2i－3＝0，故D正确．故选A，B，D. 答案　ABD 10．对于复数z＝(i为虚数单位)下列说法正确的是(　　) A．复数z的虚部为－1 B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限 C．复数z的共轭复数是－1＋i D．复数z的模等于2 解析　因为z＝＝－1－i， 所以复数z的虚部为－1； 复数z在复平面内对应的点位于第三象限； 复数z的共轭复数是－1＋i； 复数z的模等于.故选A，B，C. 答案　ABC 11．在复平面内，下列说法正确的是(　　) A．复数z＝1－2i，则在复平面内对应的点位于第四象限 B．i＋i2＋i3＋…＋i2 024＝0 C．若复数z1，z2满足＝，则z1z2＝0 D．若＝1，则的最大值为＋1 解析　对于A，复数＝1＋2i在复平面内对应点位于第一象限，A错误； 对于B，i＋i2＋i3＋…＋i2 024＝＋＋…＋＝506＝0，B正确； 对于C，取z1＝1，z2＝i⇒＝＝＝＝，则z1z2＝1×i＝i，C错误； 对于D，≤＋＝1＋，当z＝＋i时取最大值＋1，D正确． 故选BD. 答案　BD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________. 解析　由题意知A(1,1)，B(－1,3)，故||＝＝2. 答案　2 13．计算：[(1＋2i)·i100－i]2－30＝________. 解析　原式＝[(1＋2i)－i]2－＝(1＋i)2＋i＝3i. 答案　3i 14．若复数z＝a＋ai，其中i为虚数单位，a∈R，则的最小值为________． 解析　由复数模的运算公式代入z＝a＋ai计算，可得＝，化简配方可求出模的最小值． ＝＝＝，因为a∈R，所以当a＝时，有最小值. 答案　 四、解答题(本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求： (1)z1z2；(2). 解析　因为z2＝＝＝＝＝1－3i，所以 (1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)＝＝＝＝＋i. 16．(15分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围． 解析　∵z1＝＝2＋3i， z2＝a－2－i，＝a－2＋i， ∴|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|＝ . 又∵|z1|＝，|z1－|＜|z1|， ∴＜， ∴a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7， ∴a的取值范围是(1,7)． 17．(15分)若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求复数z. 解析　f(z)＝2z＋－3i， ∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i ＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i. 又f(＋i)＝6－3i， ∴2＋z－2i＝6－3i，即2＋z＝6－i. 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi. ∴2(x－yi)＋x＋yi＝3x－yi＝6－i， ∴∴∴z＝2＋i. 18．(17分)复数z满足|z|＝，z2为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限． (1)求复数z； (2)复数z，，z2，所对应的向量为a，b，c，已知(λa＋b)⊥(λb＋c)，求λ的值． 解析　(1)设z＝a＋bi(a>0，b>0)， 则|z|＝＝，即a2＋b2＝2①. ∵z2＝a2－b2＋2abi为纯虚数， ∴a2－b2＝0且2ab≠0②. 由①②解得a＝1，b＝1，∴z＝1＋i. (2)∵z＝1＋i ，∴＝1－i，z2＝2i， ∴a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(0,2)． ∴a·b＝0，a·c＝2，b·c＝－2，b2＝2. 由(λa＋b)⊥(λb＋c)得(λa＋b)·(λb＋c)＝0， 即4λ－2＝0，∴λ＝. 19．(17分)一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(r>0)的形式，r叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． (1)写出复数z＝－＋i的三角形式； (2)阅读材料： 数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的n阶泰勒展开式为： ex＝1＋x＋＋＋…＋＋…， sin x＝x－＋－…＋(－1)n＋…， cos x＝1－＋－…＋(－1)n＋…，其中n！＝1×2×3×…×n，读作n的阶乘． 数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：eiθ＝cos θ＋isin θ，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥． 数学家棣莫弗发现z1＝r1eiθ1＝r1，z2＝r2eiθ2＝r2，则z1z2＝r1r2.特别地，如果z1＝z2＝…＝zn＝r，那么n＝rn，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献． ①利用泰勒展开式求sin的近似值(精确到0.001)； ②设M＝z∈R，n∈N，1≤n≤2 024，求集合M的元素个数． 解析　(1)由z＝a＋bi＝r(a，b∈R，r>0)，知 故r＝，cos θ＝，sin θ＝， 对于复数z＝－＋i，r＝＝＝1， 则cos θ＝＝－，且sin θ＝＝，故可取θ＝， 所以z＝－＋i的三角形式为cos＋isin； (2)①sin的近似值为sin＝cos 1 ＝1－＋－＋－＋… ＝1－＋－＋－＋… ≈1－0.5＋≈0.5＋0.040 2 ≈0.540； ②解法一　n ＝n ＝cos＋isin－1n ＝cos－1＋isinn ＝1－2sin2－1＋2isincosn ＝－2sin2＋2isincosn ＝n－sin＋icosn ＝ncos＋isinn ＝ncos＋isin， 依题可知isin＝0， 所以＝kπ，k∈Z，n∈Z， 即n＝12m，m∈Z，又因为1≤n≤2 024， 所以1≤12m≤2 024，m∈Z，即1≤m≤168，m∈Z， 故n的值中有168个实数， 即集合M的元素个数为168. 解法二　n ＝n ＝n ＝n ＝n ＝n(2＋－i)n ＝nn 注：tan＝tan＝＝＝2－＝ ＝n， 所以isin＝0，＝kπ，k∈Z，即n＝12k，k∈Z， 因为n∈N,1≤n≤2 024， 且当k＝168时，n＝2 016，当k＝169时，n＝2 028>2 024， 所以k＝1,2,3，…，168， 故n的值中有168个实数， 即集合M的元素个数为168； 解法三　n ＝n ＝n ＝n ＝n ＝n(2＋－i)n ＝nn 注：tan＝tan＝＝＝2－＝ ＝n， 所以isin＝0，＝kπ，k∈Z，即n＝12k，k∈Z， 因为n∈N,1≤n≤2 024， 且当k＝168时，n＝2 016，当k＝169时，n＝2 028>2 024， 所以k＝1,2,3，…，168， 故n的值中有168个实数， 即集合M的元素个数为168. 学科网（北京）股份有限公司 $$